八年级数学下册沪科版安徽省合肥市期末试卷附答案解析

安徽省合肥市2020―2021学年度第二学期期末质量检验八年级数学试题卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1. 关于的方程是一元二次方程，则值为（    ）

A. 或 B.  C.  D. 且

2. 当时，化简的结果是（    ）

A  B.  C.  D.

3. 已知关于的方程有两个不相等的正整数根，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 或

4. 如图，中，，于，交于，若，则大小是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（  ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（        ） 

A. 4 B. 6 C. 16 D. 55

8. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）（“里”是我国市制长度单位，里米）

A. 平方千米 B. 平方千米 C. 平方千米 D. 平方千米

9. 如图，在正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，垂足为P，连接．若正方形的边长为1，则线段的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②AF+BE=EF；③当点E与点B重合时，MH=；其中正确结论的个数是(　　)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 已知关于的一元二次方程的两个实数根一个大于，一个小于，则的取值范围是______．

12. 如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．

13. 如图，在中，，．是的中点，点在直线上运动，以为边向左侧作正方形，连接，若，则的最小值是_________．

14. 阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__________．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. （1）已知实数，满足，求的最大值；

（2）已知，，为正实数，且满足和，试判断以，，为三边的长的三角形的形状，并说明理由．

16. 如图，在四边形中，，.是四边形内一点，且.求证：（1）；（2）四边形是菱形.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 我们把满足方程正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；…

（1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值．

（2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，．

18. 如图，在菱形中，，为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接，，．

（1）求证：，，三点共线；

（2）若点为的中点，连接，求证：．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程解为，．请利用这种方法求下列方程：

（1）；

（2）．

20. 如图1，在正方形内作，交于点，交于点，连接，过点作，垂足为．如图2，将绕点顺时针旋转得到．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

六、（本题满分12分）

21. “低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.   

（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？   

（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？

七、（本题满分12分）

22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．已知关于的一元二次方程为．

（1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）求衍生点的轨迹的解析式；

（3）若无论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，求与满足的关系．

八、（本题满分14分）

23. 如图1，是的内角，，

（1）平分，交于点，过点作，过点作，判断四边形的形状：________；

（2）旋转到，如图2，边交于点，连接，AE=AF．过点作，过点作．问：是否平分．若是请证明，若不是请说明理由．

（3）四边形在（2）的条件下，若恰好，如图3．连接并延长，交的延长线于点．求证：．

参考答案

1-5. CCBBC      6-10. ACABC

11.        12.

13.             14. 3

15. 解：（1）由x2＋3x＋y−5＝0可得：y＝−x2−3x＋5．

x＋y＝x＋（−x2−3x＋5）＝−x2−2x＋5＝−（x2＋2x＋1）＋6＝−（x＋1）2＋6．

因为−（x＋1）2≤0，所以−（x＋1）2＋6≤6，

即当x＝−1时，x＋y的最大值为6．

（2）以b，c，a＋b为三边的长的三角形是等腰直角三角形，理由如下：

由b2＋ba−ca−c2＝0可得：（b2−c2）＋（ab−ac）＝0，

（b＋c）（b−c）＋a（b−c）＝0，（b−c）（a＋b＋c）＝0，

因为a，b，c都为正数，

所以b−c＝0，a＋b＋c≠0，

所以b＝c，即以b，c，a＋b为三边的长的三角形是等腰三角形，

a2＋ac＋ab−b2＝0……①，b2＋ba−ca−c2＝0……②，

由①＋②得：a2＋2ab−c2＝0，（a2＋2ab＋b2）−b2−c2＝0，b2＋c2＝（a＋b）2．

即以b，c，a＋b为三边的长的三角形是直角三角形，

所以以b，c，a＋b为三边的长的三角形是等腰直角三角形．

16. 解：（1）∵.∴点、、在以点为圆心，为半径的圆上.

∴.

又，∴.

（2）证明：如图②，连接.

∵，，，∴.∴，.

∵，，∴，.

又.∴，∴.

又，，∴，∴四边形是菱形.

17. （1），，，是“三维勾股数”，，，

由已知数据可知，第一个数比第四个数小2，且第一个数与第四个数的和是中间两数的积，

，且为正整数，，解得，

（2），，

即，令，

解得，

．

18. 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，

∴△ADC是等边三角形，∴AD＝AC＝AB＝BC，∴△ACB是等边三角形，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，

∵∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠CDF，

∵将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，∴,

在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（AAS），

∴,∴，∴，，三点共线；

（2）如图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，

∵BH∥AC，∴∠H＝∠GAE，∠ABH＋∠BAC＝180°，∴∠ABH＝120°＝∠ACF，

∵点G为BE的中点，∴BG＝GE，

在△AGE和△HGB中，，∴△AGE≌△HGB（AAS），

由（1）得,∴AE＝BH＝CF，AG＝GH＝AH，

在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF（SAS），

∴AF＝AH，∴AF＝2AG．

19. 解：（1）

设，则原方程可化为，

解得，．

当时，即，解得

当时，即，解得，

所以原方程的解为，；

（2）

设，则原方程可化为，

解得，．

当时，即，解得

当时，即，解得，

所以原方程的解为，．

20. 解：（1）由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．

∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．

又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．

在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE（SAS）．

（2）由旋转的性质可知：DF=BG，

∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=GB+BE=EF=5．

设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．

Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．

解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．

21. （1）解：设平均增长率为x，根据题意得：640=1000;

解得：x=0.25=25%或x=-2.25(舍去）；∴四月份的销量为：1000（1+25%）=1250（辆）；

答：新投放的共享单车1250辆.

（2）解：设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：

500y+1000(100-y)≤70000;解得：y≥60;

∴利润W=（700-500）y+(1300-1000)(100-y)

=200y+300(100-y)

=-100y+30000

∵-100＜0,∴W随着x的增大而减小；

∴当y=60时，利润最大=-100×60+30000=2400（元）；

答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车.

22. 解：（1）

不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）

，，

衍生点的轨迹的解析式；y=x+2；

（3）解：直线经过定点

关于方程有两个根

由根与系数的关系式得，

23. 解：（1）∵，∴四边形ABFG为平行四边形

∵中，∴∠ABC=180°－∠DAB=120°

∵平分，∴∠ABF==60°∴∠AFB=180°－∠ABF－∠FAB=60°

∴△FAB为等边三角形，∴BF=BA，∴四边形ABFG为菱形

（2）答：平分

理由：过点作于N，作于M

∴

∵由题意得：， AE=AF∴是等边三角形∴

∴

∵，即：

∵在中，，

∴

∴

∴

∴，∴，∴

又∵，作

∴平分

（3）∵，

∴四边形是平行四边形

∵由（2）知

∴平行四边形是菱形

∴

∵

∴

∵

∴，

∴，

设、交于点

在中，

∵，

∴四边形为平行四边形

∴

∵，

∵四边形为平行四边形

∴，

∴四边形为平行四边形，

又∵

∴

∴

∵，

∴，

∵

∴

∴

∴