湖南省长沙市一中集团2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市一中集团2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省长沙一中集团九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．电影《万里归途》从宏观主义和细微的情怀方面揭示了反对战争和热爱和平的主题．影片用相当篇幅细致地刻画了我国外交人员的工作内容、职业精神以及面临的困境，让人真切感受，赢得观众的钦佩．根据相关数据显示，截至10月7日9点44分，《万里归途》以954000000的票房位居国庆档第一．其中，数字954000000用科学记数法表示为（　　）
A．954×106 B．9.54×107 C．9.54×108 D．9.54×109
2．把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有一个根为3，则m值为（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
4．2022年国庆期间长沙市在外省来长人员中发现2例新冠病毒无症状感染者，长沙市某医院紧急抽调20位90后医护人员积极参与社区志愿者工作，充分展示了新时代青年的责任担当，这20位志愿者的年龄统计如表，则他们年龄的中位数是（　　）
年龄（岁）
24
25
26
27
28
人数
2
5
8
3
2
A．8 B．25 C．26 D．27
5．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+k的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
6．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝30°，则∠BDC＝（　　）

A．30° B．60° C．50° D．70°
7．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象开口向上
B．该函数有最大值，最大值是 5
C．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
D．当x＞1时，y 随x的增大而增大
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（　　）

A．1 B． C． D．
9．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作一个三角形，则该三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
10．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点 A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若△PCD的周长为18，则PA的长度为（　　）

A．7 B．9 C．12 D．14
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为　 　．
12．大课间以轩轩为首的学习小组的几名同学在观察某个一次函数图象，轩轩说：“函数图象经过点（0，1）”蓓蓓说：“y随x的增大而增大”凡凡说：“函数图象不经过第四象限”．请你根据他们的叙述，写出一个满足上述性质的一次函数表达式 　 　．
13．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，则直径CD的长是 　 　．

14．将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为 　 　．
15．自党的十六届五中全会以来，国家大力倡导建设资源节约型和环境友好型的“两型社会”，建设节约型社会的核心是节约资源，作为中学生，我们可以从“变废为宝”做起．数学老师发现家里有一块直径是40厘米的圆形废纸（如图所示），老师打算在这个废纸上剪出一个圆心角为90°的最大扇形用来制作教具，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是 　 　厘米．
16．素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”．几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见．现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 　 　（填写数字序号即可）．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：|﹣1|﹣（﹣）﹣1﹣20220．
18．解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝7；
（2）（x﹣3）（x﹣1）＝8．
19．如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）作出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，画△A2B2C2；
（3）求在（2）中的旋转过程中，点B经过的路径长．

20．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线上的一点，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线y＝kx+m（k≠0）经过B，D两点，求直线BD的函数解析式；
（3）根据图象直接写出不等式组kx+m≥ax2+bx+c＞0的解集．

21．2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某学校开设了“烹饪、种菜、家用小电器维修、课桌椅维修”4个班级，随机调查了部分学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）．请根据统计图中的信息．

解答下列问题：
（1）本次抽查的样本容量是 　 　；
（2）在扇形统计图中，“课桌椅维修”对应的圆心角为度；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）如果该校初中学生共有2000名，那么选择“种菜”的学生约有多少人？
22．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元
（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）
（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O，与AB边相交于点D，与BC边相交于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：点E是的中点；
（3）若⊙O的直径为18，BC＝12，求AD的长．

24．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（−1，−3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 　 　；②y＝x2−1 　 　；③y＝x2+4 　 　．
（2）若抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝x12+x22，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
25．图形变换是初中数学学习的重要内容，某兴趣学习小组的同学利用所学知识，进行了一系列的图形变换操作实践活动，让我们一起来体验他们的探究过程吧．

