2024高考数学第一轮复习：8.6 向量法求空间角（原卷版）

8.6   向量法求空间角

思维导图

知识点总结

1.异面直线所成的角

若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为e1，e2，则cos θ＝|cos〈e1，e2〉|＝.

2.直线与平面所成的角

如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为e，平面α的法向量为n，则

sin θ＝|cos〈e，n〉|＝＝.

3.二面角

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉.

如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝       |，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

[常用结论]

1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量u与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈u，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈u，n〉|.

2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是.

典型例题分析

考向一 　异面直线所成的角

例1 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，A1D1的中点，则直线BE与DF所成角的余弦值为(　　)

A.  B. 

C.  D.

(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________.

感悟提升　用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.

考向二  直线与平面所成的角

例2(1) (2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.

(1)证明：BD⊥PA；

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

感悟提升　向量法求直线与平面所成角的主要方法是：

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

(2)(2022·北京卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点.

(1)求证：MN∥平面BCC1B1；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.

条件①：AB⊥MN；

条件②：BM＝MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

考向三   二面角

3 (2022·新高考Ⅱ卷改编)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点.

(1)证明：OE∥平面PAC；

(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值.

[思路分析]　(1)作出过直线OE的一个平面，证明这个平面与平面PAC平行，从而证明OE∥平面PAC.

(2)建系→设点写坐标→求平面的法向量→利用公式求二面角的正弦值.

[规范解答]　(1)证明　如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.

因为AP＝PB，所以PD⊥AB.

因为PO为三棱锥P－ABC的高，

所以PO⊥平面ABC.

因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.

又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P，

所以AB⊥平面POD.(1分)

因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD，

又AB⊥AC，AB，OD，AC⊂平面ABC，

所以OD∥AC.

因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，

(2分)

→

因为D，E分别为BA，BP的中点，

所以DE∥PA.

因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

(3分)

→

又OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，

→

又OE⊂平面ODE，(4分)

→

(2)解　连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB⊂平面ABC，

所以PO⊥OA，PO⊥OB，

所以OA＝OB＝＝＝4.②

易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，

所以OD＝OAsin 30°＝4×＝2，②

AB＝2AD＝2OAcos 30°＝2×4×＝4.②

又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，

所以在Rt△ABC中，AC＝ABtan 60°＝4×＝12.②(6分)

以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴如图所示，

→

则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，12，0)，P(2，2，3)，E，

所以＝，＝(4，0，0)，＝(0，12，0).

→

设平面AEC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝2，则n＝(－1，0，2).③(8分)

→

设平面AEB的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则即

令z1＝2，(10分)

→

所以|cos〈n，m〉|＝＝.

→

设二面角C-AE-B的大小为θ，

则sin θ＝＝.(12分)

→

[满分规则]

❶得步骤分：

①处通过证明线∥线⇒线∥面⇒面∥面⇒线∥面，注意应用相关定理的条件应完整，否则易失步骤分.

❷得关键分：

③处求出两个平面的法向量是解题的关键，此处运算错误会导致第(2)小题得零分.

❸得计算分：

②处为根据题目条件计算几何体的棱长，以便写出各顶点的坐标.

4. (2022·新高考Ⅰ卷改编)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2.

(1)求A到平面A1BC的距离；

(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

基础题型训练

一、单选题

1．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

2．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

3．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线异面，直线平面

D．直线与直线相交，直线平面

4．如图，正方体的棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（    ）

A．相交但不垂直 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定

5．若空间两直线与的方向向量分别为和，则两直线与垂直的充要条件为（    ）

A．，，（）

B．存在实数k，使得

C．

D．

6．如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，为锐角，且侧面底面，给出下列四个结论：

①；②；

③直线与平面所成的角为；

④．其中正确的结论是

A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④

二、多选题

7．若(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（    ）

A．(，3，) B． (200，，100)

C． (，，) D． (，3，0)

8．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ）

A． B．四边形为矩形

C．是平面的一个法向量 D．

三、填空题

9．设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________．

10．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且直线与平面平行，则实数______．

11．已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点，若直线上有一点，使，则______.

12．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

（1）当直线与成角时，与成角；

（2）当直线与成角时，与成角；

（3）直线与所成角的最小值为；

（4）直线与所成角的最小值为；

其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）.

四、解答题

13．设分别是空间中两个不重合的平面的法向量，分别根据下列条件判断平面的位置关系.

（1）；

（2）.

14．如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且点在平面上的投影点恰好在上．

(1)证明：．

(2)求二面角的大小．

15．如图所示，四棱锥中，，，，平面.

（1）求证:平面;

（2）若点是线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

16．如图，四面体中，、分别是、的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离；

（3）求二面角的余弦值．

提升题型训练

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B． C．或 D．l与斜交

2．若平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是（    ）

A． B． C． D．

3．已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（    ）

A． B． C． D．

4．已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是（    ）

A． B． C．1 D．

5．在边长及对角线都为1的空间四边形中，，分别是，的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（    ）

A．平行于同一条直线的两条直线必平行

B．垂直于同一条直线的两条直线必平行

C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补

D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补

8．在长方体中，，为棱的中点，点满足，其中，则下列结论正确的有（    ）

A．当时，异面直线与所成角的余弦值为

B．当时，

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，存在点，使得

三、填空题

9．在直三棱柱中，给出向量：①；②；③；④．可以作为平面ABC的法向量的是_______．（选填序号）

10．在正方体中，E为的中点，若O为底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为_________.

11．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，给出下面四个结论：

①点可以是棱的四等分点，且靠近点；

②线段的最大值为；

③点的轨迹是正方形；

④点轨迹的长度为．

则其中所有正确结论的序号是________．

（注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分）

12．已知正四面体中，，分别是线段，的中点，点是线段上靠近的四等分点，则直线与所成角的余弦值为________．

四、解答题

13．已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．

14．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求平面与平面夹角的余弦值；

15．已知直四棱柱的底面为菱形，且，，点为的中点.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值.

16．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点在棱上，且，点是棱上的动点（不含端点）.

(1)若是棱的中点，求的余弦值；

(2)求与平面所成角的正弦值的最大值.