2022-2023学年广东省梅州市大埔县三河中学九年级（下）开学数学试卷(含解析)

2022-2023学年广东省梅州市大埔县三河中学九年级（下）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平面直角坐标系中，以为圆心的圆过点，则点与的位置关系是(    )

A. 在圆内 B. 在圆外 C. 在圆上 D. 无法确定

2.  关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

3.  关于的方程的两实数根互为相反数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

4.  如图，小丽将平放在桌面上的正五边形磁力片和正方形磁力片拼在一起一边重合，则形成的的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知是方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  抛物线，，共有的性质是(    )

A. 开口向上 B. 都有最高点
C. 对称轴是轴 D. 随的增大而减小

10.  二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论：；；其中，正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为          ．

12.  方程的解是______．

13.  抛物线位于轴左侧的部分是______的．填“上升”或“下降”

14.  如图，把三角板中角的顶点放在半径为的上移动，三角板的长直角边和斜边与始终相交，且交点分别为、，则长为______．

15.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上．
Ⅰ线段的长等于______ ；
Ⅱ以为直径的半圆的圆心为，在线段上有一点，满足请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______ ．

16.  如图，中，，，，直线，且分别交边，于点、，已知直线将分为面积相等的两部分．如果将线段绕着点旋转，使点落在边上的点处，那么______．

17.  如图，已知中，，，，将绕点逆时针旋转一定的角度，若，直线分别交，于点，，当为等腰三角形时，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
关于的方程与有且只有一个公共根，求的值．

19.  本小题分
如图，弧弧，求证：．

20.  本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的方格中，点、、都是格点．
将绕点按逆时针方向旋转得到，请画出；
依次连结、，猜想四边形是什么特殊四边形？并说明理由．

21.  本小题分
如图，内接于，于，是的直径若，，，求的长．

22.  本小题分
如图，在四边形中，、是对角线，已知是等边三角形，，，，求边的长．

23.  本小题分
如图，在直角坐标平面内，直线与轴和轴分别交于、两点，二次函数的图象经过点、，且顶点为．
求这个二次函数的解析式；
求的值；
若是这个二次函数图象上位于轴下方的一点，且的面积为，求点的坐标．

24.  本小题分
如图，抛物线经过轴上的点和点及轴上的点，经过、两点的直线为．
求抛物线的解析式．
点从出发，在线段上以每秒个单位的速度向运动，同时点从出发，在线段上以每秒个单位的速度向运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为秒，求为何值时，的面积最大并求出最大值．
过点作于点，过抛物线上一动点不与点、重合作直线的平行线交直线于点若点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
由已知条件可知圆的半径为，再根据勾股定理可求出的长，和圆的半径比较大小即可判断点和的位置关系．
本题考查了点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论．
【解答】
解：以为圆心的圆过点，
圆的半径，
点，
，
点与的位置关系是在圆内，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．解答此题将代入方程可得：，解之求得的值，在根据一元二次方程的定义求解可得．
【解答】
解：根据题意将代入方程可得：，
解得：或，
，即，
，
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：设原方程的两根为、，则；
由题意，得；
，；
又，
当时，，原方程无实根；
当时，，原方程有实根．
．
故选：．
若方程的两根互为相反数，则两根的和为；可用含的代数式表示出两根的和，即可列出关于的方程，解方程求出的值，再把所求的的值代入判别式进行检验，使的值应舍去．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义，根的判别式，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

在正方形中，
，
在正五边形中，
，
，
故选：．
根据多边形的内角和公式及正多边形的性质求出，，再根据周角的定义即可求解．
此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线向右平移个单位长度，
平移后解析式为：，
再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为：．
故选：．
利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：知是方程的一个根，
，
，即，
．
故选：．
先化简，由是方程的一个根，得，则，再整体代入即可．
本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
故选：．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：开口向上，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点；
开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为；
开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为．
故选：．
根据二次函数的性质：开口方向，对称轴以及顶点坐标分析解题即可．
本题主要考查了二次函数顶点式的性质，正确把握相关性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，因此，对称轴在轴的左侧，、同号，故，与轴的交点在轴的正半轴，因此，
故，因此正确，
对称轴为，即，即，也就是，
由图象可知，当时，，即，因此有，所以正确，
当时，，
当时，，
得，，
又，则，
，
因此正确，
故选：．
根据二次函数的图象的位置，确定、、的符号，通过对称轴，与轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．
考查二次函数的图象和性质，根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围，是常见的题型．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的概念，一元二次方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．
已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出的值，注意二次项系数不为．
【解答】
解：关于的一元二次方程的一个根是，
，即，
，
故答案为：．  

