2022-2023学年广东省梅州市大埔县三河中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省梅州市大埔县三河中学八年级（下）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 1，3，5D. 2，6，10
2. 下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等腰三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 矩形
3. 如图，AB/​/CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠AEC=40°，则∠B为°．( )
A. 40
B. 50
C. 130
D. 140
4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长(大于12AC)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD.下列结论错误的是( )
A. AD=CDB. ∠A=∠DCE
C. ∠ADE=∠DCBD. ∠A=2∠DCB
5. 已知ab=53，则a+bb的值为( )
A. 23B. 35C. 83D. 1
6. 观察图形，下列说法正确的个数是( )
(1)直线BA和直线AB是同一条直线(2)射线AC和射线AD是同一条射线(3)AB+BD>AD(4)线段AD和线段DA是同一条线段
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7. 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则该多边形的边数是( )
A. 六B. 七C. 八D. 九
8. 若x=1−2022，则代数式x2−2x+1的值是( )
A. 2021B. 2022C. −2021D. −2022
9. 如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A. PC⊥OA，PD⊥OB
B. OC=OD
C. ∠OPC=∠OPD
D. PC=PD
10. 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE.下列结论中：
①CE=BD；
②△ADC是等腰直角三角形；
③∠ADB=∠AEB；
④CD⋅AE=EF⋅CG；
一定正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 若点A(−1,m−1)与点B(n,2)关于y轴对称，则m+n=______．
12. 分解因式：2b2−8b+8= ______ ．
13. 因式分解：x(x+4)+4=______．
14. 如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB=OC，∠BAD=120°．
(1)∠ABC=______．
(2)E为BD边上的一个动点，BC=6，当AE+12BE最小时BE=______．
15. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点M，AC的垂直平分线交BC于点N，连接AM、AN，若∠MAN=10°，则∠BAC=______°.
16. 如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠C=40°，∠B=80°，则∠F=
17. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=120°，过对角线AC延长线上的一点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为E、F，则PE−PF=______．
三、解答题（本大题共8小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1−2a−1a2)÷a2−1a2+a，其中a=2．
19. (本小题6.0分)
如图：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接E、F，
求证：AD是EF的垂直平分线．
20. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，CA=CB，D是BC上的一点，AB=10，BD=6，AD=8.求△ABC的面积．
21. (本小题9.0分)
如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1,−2)，写出点B的坐标．
22. (本小题9.0分)
如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠B=∠C．
23. (本小题9.0分)
如图．AD⊥BC.∠1=∠2.∠C=65°.求∠BAC的度数．
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．
25. (本小题10.0分)
如图所示，AB，CD相交于点E，CF，BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线且相交于点F，求证：∠F=12(∠A+∠D)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.1+2=3，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B.2+3>4，能组成三角形，故此选项符合题意；
C.1+3<5，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D.2+6<10，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐个判断即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠AEC=∠A，∠DEB=∠B，
∵∠AEC=40°，
∴∠A=40°，
∵BE⊥AF，
∴∠AEB=90°，
∵∠CAE+∠AEB+∠DEB=180°，
∴∠DEB=90°−∠A=90°−40°=50°，
∴∠B=50°．
故选：B．
由平行线的性质可求解∠A的度数，∠DEB=∠B，利用垂线的定义可求解∠AEB=90°，再根据平角的定义的性质可求解．
本题主要考查平行线的性质，平角的定义，垂线的定义，利用∠CAE+∠AEB+∠DEB=180°是关键．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查作图−基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．
【解答】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC，故A正确，
∴DE/​/BC，∠A=∠DCE，故B正确，
∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：∵ab=53，
