江苏省苏州市姑苏区平江中学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

2023-2024学年平江中学初三年级10月份月考数学试卷

一、选择题（共8小题）

1．下列方程是一元二次方程的是（    ）

A．     B．     C．     D．

2．一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（    ）

A．     B．     C．     D．1，0

3．下列函数中，随增大而增大的是（    ）

A．     B．     C．     D．

4．若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（    ）

A．     B．     C．0     D．1

5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（    ）

A．     B．     C．     D．

6．下列选项是对二次函数的描述，其中正确的是（    ）

A．图象的开口向下     B．图象的对称轴为直线

C．函数的最小值为1     D．当时，随的增大而增大

7．函数和为常数，且，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是

A．          B．

C．       D．

8．如图，垂直于轴的直线分别与抛物线和抛物线交于两点，过点作轴分别与轴和抛物线交于点，过点作轴分别与轴和抛物线交于点，，则的值为（    ）

A．     B．     C．     D．

二、填空题（共8小题）

9．若关于的方程有一个根是3，则________．

10．方程的根是________．

11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．

12．若一元二次方程配方后为，则________．

13．某药品原价每盒50元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒32元，则该药品平均每次降价的百分率是________．

14．已知二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则________．（填““”或“”）

15．用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则的值是________．

16．如图，抛物线（其中为常数）的对称轴为直线，与轴交于点，点，则的长度为________．

三、解答题（共8小题）

17．解下列方程

（1）     （2）

18．某品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果需要盈利700元，那么每件降价多少元？

19．已知关于的一元二次方程（为常数）．

（1）当时，求出该一元二次方程实数根；

（2）若是1这个一元二次方程两根，且是以为斜边的直角三角形两直角边，求的值．

20．如图，已知二次函数的图象经过点．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）

（3）结合图象，直接写出当时，的值是________．

21．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…按此规律排列下去，解答下列问题：

（1）第5个图案中黑色三角形的个数有________个．

（2）第个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．

22．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、C两点，经过两点的抛物线与轴的另一交点的坐标为，连接．

（1）填空：________，________，________；

（2）若点在直线下方的抛物线上一动点，当恰好平分时，求点横坐标．

23．如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点分别从点出发向右移动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒1个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动．

           图1                       图2

（1）请你在图1中，画出2秒时的线段；

（2）如图2，在动点运动的过程中，当运动时间为何值时，？

（3）在动点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间；若不能，请说明理由．

24．已知如图，抛物线是常数，且的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接．

（1）填空：________；

（2）设，请写出关于的函数表达式，并求出的最大值；

（3）将沿点到点的方向平移，使得点与点重合．设点的对应点为点，问点能否落在二次函数的图象上？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．

2023-2024学年平江中学初三年级10月份月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题）

1．【答案】D

【解答】解：A．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；

B．，是分式方程，故本选项不合题意；

C．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；

D．，是一元二次方程，故本选项符合题意．

故选：D．

2．【答案】C

【解答】解：中，一次项系数为1，常数项为，

故选：C．

3．【答案】C

【解答】解：由题意，对于，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，∴A、B不符合题意，C符合题意．

对于D选项，，当时，随增大而减小，

∴D不符合题意．

故选：D．

4．【答案】A

【解答】解：一元二次方程没有实数根，

，

，

故选：A．

5．【答案】B

【解答】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到：，再向上平移1个单位长度得到：．

故选：B．

6．【答案】C

【解答】解：对于二次函数，，

图象开口向上，A选项说法错误，不符合题意；

图象的对称轴为直线，B选项说法错误，不符合题意；

函数的最小值为1，C选项说法正确，符合题意；

当时，随的增大而减小，D选项说法错误，不符合题意；

故选：C．

7．【答案】D

【解答】解：，

二次函数的图象的顶点为，故A、B不符合题意；

当时，，

一次函数的图象过点，故C不符题意，D符合题意．

故选：D．

8．【答案】D

【解答】解：设点坐标为，

令，

解得，

点．

令，

解得，

点，

．

轴，

点的横坐标与点的横坐标相同，为，

，

点的坐标为．

轴，

点的纵坐标为，

，

，

点的坐标为，

，

则．

故选：D．

二、填空题（共8 小题）

9．【答案】．

【解答】解：把代入方程得，

解得．

故答案为：．

10．【答案】见试题解答内容

【解答】解：，

，

解方程得：，

故答案为：1或2．

11．【答案】且．

【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

即，

解得，

又为一元二次方程的二次项系数，

．

的取值范围是且．

故答案为：且．

12．【答案】见试题解答内容

【解答】

故答案为：1．

13．【答案】见试题解答内容

【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是，

依题意，得：，

解得：（不合题意，舍去）．

故答案为：．

14．【答案】见试题解答内容

【解答】解：二次函数图象的对称轴为直线，

当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，

该函数经过点，

，

故答案为：．

15．【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据题意得：，

解得：，

则．

故答案为：1．

16．【答案】4．

【解答】解：抛物线（其中为常数）的对称轴为直线，

，

解得：，

，

令，得，

解得：，

，

；

故答案为：4

三、解答题（共8小题）

17．【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）直接开方得

解得：；

（2）去分母得：，

解得：（舍）

18．【答案】5元或30元．

【解答】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，

依题意得：，

整理得：，

解得：．

答：每件降价5元或30元．

19．【答案】（1）；

（2）5．

【解答】解：（1）把代入一元二次方程得，

则，

解得；

（2）是一元二次方程两根，

是以为斜边的直角三角形两直角边，

，

，

，

解得（负值舍去），．

故的值为5．

20．【答案】（1）；  （2）图形见解答；  （3）或0．

【解答】解：（1）将代入二次函数，得

解得

该二次函数的表达式为；

（2）如图，直线为所求对称轴；

由（1）得二次函数的解析式为，

变换形式得，

所以可以得出顶点的坐标为，对称轴为．

（3）令，则，

解得：或，

结合图形得时，．

故答案为：．

21．【答案】（1）15；

（2）第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个．理由见解答部分．

【解答】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：，

故答案为：15；

（2）不能，理由如下：

第个图案中黑三角的个数为，

根据题意，得，

解得，不是整数，不合题意．

所以第个图案中黑色三角形的个数不能是50个．

22．【答案】（1），1，2；   （2）．

【解答】解：（1）由得，，

把代入，，

，

当时，，，，

，

故答案为：，1，2；

（2）如图，

作轴，与的延长线于，

，

，

平分，，

，

，，

设直线的关系式为：，

，

，

由，

，

点的横坐标为：．

23．【答案】（1）作图见解析部分．

（2）．

（3）的值为或．

【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求作．

（2）由题意，，解得．

（3）如图2中，作于，则，

在中，，即，

①当时，；

解得，或8（舍去）；

②当时，；

解得，；

③当时，；

整理得，；

无解．

综上所述，满足条件的的值为或．

        图1                       图2

24．【答案】（1）45；  （2）的最大值为；  （3）．

【解答】解：（1）把代入得：，

解得：，

，，，

点在点的左侧，

点的坐标为，点的坐标为，

，

把代入得：，

点的坐标为，，，

，，

故答案为：45．

（2）抛物线的对称轴为直线，

把代入得：，

点，

设直线的解析式为，把代入得：，

解得：，

直线的解析式为，

把代入得：，

点，

，

，

，

当时，有最大值，且最大值为．

（3），

根据平移可知，点的横坐标为：，

点的纵坐标为：，

即点，

当在抛物线上时，则，

解得：或（舍去）．