（1）轴对称：将正方形纸片ABCD折叠，使边AD、AB都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1，求∠EAF的大小；
（2）旋转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点H、G，连接GH，如图2，则线段BH、GH．DG之间存在的数量关系为 　 　，并证明你的结论；
（3）计算：在图2中，连接正方形对角线BD，若∠GAH的两边AH、AG分别交对角线BD于点M、点N．如图3，若BM＝3，DN＝4，求正方形ABCD的面积．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．电影《万里归途》从宏观主义和细微的情怀方面揭示了反对战争和热爱和平的主题．影片用相当篇幅细致地刻画了我国外交人员的工作内容、职业精神以及面临的困境，让人真切感受，赢得观众的钦佩．根据相关数据显示，截至10月7日9点44分，《万里归途》以954000000的票房位居国庆档第一．其中，数字954000000用科学记数法表示为（　　）
A．954×106 B．9.54×107 C．9.54×108 D．9.54×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：954000000＝9.54×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
解：A、最小旋转角度＝＝120°；
B、最小旋转角度＝＝90°；
C、最小旋转角度＝＝72°；
D、最小旋转角度＝＝60°；
综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是D．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．
3．已知一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有一个根为3，则m值为（　　）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
【分析】把x＝3代入方程x2﹣4x﹣m＝0中得：32﹣4×3﹣m＝0，然后进行计算即可解答．
解：把x＝3代入方程x2﹣4x﹣m＝0中得：
32﹣4×3﹣m＝0，
9﹣12﹣m＝0，
﹣m＝12﹣9，
﹣m＝3，
m＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
4．2022年国庆期间长沙市在外省来长人员中发现2例新冠病毒无症状感染者，长沙市某医院紧急抽调20位90后医护人员积极参与社区志愿者工作，充分展示了新时代青年的责任担当，这20位志愿者的年龄统计如表，则他们年龄的中位数是（　　）
年龄（岁）
24
25
26
27
28
人数
2
5
8
3
2
A．8 B．25 C．26 D．27
【分析】根据中位数的定义进行解答即可．
解：将这20人的年龄从小到大排列，处在中间位置的两个数都是26岁，因此中位数是26，
故选：C．
【点评】本题考查中位数，理解中位数的定义是正确解答的前提．
5．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+k的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【分析】由2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜2，可得出y1＜y2．
解：∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+k的图象上的两个点，且﹣3＜2，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝30°，则∠BDC＝（　　）

A．30° B．60° C．50° D．70°
【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，根据三角形内角和定理可求出∠A的度数，再根据“同弧所得的圆周角相等”可得答案．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”以及“同弧所得的圆周角相等”是正确解答的关键．
7．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象开口向上
B．该函数有最大值，最大值是 5
C．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
D．当x＞1时，y 随x的增大而增大
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标以及增减性即可求解．
解：y＝﹣（x﹣1）2+5中，
a＝﹣＜0，函数图象开口向下，A错误；
函数图象的顶点坐标是（1，5），当x＝1时，函数有最大值，最大值是5，B正确，C错误；
函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而增大；x＞1时，y随x的增大而减小，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（　　）

A．1 B． C． D．
【分析】由直角三角形的性质求出AC＝，∠B＝60°，由旋转的性质得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案
解：连接AA′，如图，

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC＝BC＝，∠B＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵CB＝CB′，∠B＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
过点A作AD⊥A'C于点D，
∴CD＝AC＝，
∴AD＝CD＝＝，
∴点A到直线A'C的距离为，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形的性质及等边三角形的判定与性质．
9．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作一个三角形，则该三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【分析】将圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距、边长的一半、圆的半径构造直角三角形，根据勾股定理分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理判得该三角形是直角三角形，由三角形的面积公式即可求其面积．
解：如图1，

∵OC＝2，
∴OD＝OC＝1；
如图2，

∵OB＝2，
∴OE＝BE，
∴OE2+BE2＝2OE2＝OB2＝4，
∴OE＝；
如图3，

∵OA＝2，
∴AD＝OA＝1，
∴OD＝＝＝，
则该三角形的三边分别为：1，，，
∵12+（）2＝（）2，
∴该三角形是直角三角形，
故选：D．



【点评】本题主要考查多边形与圆，特殊角的三角函数，勾股定理的逆定理，将圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距、边长的一半、圆的半径构造直角三角形是解题的关键．
10．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点 A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若△PCD的周长为18，则PA的长度为（　　）

