2023年安徽省合肥市新站区卓越中学中考数学一模试卷（含答案）

2023年安徽省合肥市新站区卓越中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，则下列比例式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知中，，、、所对的边分别是、、，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若正方形的外接圆半径为，则其内切圆半径为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列函数中，当时，随的增大而增大的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，是反比例函数图象上的两点，分别过点，作轴、轴的垂线．已知，则阴影部分面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，的半径为，是的内接三角形，连接，，若与互补，则弦的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知二次函数的与的部分对应值如下表：

下列结论：抛物线的开口向下；其图象的对称轴为；当时，函数值随的增大而增大；方程有一个根大于其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  如图，在中，，，为上一点且：：，于，连接，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形是边长为的正方形，四边形是边长为的正方形，点与点重合，点，，在同一条直线上，将正方形沿方向平移至点与点重合时停止，设点、之间的距离为，正方形与正方形重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  一斜坡的坡角是，则此斜坡的坡度为______．

12.  设点是长度为的线段的黄金分割点，则的长为________．

13.  如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的线段的长为______．

14.  在边长为的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得到线段
如图，当线段绕点逆时针旋转时，线段的长______；
如图，连接，则长度的最小值是______．
 

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
作关于点成中心对称的；
以为位似中心，在图中画出将面积放大倍后的，计算的面积并直接写出点的坐标．

17.  本小题分
已知反比例函数的图象与二次函数的图象相交于点．
求和的值；
判断反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点并说明理由．

18.  本小题分
枯槔俗称“吊杆”“称杆”，如图，是我国古代农用工具，桔槔始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，且米，：：当点位于最高点时，；当点从最高点逆时针旋转到达最低点，求此时水桶上升的高度．
参考数据：，，
 

19.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，，对称轴与轴交于点，过顶点作轴于点，连接交于点．
求该抛物线的解析式及顶点的坐标．
求与的面积之比．

20.  本小题分
如图，点在的平分线上，与相切于点．
判断与的位置关系，并说明理由；
的延长线与交于点若的半径为，求弦的长．

21.  本小题分
如图，在矩形中，点为对角线的交点，，垂足为点，且的延长线交于点．
求证：；
如果，，求的长度．

22.  本小题分
某校八年级班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价元桶与年购买总量桶之间满足如图所示关系．
求与的函数关系式；
若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
求该班每年购买纯净水费用的最大值，并指出当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．

23.  本小题分
如图，在四边形中，于点，，点为中点，为线段上的点，且．
求证：平分；
连接，若，当四边形为平行四边形时，求线段的长；
如图，若点为为的中点，连接、，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式，即可判断．
【解答】
解：、变成等积式是：，故错误；
B、变成等积式是：，故错误；
C、变成等积式是：，故正确；
D、变成等积式是：，故错误．
故选C．  

2.【答案】 

【解析】解：抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为：．
故选：．
根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
．
故选：．
由已知条件可知，又知，，根据这些条件直接求解即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，牢记定义是关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是正方形和圆、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意画出图形，属于中考常考题型．
根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】
解：如图所示，连接、，

是小圆的切线，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：、，一次函数，故随着增大而减小，故A不符合题意；
B、，图象开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故B符合题意．
C、，二次函数，故当图象在对称轴右侧，随着的增大而减小；而在对称轴左侧，随着的增大而增大，故C不符合题意；
D、，，在每个象限里，随的增大而减小，故D不符合题意．
故选：．
根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性单调性，熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，是反比例函数图象上的两点，分别过点，作轴、轴的垂线，
，
，
，
．
故选：．
根据反比例函数解析式中的几何意义可知，因为，所以由此解决问题．
本题考查了反比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

7.【答案】 

【解析】解与互补，
，
，
，
过作，垂足为，

，
，
平分，
，
，
在中，，
，
，
，
故选：．
作弦心距，先根据已知求出，由等腰三角形三线合一的性质得：，利用角所对的直角边是斜边的一半可求得的长，根据勾股定理得的长，最后利用垂径定理得出结论．
本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，还在直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．
根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为，再由图象中的数据可以得到当取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，然后根据时，，时，，可以得到方程的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
【解答】
解：由表格可知，
二次函数有最大值，当时，取得最大值，
抛物线的开口向下，故正确，
其图象的对称轴是直线，故错误，
当时，随的增大而增大，故正确，
方程的一个根大于，小于，则方程的另一个根大于，小于，故错误，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
由题意可知，推出，根据已知条件得出，设，则，推出在中有，进而可得出答案．
本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数的定义，正确表示出的长度是解题的关键．
【解答】
解：根据题意：在中，，，
，
，
：：，
，
，
设，则，
在中有，．
则．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：，正方形与正方形重叠部分的面积为
；
；
综上可知，图象是
故选：．
图：





