2023-2024学年湖南省长沙市雨花区广益中学九年级（上）第一次段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市雨花区广益中学九年级（上）第一次段考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列事件中，属于不可能事件的是(    )

A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯
B. 班里的两名同学，他们的生日是同一天
C. 射击运动员射击一次，命中靶心
D. 一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

2.的半径为，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

3.下列标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则(    )

A.  B.  C.  D. 以上都有可能

5.如图，下列条件之一能使▱是菱形的为(    )
；
平分；
；
；

A.  B.  C.  D.

6.年北京张家口举办了冬季奥运会，很多学校也开设了相关的课程下表记录了某校名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差

据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择(    )

A. 队员 B. 队员 C. 队员 D. 队员

7.如图，是的内接三角形，于点，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.关于二次函数的性质，下列描述错误的是(    )

A. 开口向下 B. 与轴交于轴下方
C. 与轴有两个交点 D. 时随的增大而减小

9.我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.如图，的半径是，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______ ．

12.一个圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面积是______ ．

13.若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是______ ．

14.为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验该实验基地两年前有种种子，经过两年不断地努力，现在已有种种子若培育的种子平均每年的增长率为，则的值为______ ．

15.如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，，则的长为______ ．

16.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如图，，分别与相切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为______ 结果保留

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解方程：
；
．

18.本小题分

如图，抛物线经过点，，，直线经过点，，部分图象如图所示，则：
该抛物线的对称轴为直线______ ；
关于的一元二次方程的解为______ ；
关于的一元二次方程的解为______ ．

19.本小题分
如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

20.本小题分

为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型科普、文学、体育、其他数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示．
请你根据以上信息，解答下列问题．
随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______度；
补全条形统计图；
抽样中选择文学类书籍的学生有名男生和名女生，校团委计划从中随机抽取名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率．

21.本小题分

如图，以为直径的经过的中点，于点．
求证：是的切线；
当，时，求图中阴影部分的面积结果保留根号和．

22.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
从因式分解法可知，方程也可转化为把方程的左边展开化成一般形式后，可以得到方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：______，______；用含的式子表示
是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

23.本小题分
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量个与销售单价元有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为元
如果销售单价定为元，那么健身球每天的销售量是______个；
求与之间的函数关系式；
该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

24.本小题分
【我们画不出一个完美的圆，但完美的圆是存在的，虽不能至，心向往之罗翔】已知四边形是半径为的内接四边形，弦的长度是，点是劣弧上的一个动点．
填空：的度数是______ ，并判断平行四边形是否会是正方形______ 填“是”或“不是”；
如图，若点是弦的中点，连接，，当点沿着劣弧从点开始，顺时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度；
如图，点是劣弧另一个动点，并始终满足，、分别交弦，于点、，连接记的面积为，的面积为，的面积为．
直接写出，，之间的数量关系；不必进行证明
令，，若满足，求，的值．
 

25.本小题分
【创新是民族进步的灵魂华为一直在科技领域追求极致美学、极致工艺、极致创新真正意义上做到遥遥领先】我们不妨约定：若，是关于的函数，当时，总有，并存在满足，使得，我们则称函数对在领域“阶领先”．
已知一次函数对在领域“阶领先”，求的值；
已知二次函数为常数的图象与一次函数相交于，两点，其横坐标分别记为和，且满足，请判断二次函数对一次函数能否在领域“阶领先”，请说明理由；
已知二次函数的顶点经过一次函数的图象，若二次函数对一次函数在领域“阶领先”，求二次函数的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故不符合题意；
B.班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故不符合题意；
C.射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故不符合题意；
D.一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意；
故选：．
根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件，理解随机事件、不可能事件、必然事件的意义是正确判断的前提．

2.【答案】 

【解析】解：点在外，
．
故选：．
根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则点在圆外；点在圆上；点在圆内．

3.【答案】 

【解析】解：、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项合题意；
B、该图既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、该图既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．

4.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小，
又点，在函数的图象上，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形；
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形；
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形；
综上所述，能使▱是菱形的为，
故选：．
由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：因为队员和队员的平均成绩比队员和队员好，
所以从队员和队员选其中一人参加，
又因为队员的方差比队员的方差小，
所以要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择队员．
故选：．
先比较平均数，再比较方差即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，，

，
，
，
，，
在中，，
，
故选：．
如图所示，连接，，由圆周角定理得到，由垂径定理得到，，再解求出，则．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：二次函数，
A.，抛物线开口方向向下，故此选项正确，不符合题意；
B.当时，函数为，故与轴交于轴上方，此选项不正确，符合题意；
C.令，则，，，抛物线与轴有两个交点，故此选项正确，不符合题意；
D.开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，故此选项正确，不符合题意；
故选：．
利用二次函数的性质即可判断．
此题主要考查了二次函数的性质，利用函数解析式正确得出二次函数的性质是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，
六边形是的内接正六边形，
，，
，
，
在中，，，
，
，
故选：．
根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及圆内接正六边形的性质是正确解答的前提．

10.【答案】 

【解析】解：为的切线，
，且，
当最小时，最小，
当与直线垂直时，最小，
如图，设直线交轴、轴于点、，
则，，
，
，
，即的最小值为，
的最小值，
故选：．
连接、，由切线性质可知，且，则当最小时，最小，故当与直线垂直时，最小，再利用等腰直角三角形的性质可求得的值，可求得答案．
本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

11.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

12.【答案】 

【解析】解：由勾股定理知：圆锥母线长，
则圆锥侧面积．
故答案为：
利用勾股定理可得圆锥母线长，则圆锥侧面积底面周长母线长．
本题考查圆锥的侧面积计算公式应用．需注意应先求出母线长．

