湖南省长沙市浏阳市2022届九年级上学期期中质量监测数学试卷(含答案)

九年级数学

（（时量：120分钟    总分：120分    形式：闭卷）

一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分）

1. 下列方程是一元二次方程的是（   ）

A. 2x+1=0 B. y2+x=1 

C. x2+1=0 D. +x2=1

【答案】C

2. 如图图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】D

3. 一元二次方程的根的情况是（      ）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 没有实数根 D. 无法确定

【答案】B

4. 某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（  ）

A. x(x－10)＝200 B. 2x＋2(x－10)＝200 

C. x(x＋10)＝200 D. 2x＋2(x＋10)＝200

【答案】C

5. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（      ）

A. 6 B.  C. 5 D.

【答案】D

6. 抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

7. 若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是（ ）

A. a<1 B. a≤4 C. a≤1 D. a≥1

【答案】C

8. 现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x的值是 (     )

A. －1 B. 4 C. －1或4 D. 1或－4

【答案】C

9. 对于函数y＝5x2，下列结论正确的是(   )

A. y随x的增大而增大

B. 图象开口向下

C. 图象关于y轴对称

D. 无论x取何值，y的值总是正的

【答案】C

10. 如图，△ABC绕点C按顺时针旋转15°到△DEC，若点A恰好在DE上，则∠BAE的度数为（　　）

A. 15° B. 55° C. 65° D. 75°

【答案】A

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 若方程的一个根为，则__________．

【答案】0

12. 要使函数开口向上，则m的取值范围是__________．

【答案】m＜0

13. 以3和为两根的一元二次方程是__________．

【答案】（答案不唯一）

14. 已知点A（2，1），则绕原点O逆时针旋转180°后对应点的坐标是____________．

【答案】（﹣2，﹣1）

15. 一个等腰三角形的两边长是方程的两个根，那么这个等腰三角形的周长是__________．

【答案】10

16. 将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后图象顶点坐标为__________．

【答案】（2，－1）

三、解答题（本大题共8个小题，共72分）

17. 解方程：．

【答案】方程无实数根

【详解】解：，

∵a=1，b=-2，c=3，

∴∆=<0，

∴方程无实数根．

18. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．

（1）求证：△ADE≌△ABF．

（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　   　点，按顺时针方向旋转　   　度得到．

【答案】（1）证明见解析；（2）A；90

【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，

而F是CB的延长线上的点，

∴∠ABF=90°，

在△ADE和△ABF中，

，

∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转90度得到．

故答案为A，90．

19. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？

【答案】6

试题分析：本题考查单循环的计算公式，带入公式即可.

试题解析：设应邀请x支球队参加比赛，根据题意得 解得 (舍去)，答：邀请6支球队参加比赛.

20. 已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）

（1）与△ABC关于原点O成中心对称，画出；

（2）作出△ABC绕点A顺时针方向旋转后得到的．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【小问1详解】

根据△ABC的位置知A（0，3）、B（3，4）、C（2，2），

 ∵与△ABC关于原点O成中心对称，

∴点A1（0，-3），B1（-3，-4），C1（-2，-2），

在平面直角坐标系中描点A1（0，-3），B1（-3，-4），C1（-2，-2），

顺次连结，

如图所示，则为所求；

【小问2详解】

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转后得到的

∴点A2（0,3），点B2（1,0），C2（-1，1）

在平面直角坐标系中描点A2（0,3），点B2（1,0），C2（-1，1）

顺次连结

如图所示，则为所求．

21. 如图，已知抛物线的对称轴为，请你解答下列问题：

（1）          ，抛物线与x轴的交点为          ．

（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

（3）x取什么值时，．

【答案】（1）m＝2    （2，0）（－1，0）   

（2）x＞   

（3）－1＜x＜2

【小问1详解】

抛物线的对称轴为直线x＝−=，

∴m＝2，

抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，

当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝2，

∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0）；

故答案为：2，（﹣1，0），（2，0）；

【小问2详解】

由函数图象可知，当x＞时，y的值随x的增大而减小；

【小问3详解】

由函数图象可知，－1＜x＜2时．

22. 在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，小明要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半，其中花园四周小路的宽度都相等，求小路的宽．

【答案】2m

【详解】解：设小路宽为xm，由于花园四周小路的宽度相等

则根据题意，可得（16-2x）（12-2x）=×16×12

即x2-14x+24=0,

解之得x=2或x=12

由于矩形荒地的宽是12m，故舍去x=12

答：花园四周小路宽为2m．

23. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

【答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.

【详解】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3得：0=+3m+3，

解得：m=2，

∴y=+2x+3=，

∴顶点坐标：（1，4）．

（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

∵点C（0，3），点B（3，0），

∴，解得：，

∴直线BC解析式为：y=﹣x+3，

当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
24. 某公司拟用运营指数y来量化考核司机的工作业绩，运营指数（y）与运输次数（n）和平均速度（x）之间满足关系式为y=ax2＋bnx＋100，当n=1,x=30时，y=190；当n=2，x=40时，y=420

用含x和n的式子表示y；

当运输次数定为3次，求获得最大运营指数时的平均速度；

若n=2,x=40,能否在n增加m%（m＞0）,同时x减少m%的情况下，而y的值保持不变，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

参考公式：抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标是（－，）

【答案】；90；m=50．

【详解】（1）由条件可得， 解得

∴

（2）当n=3时，

由 可知，要使Q最大，

（3）把n=2,x=40带入,可得y=420,

再由题意，得

即2（m%）2-m%=0 解得m%= ，或m%=0（舍去）

 ∴m=50

25. 在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2－1

（1）若抛物线过点A（1，0），求抛物线C1的解析式；

（2）将（1）中的抛物线C1平移，使其顶点在直线L1：y=x上，得到抛物线C2，若直线L1与抛物线C2交于点C、D，求线段CD的长；

（3）将（1）中的抛物线C1绕点A旋转180°后得到抛物线C3，直线y=kx－2k＋4与抛物线C3只有唯一交点，求符合条件的直线l的解析式．

【答案】（1）y=－1；（2）CD=；（3）x=2或或

【详解】解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax2﹣1，

可得y＝x2﹣1

（2）可设抛物线C2的顶点为（m，n），

依题意抛物线C2为y＝（x﹣m）2+m

与直线y＝x联立解方程组得：x1＝m，y1＝m；x2＝m+1，y2＝m+1

即C（m，m），D（m+1，m+1）

过点C作CH∥x轴，过点D作DN∥y轴，CH交DN于点M，

∴CM＝1，DM＝1，

∴CD

（3）依题意可求出抛物线C3的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1

∵直线y＝kx﹣2k+4＝k（x﹣2）+4，∴直线l过定点M为（2，4）

①直线l∥y轴，则x＝2与抛物线C3总有唯一公共点（2，1）

②若直线l不平行于y轴，由一次函数y＝kx﹣2k+4（k≠0），

与y＝﹣（x﹣2）2+1联立方程组，消去y得x2﹣4x+3+kx﹣2k+4＝0

即x2﹣（4﹣k）x+7﹣2k＝0，△＝k2﹣12＝0，得k1，k2

∴ 或

综上所述，过定点M，共有三条直线l：x＝2或 或，它们分别与抛物线C3有唯一个公共点．