∴a+bb=ab+1=53+1=83．
故选：C．
先把要求的式a+bb化成ab+1，再进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，解题的关键是把a+bb化成ab+1，较简单．
6.【答案】D
【解析】解：(1)由直线的定义可知，直线BA和直线AB是同一条直线，直线没有端点，此说法正确，符合题意；
(2)由射线的定义可知，射线AC和射线AD是同一条射线，都是以A为端点，同一方向延伸的射线，所以此说法正确，符合题意；
(3)由两点之间线段最短可知AB+BD>AD，所以此说法正确，符合题意；
(4)由线段的定义可知，线段AD和线段DA是同一条线段，所以此说法正确，符合题意．
所以共有4个正确．
故选：D．
结合图形，根据线段、射线、直线的特征解答即可．
本题考查了线段、射线、直线的特征，以及两点之间线段最短的性质，熟练掌握线段、射线、直线的特征是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设多边形的边数为n，依题意，得
(n−2)⋅180°=3×360°，
解得n=8，
故选：C．
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
此题考查根据多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是利用不变的数量即多边形的外角和360°．
8.【答案】B
【解析】解：∵x=1−2022，
∴x−1=−2022，
∴(x−1)2=(−2022)2，
即x2−2x+1=2022，
故选：B．
由x=1−2022，得x−1=−2022，两边平方即可得x2−2x+1=2022．
本题考查与二次根式有关的代数式求值，解题的关键是将已知式子变形，再两边平方．
9.【答案】D
【解析】解：A.PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS，能判定△POC≌△POD，
B.OC=OD，根据SAS，能判定△POC≌△POD，
C.∠OPC=∠OPD，根据ASA，能判定△POC≌△POD，
D.PC=PD，SSA，无此判定定理，不能判定△POC≌△POD，
故选：D．
要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴CE=BD，
∴故①正确；
②∵四边形ACDE是平行四边形，
∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴②正确；
③∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，
∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAE=360°−90°−90°−45°=135°，
又AB=AB，AD=AE，
∴△BAE≌△BAD(SAS)，
∴∠ADB=∠AEB；
故③正确；
④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，
∴△CAE≌△BAE，
∴∠BEA=∠CEA=∠BDA，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE+∠BEA=90°，
∵∠GFD=∠AFE，∠ADB=∠AEB，
∴∠ADB+∠GFD=90°，
∴∠CGD=90°，
∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，
∴△CGD∽△EAF，
∴CDEF=CGAE，
∴CD⋅AE=EF⋅CG．
故④正确，
故正确的有4个．
故选：D．
①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，
②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；
③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；
④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．
此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及相似三角形的判定，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定是解决问题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵点A(−1,m−1)与点B(n,2)关于y轴对称，
∴n=1，m−1=2，
解得：m=3，
则m+n=3+1=4．
故答案为：4．
直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出m，n的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于y轴对称点的横纵坐标符号关系是解题关键．
12.【答案】2(b−2)2
【解析】解：原式=2(b2−4b+4)
=2(b−2)2．
故答案为：2(b−2)2．
先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13.【答案】(x+2)2
【解析】解：原式=x2+4x+4=(x+2)2．
故答案为：(x+2)2．
直接去括号进而利用公式法分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14.【答案】75° 22
【解析】解：(1)∵AC垂直平分线段BD，
∴AB=AC，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABD=(180°−120°)÷2=30°，
∵OB=OC，OB⊥OC，
∴∠OBC=45°，
∴∠ABC=30°+45°=75°，
故答案为：75°；
(2)作A关于OB的对称点A′，过A作AG⊥A′B于G，过点E作EF⊥A′B于F，
∵∠ABO=30°，
∴∠A′BO=30°，
∴FE=12BE，
∴AE+12BE=AE+FE≥AG，
设AG与OB交于E′，BE′即为当AE+12BE最小时的BE，
∵BC=6，∠OBC=45°，
∴OB=OC=BCcs45°=32，
∵cs∠A′BO=OBBA′=32BA′=32，
∴BA′=26，
∵∠A′BA=60°，AB=A′B，
∴△ABA′为等边三角形，
∴BG=12BA′=6，
∵cs∠A′BO=BGBE′=6BE′=32，
∴BE′=22．
故答案为：22．
(1)根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质即可求得∠ABC；
(2)作A关于OB的对称点A′，过A作AG⊥A′B于G，过点E作EF⊥A′B于F，将12BE转化为EF，再根据AE+12BE=AE+FE≥AG，设AG与OB交于E′，BE′即为当AE+12BE最小时的BE，求出BE′即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数解三角形，解决此题的关键是作出垂线EF和AG，将12BE转化为EF．
