2023年安徽省合肥168中中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年安徽省合肥168中中考数学一模试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年安徽省合肥168中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．（4分）下列图形，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）已知y是x的反比例函数，如下表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（　　）
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
3．（4分）已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
4．（4分）抛物线y＝﹣（3﹣x）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
5．（4分）一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有（　　）
A．40人 B．30人 C．20人 D．10人
6．（4分）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为（　　）
A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°
7．（4分）某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是（　　）
A．35% B．30% C．40% D．50%
8．（4分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
9．（4分）如图，点P为反比例函数上的一动点，作PD⊥x轴于点D，△POD的面积为k，则函数y＝kx﹣1的图象为（　　）

A． B．
C． D．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．（5分）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转 　 　度形成的．

12．（5分）若圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为　 　 cm2（保留π）．
13．（5分）在网络课程学习中，小蕾和小丽分别在《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为 　 　．
14．（5分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和2，则抛物线y＝bx2﹣ax+c的对称轴为 　 　．
三、解答题：40分
15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于0，求k的取值范围．
16．（4分）如图，AB是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC与BD交于点E，在BD的延长线上取一点F，使DF＝DE，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线．
（2）若AD＝5，AC＝8，求⊙O的半径．

17．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到△A′B′C′．
（1）画出三角形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．

18．（4分）如图，直线y1＝﹣x+4与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A直线y2＝x+b与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标；
（2）点P是x轴上一动点，连接AP，若△ACP是△AOB的面积的一半，求此时点P的坐标．

19．（4分）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．
（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？
（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？
20．（5分）如图，已知Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．
（1）当PQ∥BC时，t＝　 　s；
（2）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）如图2，取点Q关于AP的对称点Q'，连接AQ'，PQ'，得到四边形AQPQ'，是否存在某一时刻t，使四边形AQPQ'为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

21．（5分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打个结，若拿开红布，三根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队；否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾随意打了个结，求他恰好将AA1和BB1连成一条的概率．
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率．

22．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
（1）若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
（2）求证：BD2﹣AD2＝2DE•AB；
（3）求证：CE＝AB．

23．（5分）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．求OD的长．


2023年安徽省合肥168中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．（4分）下列图形，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可作答．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2．（4分）已知y是x的反比例函数，如下表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（　　）
x
﹣2
2
3
y
3
﹣3
▲
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的定义．菁优网版权所有
【分析】用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中x＝3代入，即可求出“▲”处的数．
【解答】解：设解析式为y＝，
将（2，﹣3）代入解析式得k＝﹣6，
这个函数关系式为：y＝﹣，
把x＝3代入得y＝﹣2，
∴表中“▲”处的数为﹣2，
故选：B．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式，
3．（4分）已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式；三角形三边关系．菁优网版权所有
【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．
能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．
【解答】解：∵Δ＝（2c）2﹣4（a+b）2＝4[c2﹣（a+b）2]＝4（a+b+c）（c﹣a﹣b），
根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．
∴Δ＜0．
∴该方程没有实数根．
故选：A．
【点评】本题是方程与几何的综合题．
主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．
4．（4分）抛物线y＝﹣（3﹣x）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣（3﹣x）2+5＝﹣（x﹣3）2+5
∴故其顶点坐标为：（3，5）．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
5．（4分）一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有（　　）
A．40人 B．30人 C．20人 D．10人
【考点】频数与频率．菁优网版权所有
【分析】直接利用频率的定义分析得出答案．
【解答】解：∵一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，
∴参加比赛的共有：8÷0.4＝20（人）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了频率的求法，正确把握定义是解题关键．
6．（4分）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为（　　）
A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】先根据邻补角的定义求出∠A，再分∠A是顶角与底角两种情况讨论求解即可．
【解答】解：∵∠A的相邻外角是130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
①∠A是顶角时，顶角为50°，
②∠A是底角时，顶角为180°﹣50°×2＝80°，
所以，这个三角形的顶角为50°或80°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，邻补角的定义，难点在于要分情况讨论．
7．（4分）某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是（　　）
A．35% B．30% C．40% D．50%
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设这两次平均降价的百分比是x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣这两次平均降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设这两次平均降价的百分比是x，
依题意得：（1﹣x）2＝（1﹣60%）×（1﹣10%），
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不合题意，舍去），
∴这两次平均降价的百分比是40%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（4分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
【考点】切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【解答】解：如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠C＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
9．（4分）如图，点P为反比例函数上的一动点，作PD⊥x轴于点D，△POD的面积为k，则函数y＝kx﹣1的图象为（　　）

A． B．
C． D．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；一次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义，求出k的值等于1，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点（0，﹣1）（1，0），即可确定选项．
【解答】解：设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限且在函数y＝的图象上，
∴xy＝2，
∴S△OPD＝xy＝×2＝1，即k＝1．
∴一次函数y＝kx﹣1的解析式为：y＝x﹣1，
∴一次函数的图象经过点（0，﹣1），（1，0）的直线．
故选：A．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值，再根据一次函数解析式确定与坐标轴的交点．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的图象可得出a＞0、b＜0、c＞0，由此即可得出反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象可得出：a＞0，﹣＞0，c＞0，
∴b＜0．
∴反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象找出a＞0、b＜0、c＞0是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．（5分）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转 　45　度形成的．