A．7 B．9 C．12 D．14
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，再利用△PCD的周长为18得到PC+CE+DE+PD＝18，然后利用等线段代换得到PA+PB＝18，从而得到PA的长．
解：∵PA、PB分别切⊙O于点 A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，
∵△PCD的周长为18，
∴PC+CE+DE+PD＝18，
∴PC+CA+DB+PD＝18，
即PA+PB＝18，
∴PA＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：利用运用切线长定理是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为　（﹣1，2）　．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
解：根据中心对称的性质，可知：点P（1，﹣2）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣1，2）．
故答案是：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
12．大课间以轩轩为首的学习小组的几名同学在观察某个一次函数图象，轩轩说：“函数图象经过点（0，1）”蓓蓓说：“y随x的增大而增大”凡凡说：“函数图象不经过第四象限”．请你根据他们的叙述，写出一个满足上述性质的一次函数表达式 　y＝x+1（答案不唯一）　．
【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b，根据函数的性质得出b＝1，k＞0，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．
解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
∵函数的图象经过点（0，1），
∴b＝1，
∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，取k＝1，
∴y＝x+1，此函数图象不经过第四象限，
∴满足题意的一次函数解析式为：y＝x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键，属于开放型的题型．
13．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，则直径CD的长是 　20　．

【分析】由垂径定理，勾股定理，即可求解．
解：连接OA，设⊙O的半径是r，

∵OD⊥AB，
∴AE＝BE＝8，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
∴r＝10，
∴CD＝2r＝20，
故答案为：20．
【点评】.本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于⊙O的半径的方程．
14．将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为 　y＝﹣2（x+1）2　．
【分析】由平移的规律即可求得答案．
解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移1个单位，则函数解析式变为y＝﹣2（x+2﹣1）2＝﹣2（x+1）2．
故答案为：y＝﹣2（x+1）2．
【点评】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
15．自党的十六届五中全会以来，国家大力倡导建设资源节约型和环境友好型的“两型社会”，建设节约型社会的核心是节约资源，作为中学生，我们可以从“变废为宝”做起．数学老师发现家里有一块直径是40厘米的圆形废纸（如图所示），老师打算在这个废纸上剪出一个圆心角为90°的最大扇形用来制作教具，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是 　5　厘米．
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到BC为直径，BC＝40厘米，则AB＝20厘米，于是可利用扇形的面积公式计算出被剪掉的部分的面积；设圆锥的底面圆的半径为rm，利用弧长公式得到2πr＝，解方程得到圆锥的底面圆的半径．
解：连接BC，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为直径，BC＝40厘米，
∴AB＝20厘米，
设圆锥的底面圆的半径为rm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝5，
即圆锥的底面圆的半径为5厘米．
故答案为：5．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”．几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见．现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 　①②③④　（填写数字序号即可）．
【分析】根据各部分图形的面积和差系导出a、b、c三者关系进行判断便可．
解：①由图形可知，，
整理得a2+b2＝c2，
故①符合题意；
②由图形可知，，
整理得a2+b2＝c2，
故②符合题意；
③由下图知，，
整理得a2+b2＝c2，
故③符合题意；

④由下图知，S△ADE＝S△ABC﹣S△BCE，

即，
∴，
∴DE＝c﹣，
由△ABE的面积公式得，
整理得a2+b2＝c2，
故④符合题意；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查的是勾股定理的证明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面积公式是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：|﹣1|﹣（﹣）﹣1﹣20220．
【分析】先计算绝对值、零次幂、负整数指数幂和平方根，再计算加减．
解：|﹣1|﹣（﹣）﹣1﹣20220
＝3+﹣1+2﹣1
＝4．
【点评】此题考查了绝对值、零次幂、负整数指数幂和平方根混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
18．解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝7；
（2）（x﹣3）（x﹣1）＝8．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）（x﹣3）2﹣9＝7，
（x﹣3）2＝16，
x﹣3＝±4，
x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，
x1＝7，x2＝﹣1；
（2）（x﹣3）（x﹣1）＝8，
x2﹣4x+3﹣8＝0，
x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0，x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）作出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，画△A2B2C2；
（3）求在（2）中的旋转过程中，点B经过的路径长．

【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）利用勾股定理求出OB，再利用弧长公式求解．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）∵OB＝＝
∴点B经过的路径长＝＝π．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线上的一点，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线y＝kx+m（k≠0）经过B，D两点，求直线BD的函数解析式；
（3）根据图象直接写出不等式组kx+m≥ax2+bx+c＞0的解集．

