长郡双语实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷及解析

2020级初三第一次阶段性错题整理

数  学

注意事项：

 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；

 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）

A． B． C． D．

【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；

、不是轴对称图形，是中心对称图形．

、是轴对称图形，也是中心对称图形；

、是轴对称图形，不是中心对称图形；

故选：C．

2．函数中自变量x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．

【解析】解：，

．

故选：．

3．如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是（       ）

A．154° B．126° C．116° D．54°

         第3题图                  第6题图                第7题图

【分析】由平行线的性质得到与的关系，再根据对顶角的性质得到与的关系，最后求出．

【解析】解：，

．

，

．

故选：．

4．下列计算正确的是（       ）

A．  B．

C．  D．

【分析】利用同底数幂的乘法的法则，完全平方公式，合并同类项的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．

【解析】解：、，故不符合题意；

、，故不符合题意；

、，故符合题意；

、，故不符合题意；

故选：．

5．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．

【解析】解：由解得，

由解得，

不等式的解集是，

在数轴上表示如图，

故选：．

6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（       ）

A．50° B．80° C．100° D．130°

【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用减去的度数，求出的度数是多少即可．

【解析】解：，

，

故选：．

7．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（       ）

A．70° B．65° C．60° D．55°

【分析】根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据旋转的性质可得．

【解析】解：绕直角顶点顺时针旋转得到△，

，

是等腰直角三角形，

，

，

由旋转的性质得．

故选：．

8．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（       ）

A．  B．

C．  D．

【分析】根据图象的平移规律，可得答案．

【解析】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是．

故选：．

9．如图，在平行四边形ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

                第9题图                                  第10题图

【分析】由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，所以求得，问题得解．

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，，

，

平分，

，

，

，

．

故选：．

10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（       ）

A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤

【分析】①由直径所对圆周角是直角，

②由于是的圆心角，是的圆内部的角，

③由平行线得到，再由圆的性质得到结论判断出；

④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位线得到结论；

⑥得不到和中对应相等的边，所以不一定全等．

【解析】解：①、是的直径，

，

，

②假设，

，

，

，

，

，

，

即：

，是半圆的三等分点，

而与“，是上的点”矛盾，

，

③、，

，

，

，

，

平分，

④、是的直径，

，

，

，

，

点为圆心，

，

⑤、由④有，，

点为中点，

是的中位线，

，

⑥和中，没有相等的边，

与不全等，

故选：．

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11．8月24日，我市在中心城区组织实施核酸筛查，截至24日24时，共核酸采样检测10 320 000人，将10 320 000用科学记数法表示为________．

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．

【解析】解：．

故答案为：．

12．分解因式：________．

【分析】直接提公因式x，再利用平方差公式即可．

【解析】解：原式，

故答案为：．

13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C=50°，则∠BAD的度数为________．

      第13题图               第15题图                     第16题图

【分析】连接，由圆周角定理的推论可知，因为与所对的弧为，所以．所以．

【解析】解：连接，如图．

为直径，

，

与所对的弧为，

．

．

故答案为：．

14．已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则________．

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．

【解析】解：由题意，得

，．

，

故答案为：．

15．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

 ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

 ②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为________．

【分析】首先根据题目中的作图方法确定是线段的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．

【解析】解：由题中作图方法知道为线段的垂直平分线，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

16．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则EF的长为________．

【分析】由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；则可得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．

【解析】解：逆时针旋转得到，

，

、、三点共线，

，，

，

，

，

在和中，

，

，

，

设，

，且，

，

，

，

在中，由勾股定理得，

即，

解得：，

．

故答案为：．

三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．计算：．

【分析】

先计算负指数幂、零指数幂，开根号和计算绝对值，最后算加减得出结果；

【解析】

解：原式；

18．先化简，再求值：，其中．

【分析】

直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．

【解析】

解：原式

，

当时，

原式．

19．如图，在8×8网格中，每个小正方形边长均为1．

（1）分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°所得的△A1B1C1及△ABC关于O点的中心对称图形△A2B2C2；