15.【答案】85
【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到∠BAM=∠B，∠CAN=∠C，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
解：∵AB的垂直平分线交BC于点M，
∴∠BAM=∠B．
∵AC的垂直平分线交BC于点N，
∴∠CAN=∠C，
∵∠BAN=∠BAM−∠NAM=∠B−10°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∠CAM=∠CAN−∠MAN=∠C−10°，
∴∠BAC=∠CAM+∠BAN+∠MAN=∠C−10°+∠B−10°+10°=180°−∠BAC−10°，
∴2∠BAC=170°
∴∠BAC=85°．
故答案为：85．
16.【答案】40°．
【解析】解：∵∠C=40°，∠B=80°，
∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠C=∠F=40°，
故答案为：40°．
直接利用轴对称的性质得出∠C=∠F，再利用三角形内角和定理得出答案．
此题主要考查了轴对称的性质，正确得出对应角相等是解题关键．
17.【答案】23
【解析】解：连接BD，AC交BD于O，如图：
∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=4，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠DAC=∠DCA=30°，AD=AB=4，BD⊥AC，
Rt△AOD中，OD=12AD=2，OA=AD2−OD2=42−22=23，
∴AC=2OA=43，
Rt△APE中，∠DAC=30°，PE=12AP，
Rt△CPF中，∠PCF=∠DCA=30°，PF=12CP，
∴PE−PF=12AP−12CP=12(AP−CP)=12AC，
∴PE−PF=23，
故答案为：23．
连接BD，AC交BD于O，根据已知可得AC=43，而PE−PF=12AP−12CP=12(AP−CP)=12AC，即可得到答案．
本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出AC，把PE−PF转化为12AC．
18.【答案】解：(1−2a−1a2)÷a2−1a2+a
=a2−2a+1a2⋅a(a+1)(a+1)(a−1)
=(a−1)2a⋅1a−1
=a−1a，
当a=2时，原式=2−12=12．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19.【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
∵AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD是EF的垂直平分线．
【解析】先求出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE=AF，根据等腰三角形性质推出即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
20.【答案】解：∵BD2+AD2=62+82=100，AB2=102=100，
∴BD2+AD2=AB2．
∴△ABC是直角三角形且∠ADB=90°．
设CA=CB=x，则CD=x−6．
在Rt△ADC中，CD2+AD2=AC2．
∴(x−6)2+82=x2，解得：x=253，即 BC=253．
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×253×8=1003．
【解析】先根据勾股定理的逆定理确定△ABC是直角三角形且∠ADB=90°，再根据勾股定理解决此题．
本题主要考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
21.【答案】解：由题意，可知点B与点A关于x轴对称，
又∵点A的坐标为(1,−2)，
∴点B的坐标为(1,2)．
【解析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果．
本题考查了平面直角坐标系中关于x轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．能够根据题意得出点B与点A关于x轴对称是解题的关键．
22.【答案】证明：在△ABD和△ACD中
∵AB=BCBD=CDAD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠B=∠C．
【解析】欲证明∠B=∠C，只要证明△ADB≌△ADC即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
23.【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°−65°=25°，∠1=∠2=45°，
∴∠BAC=∠1+∠DAC=45°+25°=70°．
【解析】先根据AD⊥BC可知∠ADB=∠ADC=90°，再根据三角形的内角和定理求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC=∠1+∠DAC即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，垂直的定义，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
24.【答案】解：∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=80°，
又∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC，
∴∠C=12∠ADB=12×80°=40°，
答：∠C的度数是40°．
【解析】利用等腰三角形的性质，等角对等边，可得∠ADC=∠B=80°，再利用外角的性质即可求出∠C的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用外角等于与它不相邻的两个内角的和．
25.【答案】解：如图所示：
∵CF、BF分别是∠ACD和∠ABD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△AMC和△FMB中，∠A+∠1=∠3+∠F①，
在△AEC和△DEB中，∠A+∠1+∠2=∠3+∠4+∠D，
即∠A+2∠1=2∠3+∠D②，
由①×2−②得，∠A=2∠F−∠D，
即2∠F=∠A+∠D，
∴∠F=12(∠A+∠D)．
【解析】由角的平分线得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形内角和定理和三角形的外角性质，即可得出结论．
本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．