福建省龙岩第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题含参考答案

龙岩一中2023届高三上学期第一次月考

数学试题

考试时间:120分钟   试卷满分:150分

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（       ）

A．B．     C． D．

2．已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（      ）

A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a

3．下列命题中，错误的命题有（      ）

A．函数与不是同一个函数

B．命题“，”的否定为“，”

C．设函数，则在上单调递增

D．设,则 “”是“”的必要不充分条件

4．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度（单位：）随时间t（单位：h）的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数.已知某麻醉药的消除速率常数（单位：），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为（）（       ）

A．0.8B．3.5 C．2.2 D．3.2

5.设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为(　)

A．      B．

C．D．

6.函数的图象大致为(　　)

A． B．

C． D．

7．已知函数有唯一零点，则（   ）

A． B． C． D．1

8．已知定义在上的函数满足：，，当时，，则（       ）

A．      B．C．D．

二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分.

9．若，则下列结论中正确的是（       ）

A． B． C． D．

10．关于函数说法正确的是（       ）

A．定义域为 B．图象关于轴对称

C．图象关于原点对称 D．在内单调递增

11．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（       ）

A．图象关于 (-1,0)对称 B．

C．的最小正周期为4 D．对任意都有

12．若实数x，y满足，，，则（       ）

A．且B．m的最大值为C．n的最小值为7 D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题：本大题共 4题，每小题 5分，共 20分, 其中第15题第一空2分，第二空3分.

13．已知集合，则____________.

14．若函数的定义域为，则的定义域为____．

15．已知正实数a，b满足，则的最小值为__________．

16．已知函数，若存在互不相等的实数，，，使得，则（1）实数的取值范围为_________；（2）的取值范围是_________．

四、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）设函数的定义域为，集合．

（1）求集合；

（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

18.（本题满分12分）已知函数，．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围．

19．（本题满分12分）已知奇函数的定义域为

（1）求实数的值；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

20．（本题满分12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且．经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元．现每台空调售价为0．9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．

（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本．

21. （本题满分12分）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等边三角形，且平面平面，和平面所成的角为45°，且点在平面上的射影落在四边形的中心，且.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成角(锐角)的余弦值.

22．（本题满分12分）已知有两个极值点，

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：.

龙岩一中2023届高三上学期第一次月考数学答案

1-8：C A C D    B A C B    9.ABD   10.ACD   11.BD   12.ABD

17．（1）要使得函数有意义，只需要

解得，所以集合．……4

（2）因为是的必要不充分条件，所以，……5

当时，，解得(舍去)…….6

当时，解得，

综上可知，实数的取值范围是．……..10

18.  (1)解：由函数，得的定义域为，…..1

当时，，，…….2

令，解得；令，解得，

所以函数在单调递减，在单调递增，

所以当时，取得最小值，即．………6

(2)解：令，

因为对于任意都有，只须在上恒成立，

又由，

因为，

所以，，即

所以在上单调递增，所以，解得，

所以当时，对任意都有成立．……..12

19．（1）因为函数是奇函数，所以，即，

即，即，

整理得，所以，即，………4

则，因为定义域为关于原点对称，所以b=3；……..6

（2）因为，所以，又当时，恒成立，所以，时恒成立，令，则，时恒成立，而，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的取值范围是．……..12

20．（1）由题意知，当时，，所以a=300．当时，；当时，．所以，…………..6

（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；当时，，当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990．因为，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元．……….12

21. （1）如图所示，连接，取的中点分别为，

再连接，由正方形的性质，可得为四边形的中心，

因为点在平面上的射影落在四边形的中心，所以平面，

设，因为和平面所成的角为45°，所以，

因为，所以，

又因为平面平面，平面平面，，

所以平面，，则，，

所以四边形是平行四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面；……….6

（2）在平面中，作，

如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建系，

则，

又因为平面平面，所以是平面的一个法向量.

设平面的法向量为，

因为，所以，

令，则解得，所以平面的法向量为.

记平面与平面所成的角为，可得，

所以平面与平面所成角(锐角)的余弦值为……………12

22．（1）由题意，的定义域为，，

因为有两个极值点，

所以方程即在上有两不等实根，

即函数在上有两不同零点，

因此只需，解得，

即实数的取值范围是；…………….5

（2）由（1）知，，，，

所以

，

因此要证，即证，

即证，

构造函数，，

则，

又在上显然恒成立，

所以在上单调递减，

又，，

由函数零点存在性定理可得，，使得，即，即；

所以当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

所以，

又在上显然单调递增，

所以，

所以，即，

………………12