（2）连接A2B，BB2，求出△A2B2B的面积．

【分析】

（1）根据旋转的性质可得△，根据中心对称的性质可得△．

（2）利用割补法求三角形的面积即可．

【解析】

解：（1）如图，△和△即为所求．

（2）．

△的面积为5．

20．为宣传6月6日世界海洋日，某校八年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：

表1知识竞赛成绩分组统计表

（1）本次调查一共随机抽取了几个参赛学生的成绩？

（2）表1中a=________；

（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是________；

（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到90分以上（含90分）的学生约有多少人．

【分析】

（1）从两个统计图可得，“组”的有36人，占调查人数的，可求出调查人数；

（2）调查人数的是“组”人数，得出答案：

（3）根据中位数的意义，找出处在第50、51位两个数的平均数即可；

（4）样本估计总体，样本中90分以上（含90分）占，进而估计500人的在90分以上的人数．

【解析】

解：（1）（个．

（2）（个．

（3）将竞赛成绩从小到大排列后处在第50、51位的数都落在组，因此中位数落在组；

（4）（人．

答：该校九年级竞赛成绩达到90分以上（含90分）的学生约有180人．

故答案为：100；16．

21．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

（1）求证：AE=AB；

（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．

【分析】

（1）证明：连接、，如图，根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后证明，从而得到结论；

（2）利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用面积法求出的长．

【解析】

（1）证明：连接、，如图，

为切线，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）解：为直径，

，

，

，，

，

，

．

22．2022年10月17日是我国第9个扶贫日，也是第30个国际消除贫困日．为组织开展好扶贫日系列活动，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．

（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？

（2）如果这批生姜有1535箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？

【分析】

（1）设每辆乙种货车可装箱生姜，则每辆甲种货车可装箱生姜，根据甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设甲种货车有辆，则乙种货车有辆，根据“这批生姜有1535箱，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出甲种货车的数量，再将其代入中即可求出乙种货车的数量．

【解析】

解：（1）设每辆乙种货车可装箱生姜，则每辆甲种货车可装箱生姜，

依题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

．

答：每辆甲种货车可装100箱生姜，每辆乙种货车可装80箱生姜．

（2）设甲种货车有辆，则乙种货车有辆，

依题意得：，

解得：，

．

答：甲种货车有14辆，乙种货车有2辆．

23．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）求⊙O的半径；

（3）连接BE，求BE的长．

【分析】

（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证；

（2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径．

（3）延长、相交于点，证明，由全等三角形的性质得出，，求出的长，则可得出答案．

【解析】

（1）证明：，

，

，，，

，

，

为的切线；

（2）解：在中，，，

根据勾股定理得：，

与都为的切线，

，

；

在中，设，则有，

根据勾股定理得：，

解得：，

则圆的半径为3．

（3）延长、相交于点，

与都为的切线，

平分，

，

，

，

又，

，

，，

，

在中，，

．

24．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．

（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；

（2）P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；

（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．

【分析】

（1）运用待定系数法将点代入抛物线，即可求得的值，得出抛物线解析式可求得点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；

（2）设，过点作轴交于点，则，当点在下方时，如图2，则，由，可得，即可求得，或，；当点在上方时，如图3，则，由，可得，即可求得或．

（3）如图1，在轴上取点，在轴下方过点作轴，使，连接，，设交抛物线于点，可证明，进而证明，得出，即，运用待定系数法求得直线的解析式为，与抛物线解析式联立即可求得点的坐标；

【解析】

解：（1）抛物线经过点，

，

解得：（舍去）或，

抛物线的解析式为，

令，得，

，

设直线的函数表达式为，

则，

解得：，

直线的函数表达式为；

（2）设，过点作轴交于点，则，

当点在下方时，如图2，则，

，

，

，

解得：，，

当时，，

当时，，

，或，；

当点在上方时，如图3，则，

，

，

，

解得：，，

或；

综上所述，点的坐标为，或，或或．

（3）令，得，

解得：，，

，

，

，

，

如图1，在轴上取点，在轴下方过点作轴，使，连接，，

设交抛物线于点，

则，

，，，

，

，，

，

，

，

，即，

设直线的解析式为，

则，

解得：，

直线的解析式为，

由，

解得：（舍去），，

，；

25．在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中．

（1）当m=1时．

 ①该二次函数的图象的对称轴是直线________．

 ②求该二次函数的表达式．

（2）当时，若该二次函数的最大值为4，求m的值；

（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．

备用图       

【分析】

（1）①根据所给的点可知、两点关于抛物线对称轴对称，利用对称性可求对称轴；

②利用待定系数法求函数的解析式即可；

（2）用的待定系数法求函数的解析式，再分两种情况讨论：当时，，当时，函数有最大值；当时，，当时，函数有最大值；分别求的值即可求解；

（3）先判断是等腰直角三角形，且，则过点、、的圆是以的中点为圆心，为半径，再分两种情况讨论：当时，，可求点坐标；当时，，可求点坐标．

【解析】

解：（1）①、，

、两点关于抛物线对称轴对称，

，

抛物线的对称轴为直线，

故答案为：；

②设，

，

、，

将点、、代入，

，

解得，

；

（2）、两点关于抛物线的对称轴对称，

抛物线的对称轴为直线，

设抛物线的解析式为，

将点代入，

，

，

，

当时，，

当时，函数有最大值，

，

；

当时，，

当时，函数有最大值，

，

解得；

综上所述：的值为1或；

（3）、、，

，，，

是等腰直角三角形，且，

过点、、的圆是以的中点为圆心，为半径，

如图1，当时，

与轴相切，

，

，

；

如图2，当时，

与轴相切，

，

，

；

综上所述：该二次函数的图象的顶点坐标为或．