2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共11小题，共33.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  三角形三边长为，，满足，则这个三角形是(    )

A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在中，，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 矩形对角线相互垂直平分 B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形

7.  由下列条件不能判定为直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D.

8.  如图，数轴上点所表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  九章算术中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高一丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺．若设折断处离地面的高度为尺，则可以列出关于的方程为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，四边形中，，，且，以、、为边向外作正方形，其面积分别为，，，若，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

12.  如图，在中，，，是的中点，则        ．

13.  在直角三角形中，两条直角边的长分别为和，则斜边的长为        ．

14.  如图，，点、、在直线上，四边形为平行四边形，若的面积为，则平行四边形的面积是        ．

15.  比较大小：______填“”，“”，“”号

16.  如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为        ．

17.  如图，菱形的边长为，、分别是、上的点，连接、、，与相交于点，若，，则的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
；
；
．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，已知中，，是上一点，且，．
求证：是直角三角形；
求的长．

21.  本小题分
如图，已知、分别是平行四边形的边、上的点，且．
求证：四边形是平行四边形；
在中，若，，，求边上的高．

22.  本小题分
如图，某渡船从点处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点与欲到达地点相距米，结果发现比河宽多米．
求该河的宽度；两岸可近似看作平行
设实际航行时，速度为每秒米，从回到时，速度为每秒米，求航行总时间．

23.  本小题分
如图，在中，，分别是，的中点，延长到点，使得，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

24.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动，设点的运动的时间为秒．
的长为        ．
求的长用含的代数式表示．
当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
直接写出是以为腰的等腰三角形时的值．

25.  本小题分
已知：四边形是正方形，点在边上，点在边上，且．
如图，判断与有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
如图，对角线与交于点，分别与，交于点，点．
求证：；
连接，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，因此不是最简二次根式，故A不符合题意；
B.，因此不是最简二次根式，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C符合题意；
D.，因此不是最简二次根式，故D不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义进行判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，，，
，，
，
这个三角形是直角三角形，
故选：．
根据已知条件可得，，，根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状．
本题考查了直角三角形的判定，涉及非负数的性质，勾股定理的逆定理等，求出三角形的三边长是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
．
故选：．
由的度数及的长，结合可求出的长，此题得解．
本题考查了含度角的直角三角形以及解直角三角形，通过解直角三角形求出的长是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：矩形的对角线相等且互相平分，故A原说法错误，不符合题意；
B.对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C原说法错误，不符合题意；
D.对角线相等的平行四边形是矩形，故D原说法错误，不符合题意；
故选：．
根据矩形的性质可得A错误；正方形的判定方法可得B正确；根据菱形的判定可得C错误；根据对角线的关系判定矩形，从而得D错误．
本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，菱形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，，，是直角三角形，不符合题意；
B、设，，，，不是直角三角形，符合题意；
C、，，，是直角三角形，不符合题意；
D、，是直角三角形，不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，三角形的内角和等于．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
故D正确．
故选：．
根据勾股定理求出的长，得出，即可得出数轴上点所表示的数是．
本题主要考查勾股定理与无理数，掌握定理内容准确计算并利用数形结合思想是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，是的角平分线，
，
平行四边形，，，如图所示，设与交于点，

，
，
，
是等腰三角形，即，
，
同理，，且，
，
是等腰三角形，即，
故选：．
根据题意可求出是等腰三角形，即，是等腰三角形，即，由此即可求解．
本题主要考查矩形，等腰三角形的综合，掌握矩形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：竹子原高一丈丈尺，折断处离地面的高度为尺，
竹梢到折断处的长度为尺．
依题意得：．
故选：．
由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，，
过作交于，则，

，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据已知条件得到，，过作交于，则，根据平行四边形的性质得到，，由已知条件得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，
，是的中点，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在直角三角形中，两条直角边的长分别为和，
斜边长为：．
故答案为：．
根据勾股定理直接求出斜边的长即可．
本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，那么．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
的面积为，
的面积为，
四边形为平行四边形，
平行四边形的面积．
故答案为：．
连接，由平行线的性质得出，由平行四边形的性质可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
本题考查了实数的大小比较法则和二次根式的性质，能选择适当的方法比较大小是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为，
，
，
大正方形的面积为，
，
小正方形的面积为，
故答案为：．
观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理解大正方形面积为是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作于点．

四边形是菱形，，
，，
为等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，，，
，，
，
，
．
故答案为：．
利用全等三角形的性质证明是等边三角形，再利用勾股定理求出，可得结论．
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

18.【答案】解：；
；
；
． 

【解析】根据二次根式乘法运算法则进行计算即可；
根据二次根式除法运算法则进行计算即可；
先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则计算即可；
先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式混合运算法则计算即可．
本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则，准确计算．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，
原式
． 

【解析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．
本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．
 

20.【答案】证明：，，，
，
，
故是直角三角形；
解：设，则，
，
，
，
解得，
故AB． 

【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
设，则，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，，，
，
，
． 

【解析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
利用平行四边形的性质得出，再得出，即可证明四边形是平行四边形；
根据勾股定理求出的长，然后根据等积法求出边上的高即可．
 

22.【答案】解：设米，则米，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
答：河宽米．
秒，秒，秒，
答：航行总时间为秒． 

【解析】根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离；
根据时间路程速度，求出行驶的时间即可．
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：、分别是、的中点，
，且．
又，，
，．
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形邻边相等的平行四边形是菱形．
解：在菱形中，，，
．
是等边三角形．
．
过点作于点．

．
．
． 

【解析】根据点和分别是和的中点，根据三角形中位线的性质，即可得到，且，再等量代换，根据平行四边形的判定定理，即可得到四边形是平行四边形，根据邻边的关系，即可得到结论；
根据的大小，可判定是等边三角形，再根据等边三角形的性质，可得到边长，作于点，运用勾股定理，即可得到的长，再根据菱形的面积公式，即可得到答案．
本题考查菱形判定及菱形面积求解，关键是掌握菱形的判定及性质．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

，
，
，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
故答案为：；
，
，
；
四边形是平行四边形，
，，
即，
，
，
或，
当时，，
解得，或；
当时，则垂直平分，
，
即，
，
综上，是以为腰的等腰三角形时的值为或或．
过点作于，根据题意推出四边形是矩形，根据勾股定理求解即可；
根据线段的和差结合绝对值性质求解即可；
当四边形为平行四边形时，，即，可将求出；
当时，，据此求解即可；
当时，则垂直平分，则，即，据此求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

25.【答案】解：．
理由如下：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
；

证明：四边形是正方形，
，，，
已证，
，
即，
在和中，
，
≌，
；

解：如图，过点作于，作于，
≌已证，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在中，，
正方形的边长． 

【解析】根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再求出，然后根据垂直的定义解答即可；
根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，对角线平分一组对角可得，然后求出，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得；
过点作于，作于，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是正方形，根据正方形的性质求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据正方形的性质求出即可．
本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，作辅助线构造出全等三角形和以为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点．