【考点】利用旋转设计图案；旋转对称图形．菁优网版权所有
【分析】利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形的旋转角度．
【解答】解：本题图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转8次形成．
所以旋转角为＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了图形的旋转，找到旋转中心和旋转次数，算出旋转角是解决本题的关键．
12．（5分）若圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为　15π　 cm2（保留π）．
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【分析】根据圆锥侧面积＝底面周长×母线长计算．
【解答】解：圆锥的侧面面积＝×6π×5＝15πcm2．
故本题答案为：15π．
【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积表达公式，较为简单．
13．（5分）在网络课程学习中，小蕾和小丽分别在《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为 　　．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】记《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》分别为A、B、C，列出表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：记《好玩的数学》《美学欣赏》《人文中国》分别为A、B、C，
列表如下：

A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门课程的结果有3种，
所以两人恰好选中同一门课程的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（5分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和2，则抛物线y＝bx2﹣ax+c的对称轴为 　直线x＝﹣　．
【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到＝﹣1，再根据抛物线对称轴公式即可得到抛物线的对称轴为直线x＝＝＝﹣．
【解答】解：∵﹣元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和2，
∴﹣1+2＝，即＝﹣1，
∴抛物线y＝bx2﹣ax+c的对称轴为直线x＝＝＝﹣，
故答案为：直线x＝﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，抛物线的对称轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题：40分
15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于0，求k的取值范围．
【考点】根的判别式；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】（1）根据一元二次方程总有两个实数根可知Δ≥0，求出△的值即可证得；
（2）利用十字相乘法解一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0，得到x＝1或x＝k+3，根据此方程恰有一个根小于0，列不等式求解即可得到k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0，
∴a＝1，b＝﹣（k+4），c＝k+3，
∴Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×（k+3）
＝k2+8k+16﹣4k﹣12
＝k2+4k+4
＝（k+2）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+4）x+3+k＝0，
∴（x﹣1）[x﹣（k+3）]＝0，
解得x＝1或x＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于0，
∴k+3＜0，解得k＜﹣3．
【点评】本题考查的是根的判别式，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、十字相乘法解一元二次方程、方程根的情况求参数范围等，熟练掌握一元二次方程的解法及判别式与方程根的情况是解决问题的关键．
16．（4分）如图，AB是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC与BD交于点E，在BD的延长线上取一点F，使DF＝DE，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线．
（2）若AD＝5，AC＝8，求⊙O的半径．

【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由等腰三角形的性质得出∠FAD＝∠EAD．证得∠FAB＝90°，则可得出结论；
（2）连接OD交AC于M，求出DM＝3，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥EF，∠BAD+∠ABD＝90°，
又∵DF＝DE，
∴AF＝AE，
∴∠FAD＝∠EAD．
∵AD＝CD，
∴∠FAD＝∠EAD＝∠ACD＝∠ABD，
∴∠FAB＝∠FAD+∠BAD＝∠BAD+∠ABD＝90°，
∴AF是⊙O的切线．
（2）如图，连接OD交AC于M，

∵AD＝CD，
∴，
∴OD⊥AC，AM＝CM＝AC＝4，
∴AD＝CD＝5，
在Rt△DMC中，DM＝＝3．
设⊙O的半径为x，则OM＝x﹣3，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
∴x＝．
⊙O的半径即OA＝．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定是解题关键．
17．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到△A′B′C′．
（1）画出三角形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；
（2）求△A′B′C′的面积．

【考点】作图﹣平移变换．菁优网版权所有
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，然后再连接即可；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求，
A′（﹣4，﹣2），B′（0，﹣4），C′（1，﹣1）；

（2）△A′B′C′的面积：3×5﹣×1×5﹣2×4﹣×1×3＝7．

【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
18．（4分）如图，直线y1＝﹣x+4与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A直线y2＝x+b与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标；
（2）点P是x轴上一动点，连接AP，若△ACP是△AOB的面积的一半，求此时点P的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求得A的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式以及直线y2的解析式，由直线y2的解析式即可求得C的坐标；
（2）连接OA、OB，分别作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，首先联立方程，求得交点A、B的坐标，从而求得AM＝3，BN＝1，MN＝2，求得△AOB的面积，设P（x，0），根据题意得出|x+2|＝，从而求得P的坐标．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4得，m＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3），
∵点A在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵直线y2＝x+b经过点A，
∴b＝2，
∴直线y2＝x+2，
令y2＝0，求得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）；