【分析】（1）直接代入求得函数解析式即可；
（2）根据对称性质求得D点坐标，再用待定系数法求得BD的解析式便可；
（3）根据函数图象得出直线BD不在抛物线下方，且抛物线在x轴上方的x的取值范围便可．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∵点D是抛物线上的一点，且与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（﹣2，3），
∵直线y＝kx+m（k≠0）经过B，D两点，
∴，
解得，
∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+1；
（3）根据函数图象可知，当直线BD不在抛物线下方，且抛物线在x轴上方时，﹣3＜x≤﹣2，
故不等式组kx+m≥ax2+bx+c＞0的解集为：﹣3＜x≤﹣2．
【点评】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式组，解决问题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质．
21．2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某学校开设了“烹饪、种菜、家用小电器维修、课桌椅维修”4个班级，随机调查了部分学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）．请根据统计图中的信息．

解答下列问题：
（1）本次抽查的样本容量是 　560　；
（2）在扇形统计图中，“课桌椅维修”对应的圆心角为度；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）如果该校初中学生共有2000名，那么选择“种菜”的学生约有多少人？
【分析】（1）用家用小电器维修的人数除以所占的百分比即可；
（2）用360°乘以课桌椅维修的百分比即可；
（3）用总人数减去其它组的人数求出种菜的人数即可补全条形统计图；
（4）用2000乘以种菜的百分比即可．
解：（1）224÷40%＝560（人），
故答案为：560；
（2）360°×＝108°，
答：在扇形统计图中，“课桌椅维修”对应的圆心角为108°；
（3）种菜的有560﹣84﹣168﹣224＝84（人），
补全条形统计图如下：

（4）2000×＝300（人），
答：选择“种菜”的学生约有300人．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键．
22．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元
（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）
（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低2元，则可增加20斤，再根据每斤利润×销量可得解；
（2）根据每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解；
（3）设每天盈利y元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得．
解：（1）根据题意，降价2元则销售量为60+2×10＝80（斤），
销售利润为：（30﹣15﹣2）×80＝1040（元），
答：若降价2元，则每天的销售利润是1040元；
（2）设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元，
根据题意得：（30﹣15﹣x）（60+10x）＝1100，
整理得：x2﹣9x+20＝0，
解得x1＝4，x2＝5，
∵为了尽快减少库存，
∴x＝5，
此时30﹣x＝25，
答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；
（3）设水果商每天获得的利润为y元，
根据题意得：w＝（30﹣x﹣15）（60+10x）＝﹣10x2+90x+900＝﹣10（x﹣）2+1102.5，
∵﹣10＜0，
∴当x＝时，y有最大值，最大值为1102.5，
此时30﹣x＝30﹣4.5＝25.5，
答：将商品的销售单价定为25.5元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用问题，根据等量关系列方程及二次函数，利用二次函数的图象及性质求解是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O，与AB边相交于点D，与BC边相交于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：点E是的中点；
（3）若⊙O的直径为18，BC＝12，求AD的长．

【分析】（1）连接OE，利用等腰三角形的性质，证明OE∥AB即可证明；
（2）利用圆周角定理以及等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（3）连接AE、CD，利用直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一以及证明△ABE∽△CBD，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OE，

∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠EFB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠OEC，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥AB，
∴∠OEF＝∠EFB＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）证明：如图，连接AE，

∵AC是直径，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴点E是的中点；
（3）解：连接AE、CD，

