2022年安徽省芜湖市无为三中中考数学一模试卷(word版含答案)
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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
- 在中，，，，那么的值是
A. B. C. D.
- 如图所示，满足函数和的大致图象是
A. B. C. D.
- 下列格点三角形中，与已知格点相似的是
A.
B.
C.
D.
- 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的正弦值是
A.
B.
C.
D.
- 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大得到，若点坐标为，点坐标为，，则线段长为
A. B. C. D.
- 为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自年月开始限产进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是
A. 月份的利润为万元
B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C. 治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
D. 月份该厂利润达到万元
- 如图，给出了一种机器零件的示意图，其中米，米，则
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
- 如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于，则的值为
A.
B.
C.
D.
- 如图，的面积为，分别取、两边的中点、，则四边形的面积为，再分别取C、的中点、，C、的中点、，依次取下去利用这一图形，计算出的值是
A. B. C. D.
- 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，连接、，与相交于点给出下列结论：；；；其中正确的为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 在平面直角坐标系中，等腰直角如图放置，直角顶点在反比例函数的图形上，其中，，则______．
- 如图，以矩形的顶点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，连接，交于点若，，则的长为______．
- 如图，为一块铁板余料，，高，要用这块余料裁出一个矩形，使矩形的顶点，分别在边，上，顶点，在边上，则矩形面积的最大值为______ ．
- 如图，已知正方形，延长至点使，连接、，与交于点，取的中点，连接，，交于点，交于点，则下列结论：
；；：：：：；；．
其中正确的是______只填序号
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）
- 计算：
；
．
- 正比例函数与反比例函数图象的一个交点为．
求，的值；
画出两个函数图象，并根据图象直接回答时，的取值范围．
- 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．
求证：．
的切线交于点，交的延长线于点若，的半径为，求的长．
- 我国首艘国产航母“山东”号是保障国土安全，维护祖国统的又一利器．如图，一架歼舰载机在航母正后方点准备降落，此时在测得航母舰首的俯角为，舰尾的俯角为，如果航空母舰长为米且比高出米，求舰载机相对舰尾的高度．参考数据：，，，
- 如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
以原点为位似中心，在第一象限内将放大为原来的倍得到，作出，写出，，的坐标；
四边形的面积为______．
- 如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，连接并延长交轴于点，连接．
求的值；
求的面积．
- 如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的一动点，以为边向外作矩形，对角线轴，反比例函数图象经过矩形对角线交点．
如图，若点、坐标分别是，，求的长；
如图，保持点坐标不变，点向右移移动，当点图象刚好在反比函数图象上时，求点坐标及的值．
- 如图，、分别是内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
求证：；
如图，如果，且：：，求的值；
如果是锐角，且与相似，求的度数．
- 如图，抛物线与直线相交于，，与轴交于另一点．
求抛物线的解析式；
在上是否存在一点，使四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
以为圆心，为半径作，为上一动点，求的最小值
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选B．
先画出图形，再由锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是余弦的定义．
2.【答案】
【解析】解：，
函数过点，
故不合题意；
当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限；
当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限；
故符合题意；
故选：．
分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
3.【答案】
【解析】解：设小正方形的边长是，
由勾股定理得：，，，
A.三角形的三边的长度分别为：，，，
，，，
，所以与格点相似，故本选项符合题意；
B.三角形的三边的长度分别为：，，，
，，，
，所以与格点不相似，故本选项不符合题意；
C.三角形的三边的长度分别为：，，，
，，，
，所以与格点不相似，故本选项不符合题意；
D.三角形的三边的长度分别为：，，，
，，，
，所以与格点不相似，故本选项不符合题意；
故选：．
设小正方形的边长是，先求出的三边长，再分别求出每个选项中三角形的三边的长度，求出对应的边的比值，看看是否相等，再根据相似三角形的判定定理判定即可．
本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：作的延长线于点．
则，
，
则．
故选：．
作的延长线于点，利用勾股定理求得和的长，根据正弦的定义即可求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5.【答案】
【解析】解：以原点为位似中心，将放大得到，的坐标为，点的坐标为，
∽，且相似比为：，
，
，
，
故选：．
根据位似变换的性质得到∽，且相似比为：，根据相似比等于位似比计算即可．
本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
6.【答案】
【解析】解：、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
月份的利润为万元，故此选项正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，故此选项正确，不合题意；
C、当时，则，
解得：，
设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
当时，则，
则只有月，月，月，共个月的利润低于万元，故此选项不正确，符合题意．
D、一次函数解析式为：，
故时，，
解得：，
则治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，故此选项正确，不合题意．
故选：．
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：作于，
由图知，与水平方向呈夹角，米，
米，
与水平方向呈夹角，
是等腰直角三角形，
米，
米，
米，
故选：．
作于，利用三角函数求出，再根据得出的长即可．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：作于，连接，
，
，
，
，
，
∽，
，
的面积等于，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