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，且，
解得，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式与方程即可得到满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
的值为．
故答案为：．
利用该实验基地现在拥有的种子种数该实验基地两年前拥有的种子种数培育的种子平均每年的增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
点为的中点，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，则，所以，由点为的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】【分析】
连接，，，可利用证明≌，从而可得出的度数，最后利用弧长公式求解答案即可．
本题考查了切线的性质、全等三角形的判定、弧长的计算，求出的度数是解题的关键．
【解答】
解：如图所示，连接，，，
，分别与相切于点，，
故，
又，，
在和中

则≌．
，
，
，
．
的长为．
故答案为：．

17.【答案】解：
，
或，
，；
，
整理得：，
，
，
，． 

【解析】根据解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再根据解一元二次方程公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

18.【答案】  ，  ， 

【解析】解：抛物线经过点，，
该抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；
由知：该抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过点，
该抛物线过点，
一元二次方程的解为，，
故答案为：，；
抛物线经过点，，直线经过点，，
一元二次方程的解为，，
故答案为：，．
根据抛物线经过点，，可以求得该抛物线的对称轴；
根据中的结果和二次函数具有对称性，可以求得抛物线与轴的另一个交点，从而可以写出一元二次方程的解；
根据抛物线与直线的交点，可以写出一元二次方程的解．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象与轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

19.【答案】证明：，，
四边形是矩形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
根据勾股定理得：，
四边形是矩形，
． 

【解析】根据，判定四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，从而证得四边形是矩形；
根据菱形的性质可得和的长，根据勾股定理求出的长，根据矩形的性质可得的长．
本题考查了矩形的判定和性质以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质并灵活运用．

20.【答案】   

【解析】解：随机抽样调查的样本容量是：，
所占的百分比是：，
扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为：；
故答案为：，；

类的人数有：人，
类的人数有：人，
补全统计图如下：


画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率．
根据的人数和所占的百分比，求出随机抽样调查的样本容量，再用乘以“”所占的百分比，求出扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数；
用总人数乘以所占的百分比，求出类的人数，再用总人数减去其他类型的人数，求出类的人数，从而补全统计图；
画树状图得出所有等可能结果数，找出恰好抽出一男一女的情况数，再利用概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】证明：连接，如图所示：

是的直径，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
点在圆上，
为的切线；
解：过点作，垂足为，如图所示：

则，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
阴影部分面积． 

【解析】连接，先证是的中位线，得，再利用平行线的性质可以得到，从而判断是圆的切线；
过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质得到，然后由扇形面积减去三角形面积求得阴影部分面积即可．
本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及扇形面积公式，熟练掌握切线的判定与性质和垂径定理是解题的关键．

22.【答案】   

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
化简整理，得，
解得：；
解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
，
，
比较得：，，
故答案为：，；
解：，
，
由得，，
，
整理，得，
解得：，，
又由知，
．
存在，当时，使得成立．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得的取值范围；
将方程也可转化为，再把方程的左边展开，得与方程比较可得出答案；
根据得，，再代入中求解即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，探究一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．

23.【答案】解：
根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
，
，
当时，取最大值，最大值为，
答：该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】解：在中，令，得：
，
故答案为：；
见答案；
见答案．
在中，令可得的值，即可得到答案；
根据总利润每个健身球利润销售量即可列出与之间的函数关系式；
结合的函数关系式，根据二次函数性质可得答案；
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．

24.【答案】  是 

【解析】解：在中，，，
，，
，
是直角三角形，
；
连接、，如图，

四边形是平行四边形，
，，
，，，，
，
，
四边形是菱形，
四边形是的内接四边形，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形．
故答案为：，是；
，点是弦的中点，
，
的外心为的中点，
当点沿着劣弧从点开始，顺时针运动到点时，点所经过的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的扇形的弧，
的外心所经过的路径的长度；
，理由如下：
延长至点，使，连接，如图，

四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，，．
，
，
即．
，
．
在和中，
，
≌，
，
．
，，
，
，
，
，
．
，，，，，
，

，
，，
≌，
，
，
，
．
将代入得：
，
解得：不合题意，舍去或．
．
利用勾股定理的逆定理解答即可；连接、，利用圆的内接四边形的性质，平行四边形的性质，圆的有关性质和正方形的判定定理解答即可；
利用垂径定理，直角三角形的性质和弧长公式解答即可；
延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定定理和性质定理解答即可；
利用的结论和已知条件求得，的关系，再利用勾股定理列出方程解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行四边形，正方形，圆的有关计算，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，本题综合性较强，熟练掌握圆的有关性质和全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．

25.【答案】解：设：，
函数随的增大而减小，
当时，，
当时，，
则且时，，
即时，，
故K；
不存在，理由：
联立为常数和并整理得：，
则，，
则，
解得：或，
，
故，
则，
则设，
函数的对称轴为，
则在时，即时，需要满足，
当时，，
当时，，
而在时，，
故在领域不存在“阶领先”；
设抛物线顶点坐标为：，
则二次函数的表达式为：，
则，
当若二次函数对一次函数在领域“阶领先”时，
即，
设，即，
函数的对称轴为，
当时，即，
则只要时，即可，
当时，，
解得：或，
而，
故，
当时，时，，即，
故；
当时，即，
则当时，，
即，
解得：或，
而，
即，
当时，，，即，
故；
当时，
则函数在顶点处为非负即可，
即，
该方程无解；
综上，或，
故抛物线的表达式为：或． 

【解析】设，函数随的增大而减小，进而求解；
求出，得到，再根据二次函数的性质求解；
当时，即，则只要时，即可，即可求解；当、时，同理可解．
本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象和性质、根和系数的关系、新定义等，数形结合和分类求解是本题解题的关键．