正方形与正方形重叠部分主要分为个部分，是个分段函数，分别对应三种情况中的对应函数求出来即可得到正确答案．
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
 

11.【答案】： 

【解析】解：一斜坡的坡角是，
此斜坡的坡度为：，即为：：．
故答案为：：．
直接利用坡度的定义得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割根据黄金比值为计算即可．
【解答】
解：点是长度为的线段的黄金分割点，，
．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：抛物线的解析式为，
则
令，解得：或，
则、，则，
圆的半径为，
函数的对称轴为直线，即，
，
如图，连接，

在中，，，
则：，
则：．
抛物线的解析式为，可以求出；在中根据勾股定理可以求出；则：．
本题主要考查二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点问题，理解“果圆”的定义是解此题的关键．
 

14.【答案】； 

【解析】解：，，
是等边三角形，
，
故答案是；
作于点．
菱形中，，
，
在直角中，，，
则，
在直角中，，
当在上时最小，则长度的最小值是：．
故答案是：．
根据旋转的性质可得，然后证明是等边三角形即可求解；
当在上时，线段长度最小，作于点，首先在直角中利用三角函数求得和的长，然后在直角中利用勾股定理求得的长，然后减去的长即可求解．
本题考查了旋转的性质，以及三角函数和勾股定理，正确理解等边三角形判定定理，理解最短的条件是关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，理解，，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
 

16.【答案】解：如图，即为所求；
如图，，或即为所求，面积，，．
 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用位似变换的性质作出图形即可，注意有两种情形．
本题考查作图旋转变换．位似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：因为反比例函数的图象与二次函数的图象相交于点．
所以，解得：，
，
解得：；
反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点．理由如下：
由知，二次函数和反比例函数的关系式分别是和；
因为，
所以二次函数图象的顶点坐标是；
因为时，，
所以反比例函数图象不经过二次函数图象的顶点． 

【解析】将交点坐标分别代入两个函数的解析式中，即可求得、的值；
根据可确定两个函数的解析式；求得二次函数的顶点坐标后，将其代入反比例函数的解析式中进行验证即可．
此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法及二次函数的顶点坐标的求法；在求二次函数的顶点坐标时，要针对题型要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法．
 

18.【答案】解：过作，过作于，过作于，如图所示：
则，
，，
，，
米，：：，
米，米，
，，
米，米，
米，
即此时水桶上升的高度约为米． 

【解析】过作，过作于，过作于，先求出，，再求出米，米，然后由锐角三角函数定义求出米，米，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

19.【答案】解：把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
，
顶点的坐标为；
，抛物线的对称轴为直线，
点的坐标为，
，，
，
∽，
与的面积之比． 

【解析】把点坐标代入中求出的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式化为顶点式得到顶点的坐标；
利用抛物线的对称性得到点的坐标为，再证明∽，然后根据相似三角形的性质解决问题．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质．
 

20.【答案】证明：连接，作于点，
与相切于点，
，
点在的平分线上，，，
，
直线与相切；
解：设交于，连接．
，，
，．
与相切于点，
．
又，
∽，
：：：：．
是直径，
．
设，则．
则，
解得，
． 

【解析】连接，作于点．证明即可．根据角的平分线性质易证；
设交于，连接根据勾股定理得，则证明∽，得：：：根据勾股定理求解．
此题考查了切线的判定、相似三角形的性质．注意：当不知道直线与圆是否有公共点而要证明直线是圆的切线时，可通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，来解决问题．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
；

解：四边形是矩形，
，
∽，
，
，，，
，
设，则，
，
解得：，
即． 

【解析】根据矩形的性质得出，，求出，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的性质得出即可；
根据矩形的性质得出，根据相似三角形的性质得出，求出，设，则，求出，再求出即可．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质和求出∽是解此题的关键．
 

22.【答案】解：设，
时，；时，．
，
解之，得，
与的函数关系式为．

该班学生买饮料每年总费用为元，
当时，，得．
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为元．
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．

设该班每年购买纯净水的费用为元，则
，
当时，，
要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，
则，
即，
解之，得元．
所以至少为元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，
由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯． 

【解析】设，根据题意得出，的值即可求出与的函数关系式．
分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得．
设该班每年购买纯净水的费用为元，解出二次函数求出的最大值可求解．
本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式以及运用二次函数解决实际问题的能力．
 

23.【答案】证明：如图，，
，
是的中点，
，
在中，，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，即平分；
解：设，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，由，可得：，
解得：负值舍去，
；
解：是的中点，
在中，，
，
，
，
，即，
∽，
． 

【解析】由知，由等腰三角形三线合一知，从而根据知，再由为等腰直角三角形知可得证；
设，知，证≌得，中利用勾股定理可得的值，从而得出答案；
是的中点知及，再由，即，得∽，即可得证．
本题属于四边形的综合题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．