∵AC是⊙O的直径，AB＝AC，BC＝12，
∴∠CDB＝∠AEC＝∠AEB＝90°，BE＝CE＝6，
∵∠B＝∠B，
∴△ABE∽△CBD，
∴＝，即＝，
解得：BD＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝18﹣4＝14，
故AD的长为14．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（−1，−3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 　√　；②y＝x2−1 　√　；③y＝x2+4 　×　．
（2）若抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝x12+x22，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）由定义可得3x＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1，再由判别式Δ＝m﹣1≤0，求出m≤1，根据根与系数的关系可得t＝（m﹣）2﹣，当m＝1时，t有最小值；
（3）由定义可得x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，由题意可知Δ＝（b﹣c）2﹣a﹣c+2＝0，得到a＝（b﹣c）2﹣c+2，当﹣1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值求出c的值；当c≥2时，当b＝2时，a有最小值求出c的值；当c≤﹣1时，当b＝﹣1时，a有最小值，求出c的值．
解：（1）①当3x＝2x﹣1，解得x＝﹣1，
∴点（﹣1，﹣3）在y＝2x﹣1上，
∴y＝2x﹣1存在一中点”（﹣1，﹣3），
故答案为：√；
②当3x＝x2−1，解得x＝或x＝，
∴点（，）或（，）在y＝x2−1 上，
∴y＝x2−1 上存在两个“一中点”（，）或（，），
故答案为：√；
③当3x＝x2+4时，
∵Δ＝9﹣16＜0，
∴y＝x2+4上不存在“一中点”，
故答案为：×；
（2）∵抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，
∴3x＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1，
整理得−x2+mx−m2﹣m+1＝0，
∴Δ＝m﹣1≤0，
∴m≤1，
∵x1+x2＝，x1•x2＝，
∴t＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（m﹣）2﹣，
∴当m＝1时，t有最小值；
（3）∵函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上有“一中点”，
∴x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，
整理得x2+（b﹣c）x+a+c﹣2＝0，
∵函数的“一中点”是唯一的，
∴Δ＝（b﹣c）2﹣a﹣c+2＝0，
∴a＝（b﹣c）2﹣c+2，
当﹣1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值2﹣c＝c，
∴c＝1；
当c≥2时，（2﹣c）2﹣c+2＝c，
解得c＝3+或c＝3﹣（舍）；
当c≤﹣1时，（﹣1﹣c）2﹣c+2＝c，
整理得c2＝﹣3，
∴c无解；
综上所述：c的值为1或3+．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，弄清定义是解题的关键．
25．图形变换是初中数学学习的重要内容，某兴趣学习小组的同学利用所学知识，进行了一系列的图形变换操作实践活动，让我们一起来体验他们的探究过程吧．

（1）轴对称：将正方形纸片ABCD折叠，使边AD、AB都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1，求∠EAF的大小；
（2）旋转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点H、G，连接GH，如图2，则线段BH、GH．DG之间存在的数量关系为 　BH+DG＝GH　，并证明你的结论；
（3）计算：在图2中，连接正方形对角线BD，若∠GAH的两边AH、AG分别交对角线BD于点M、点N．如图3，若BM＝3，DN＝4，求正方形ABCD的面积．

【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得AB＝CB＝AD＝CD，∠B＝∠D＝90°，则∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，由折叠得∠CAF＝∠BAC＝22.5°，∠CAE＝∠DAC＝22.5°，则∠EAF＝45°；
（2）将△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABI，则AI＝AG，BI＝DG，∠BAI＝∠DAG，先证明I、B、H三点在同一条直线上，再证明△IAH≌△GAH，得IH＝GH，即可证明BH+DG＝GH；
（3）将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABJ，连接JH，则AJ＝AN，BJ＝DN＝4，∠BAJ＝∠DAN，可证明△MAJ≌△MAN，则MN＝MJ＝＝5，所以BD＝3+4+5＝12，则2AB2＝AB2+AD2＝BD2＝144，所以S正方形ABCD＝AB2＝72．
【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，
由折叠得∠CAF＝∠BAF＝∠BAC＝22.5°，∠CAE＝∠DAE＝∠DAC＝22.5°，
∴∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝45°，
∴∠EAF等于45°．
（2）证明：如图2，将△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABI，
∴AI＝AG，BI＝DG，∠BAI＝∠DAG，
∵∠ABI＝∠D＝90°，
∴∠ABI+∠ABC＝180°，
∴I、B、H三点在同一条直线上，
∵∠BAD＝90°，∠GAH＝45°，
∴∠IAH＝∠BAI+∠BAH＝∠DAG+∠BAH＝45°，
∴∠IAH＝∠GAH，
∵AH＝AH，
∴△IAH≌△GAH（SAS），
∴IH＝GH，
∵IH＝BH+BI＝BH+DG，
∴BH+DG＝GH，
故答案为：BH+DG＝GH．
（3）解：如图3，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABJ，连接JH，
∴AJ＝AN，BJ＝DN＝4，∠BAJ＝∠DAN，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ABJ＝∠ADN＝45°，
∴∠MBJ＝∠ABJ+∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝90°，∠GAH＝45°，
∴∠MAJ＝∠BAJ+∠BAH＝∠DAN+∠BAH＝45°，
∴∠MAJ＝∠MAN，
∵AM＝AM，
∴△MAJ≌△MAN（SAS），
∵BM＝3，
∴MN＝MJ＝＝＝5，
∴BD＝BM+MN+DN＝3+4+5＝12，
∵2AB2＝AB2+AD2＝BD2＝122＝144，
∴AB2＝72，
∴S正方形ABCD＝AB2＝72，
∴正方形ABCD的面积是72．



【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．