12.【答案】， 

【解析】

【分析】
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程．
这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出．
【解答】
解：，
，
，．  

13.【答案】上升 

【解析】解：，
抛物线对称轴为轴，图象开口向下，
时，随增大而增大，
故答案为：上升．
由抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连结、，则．
的半径为，
的长．
故答案为．
连结、，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，得出，再根据弧长公式列式计算即可．
本题考查了弧长的计算，圆周角定，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式以及圆周角定理的内容．
 

15.【答案】解：Ⅰ．
故答案为：．
Ⅱ如图，点即为所求．


如图，取与网格线的交点，则点为中点，连接并延长交于点，连接交于点，连接，延长交的延长线于，则为的中位线，则，连接延长交于点，则，，即≌，则点即为所求． 

【解析】Ⅰ利用勾股定理求解即可．
Ⅱ取与网格线的交点，连接延长交于点，连接交于点，连接，延长交的的延长线于，连接延长交于点，点即为所求．
本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：中，，，，
，
直线，
∽，
直线将分为面积相等的两部分，
：：，
，即，
解得，
如图，过作于，则，
将线段绕着点逆时针旋转，可以使点落在边上的点处，
此时，．
故答案为：．
依据直线，可得∽，再根据直线将分为面积相等的两部分，即可得到：：，进而得出，解得，过作于，则，故将线段绕着点逆时针旋转，可以使点落在边上的点处，此时．
本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质以及旋转的性质的运用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
 

17.【答案】或 

【解析】解：如图中，当时，

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．

如图中，当时，过点作于．

同法可证，，设，则有，
解得，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，过点作于分别求解即可．
考查了旋转变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论使得思想思考问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：设方程的公共根为，
则，
由得 
将代入得：，
解得，，
当时，
． 

【解析】根据关于的方程与有且只有一个公共根可知，当取该公共根时，可建立方程组，解方程组可得的值．
本题考查了一元二次方程的解，并熟悉方程和方程组之间的转化．通过此题，体现了转化思想的作用．
 

19.【答案】证明：，
，
即，
． 

【解析】根据圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质进行解答即可．
本题考查圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：如图所示，为所求作的三角形：
；

四边形是平行四边形，
连结，，
点与，点与分别关于点成中心对称，
，，
四边形是平行四边形． 

【解析】将点、、分别绕点按逆时针方向旋转，得出对应点，即可得出；
连结、，，，由可得点与，点与分别关于点成中心对称，继而得出，，可证明四边形是平行四边形．
此题主要考查了图形的旋转，根据已知得出对应点位置是解题关键．
 

21.【答案】解：连接，则，
是的直径，
，
又，
，
∽，
，
即，
解得． 

【解析】连接，由圆周角定理，得，由为直径，，得，从而证明∽，利用相似比求．
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的运用．关键是由圆周角定理推出相似三角形．
 

22.【答案】解：如图，将绕点按顺时针方向旋转得，连接、、，

则是等边三角形．
和是等边三角形，
，
≌，
，
，
，
在中，由勾股定理得，．
． 

【解析】把绕点顺时针旋转得，连接，由旋转的性质知，，，可得为等边三角形，根据得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：由直线得点，，
将、两点的坐标代入，得
 ，
解得，
抛物线的解析式为；

如图，过点作轴交轴于点．
由知，抛物线的解析式为：，则配方得，
点，
，，，
．
，
，
，
；

如图，过点作轴并延长交直线于．
设点，，则．
，
，
，，
舍去，． 

【解析】根据直线方程求得点、的坐标；然后把点、的坐标代入二次函数解析式，通过方程组来求系数、的值；
如图，过点作轴交轴于点，构建等腰则，故；
如图，过点作轴并延长交直线于设点，，则由得到：，则易求的值．注意点位于第四象限．
本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线方程的三种形式，以及三角形面积的求法．解答题时，要注意点的位置．需要舍去位于轴上的．
 

24.【答案】解：点、在直线为上，
、，
点在抛物线上，
，
，，
抛物线解析式：；
由题意，得，
，，
由知，，
点到的高，
，
当时，的面积最大，最大值为；
过作轴交直线与点，过作轴交直线与点，
，
设，则
舍，或者，
综上所述，若点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的横坐标为：或或． 

【解析】利用待定系数法求出抛物线解析式；
先求出点到的高，于是，当时，的面积最大，最大值为；
分三种情况讨论，见答案。