（2）连接OA、OB，分别作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
由题意得，
解得或，
∴A（1，3），B（3，1），
∴AM＝3，BN＝1，MN＝2，
∴S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB＝＝4，
设P（x，0），
∴CP＝|x+2|，
∴S△ACP＝＝S△AOB，
∴|x+2|＝，则x＝±﹣2，
∴x＝﹣或﹣
∴P点为（﹣，0）或（﹣，0）．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式以及三角形面积等，求得△AOB的面积是解题的关键．
19．（4分）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．
（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？
（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到96600元，根据总收入＝每亩收入×种植面积列出方程求解即可；
（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，列出W关于m的关系式即可得到答案．
【解答】解：（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到96600元，
由题意得x[480﹣2（x﹣200）]＝96600，
解得x2﹣440x+48300＝0，
解得x＝230或x＝210，
∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到96600元；
（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，
由题意得W＝m[480﹣2（m﹣200）]＝﹣2m2+880m＝﹣2（m﹣220）2+96800，
∵﹣2＜0，
∴当m＝220时，W最大，最大为96800，
∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是96800元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．
20．（5分）如图，已知Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．
（1）当PQ∥BC时，t＝　　s；
（2）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）如图2，取点Q关于AP的对称点Q'，连接AQ'，PQ'，得到四边形AQPQ'，是否存在某一时刻t，使四边形AQPQ'为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据勾股定理得出AC＝8cm，根据题意得到BP＝2ts，AQ＝2ts，AP＝（10﹣2t）s，根据平行线的性质即可得解；
（2）过点P作PD⊥AC于点D，根据平行线的性质得出PD＝（6﹣t）s，根据三角形面积公式得出S＝AQ•PD＝，根据二次函数的性质即可得解；
（3）假设存在某一刻t，使四边形AQPQ'为菱形，则有AQ＝PQ＝BP＝2ts，过点P作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，利用平行线分线段成比例的性质并结合勾股定理用自变量为t的函数表示出菱形AQPQ'的面积，最后在根据函数的性质求出菱形AQPQ'的面积．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝＝8cm，
∵点P、点Q的速度均为2cm/s，
∴BP＝2ts，AQ＝2ts，
∴AP＝（10﹣2t）s，
∵PQ∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴t＝（s），
故答案为：；
（2）如解图1，过点P作PD⊥AC于点D，

在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵PD⊥AC，
∴PD∥BC，
∴，
由（1）知，AP＝（10﹣2t）s，AQ＝2ts，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴，
解得PD＝（6﹣t）s，
∴S＝AQ•PD＝＝＝，
∴当t＝时，S取得最大值，最大值为．
（3）假设存在某一刻t，使四边形AQPQ'为菱形，则有AQ＝PQ＝BP＝2t，
如图2，过点P作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，

∴，
即，
解得PD＝（6﹣t）s，AD＝（8﹣t）s，
∴QD＝AD﹣AQ＝8﹣t﹣2t＝（8﹣t）s，
在Rt△PQD中，由勾股定理得QD2+PD2＝PQ2，
即，
化简得13t2﹣90t+125＝0，
解得t1＝5，，
∵0≤t≤4，
∴，
由（2）可知，，
∴＝，
∴当时，四边形AQPQ'为菱形，此时菱形的面积为．
【点评】此题是四边形综合题，考查了平行线分线段成比例、二次函数、勾股定理得中运用，在解题中利用数形结合思想把几何问题转化为函数求解是解题的关键．
21．（5分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打个结，若拿开红布，三根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队；否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾随意打了个结，求他恰好将AA1和BB1连成一条的概率．
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率．

【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出三根细绳连成一条的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）甲嘉宾随意打了个结，有3种可能的结果，
所以他恰好将AA1和BB1连成一条的概率＝；
（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果，其中三根细绳连成一条的结果数为3，
所以甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
22．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
（1）若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
（2）求证：BD2﹣AD2＝2DE•AB；
（3）求证：CE＝AB．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，求出CD；
（2）根据题意得到BD﹣AD＝2DE，根据勾股定理计算即可证明；
（3）延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，证明△AEF≌△，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠EAF，AF＝BC，再证明△ACF≌△CAB，得到CF＝AB，证明结论．
【解答】（1）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•DE，即×3×4＝×5×CD，
解得：CD＝；
（2）证明：∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BD﹣AD＝（BE+DE）﹣（AE﹣DE）＝BE﹣AE+2DE＝2DE，
∵CD⊥AB，
∴BC2＝BD2+CD2，AC2＝AD2+CD2，
∴BC2﹣AC2＝（BD2+CD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣AD2＝（BD+AD）（BD﹣AD）＝AB•2DE＝2DE•AB；
（3）证明：延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（SAS），
∴∠B＝∠EAF，AF＝BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝∠EAF+∠CAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ACB＝90°，
∵AC＝CA，
∴△ACF≌△CAB（SAS），
∴CF＝AB，
∵CF＝2CE，
∴CE＝AB．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．（5分）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．求OD的长．

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），将A（0，3）代入求解即可得出答案；
（2）把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，解方程求出x，即可得出OD＝1m．
【解答】解：（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），
把x＝0，y＝3代入上式得，3＝a（0﹣0.4）2+3.32，
解得a＝﹣2，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．
（2）把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，
化简得（x﹣0.4）2＝0.36，
解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1，
∴OD＝1m．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解．