作于，连接，根据等腰三角形的性质以及得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：、分别是，的中点，
、是的中位线，
，，
∽，
，
，
，，
同理可得，，，，，
．
故选：．
由∽，结合面积比等于相似比的平方，得出的面积为，因此四边形的面积为，以此类推，四边形的面积为；，，，根据规律求出式子的值．
本题考查了三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质；相似三角形面积比等于相似比的平方是关键．
10.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，，
，
∽，
又，
，
，
，，
，
在中，，
，
又，
，
故正确；
，，
，
，
故正确；
，
∽，
，
又与同高，
，
又，不是中点，
，
，
故错误；
，
，
∽，
，
，
又，，
，
故正确，
故选：．
由是等边三角形，得，而，故正确；由，，可判定正确；由∽，得，由与同高，可知，则判定错误，由∽，得，则，可判定正确．
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于点，
是等腰直角三角形，且，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
点在反比例函数的图形上，
．
故答案为：．
过点作轴于点，根据“三线合一”及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，则，又点在反比例函数的图形上，代入即可．
本题主要考查反比例函数上的点的性质，等腰直角三角形的性质等内容，利用等腰直角三角形的性质作出正确的辅助线是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
利用锐角三角函数可求，可求，由锐角三角函数可求，的长，由勾股定理可求的长，通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设，则，
，
∽，
，
，
即，
则，
故DE，
则矩形面积为：，
矩形面积的最大值为．
故答案为：．
直接利用相似三角形的判定与性质表示出，的长，再利用二次函数最值求法得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出的长是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，，
，，
∽，
，
，，故正确；
如图，连接，
，，
，
，，
，故错误；
，，是的中点，
，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
如图，作于，则，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
是的中点，
，
，故正确；
，
设，，
，
，
，
：：：：，故正确；
故答案为：．
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，得到，故正确；由直角三角形的性质可得，即可得，故错误；通过证明∽，可得，作于，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出，可求，故正确；根据三角形的面积公式计算，可判断，设，，可求，，可得：：：：，故正确；即可求解．
本题是四边形综合题，考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
15.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：将代入正比例函数解析式得：，
，
将代入双曲线解析式得：，
；
如图所示：
由图象可得：当时，或．
【解析】将坐标代入双曲线解析式中，求出的值，确定出反比例函数解析式，将坐标代入一次函数解析式中，求出的值，确定出一次函数解析式；
画出两函数图象，由函数图象，即可得到时的取值范围．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，数形结合是数学中重要的思想方法．
17.【答案】证明：如图，连结，
是的直径，
，
，
，
，
．
如图，连结，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
【解析】连结，由是的直径得，则，再根据等腰三角形的“三线合一”性质证明，则根据圆周角定理可得；
连结，由是的切线得，则，再根据三角形中位线定理证明，得，，于是，而，可求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的长．
此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18.【答案】解：设过、、的水平线分别为、、，过作交于，
则米，，，，
，，
设米，则米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
解得：，
即米，
答：舰载机相对舰尾的高度约为米．
【解析】设米，则米，由锐角三角函数定义得米，米，再由米得出方程，解方程即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：如图，即为所求作．，，；
四边形的面积．
故答案为：
根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把四边形面积看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．
本题考查作图位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】解：将点代入反比例函数得：，
点，
是的中点，
，
将代入反比例函数得，；
连接，，分别是反比例函数，图象上的点，
，，
，
的面积为．
【解析】由反比例函数，求得点，则点，则；
的面积的面积，即可求解；
本题考查的是反比例函数的性质、反比例函数系数的几何意义，面积的计算等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21.【答案】解：过点作轴于点，由点、坐标分别为、可得，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
又轴，
，
，
；
四边形为矩形，
点为中点，由，，
，
设、坐标分别为，，则点坐标可表示为，
过点作轴于点．
同理∽，
，
，
，
由点、均在函数图象上，则有：，可得，
，
由，故，，
，点坐标为．
【解析】通过证得∽，得到，根据平行于轴的直线上任意两点纵坐标相同，则，，从而求得；
设、坐标分别为，，则点坐标可表示为，过点作轴于点同易得∽，根据相似三角形的性质得到，由点、均在函数图象上，则有：，可得，即可得到，进而求得，，得到，点坐标为．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理等知识，表示出点坐标是解题的关键．
22.【答案】证明：如图中，
，
，，
平分，
，同理，
，，
，
．
解：延长交于点．
，
，
平分，
，
，
，
，，
：：，，
．
与相似，，
中必有一个内角为
是锐角，
．
当时，
，
，
，
．
当时，，
，
与相似，
．
综上所述，或．
【解析】由题意：，证明即可解决问题．
延长交于点证明，可得，，由：：，可得．
因为与相似，，所以中必有一个内角为，因为是锐角，推出则可得出答案．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
23.【答案】解：把、代入，
得，解得，
抛物线的解析式为．
存在．
如图，作交轴于点，连结；作轴于点，则．
当时，由，得，，
，
，；
又，
，
，
∽，
，
，
，
，，
≌，
，
四边形是矩形；
，
．
如图，作于点，连结、．
由得，，，
，．
，公共角，
∽，
，
，
公共角，
∽，
，
；
，
当，即点落在线段上时，最小．
，
，
，
又，
，
的最小值为．
【解析】把、代入，列方程组求、的值；
作交轴于点，连结，作轴于点，证明及≌，从而证明四边形是矩形且求出点的坐标；
在的基础上，作于点，证明∽及∽，得到，再根据，求出的长即为所求的最小值．
此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求函数解析式以及求线段和的最小值、二次根式的化简等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，解第题时应注意通过作辅助线转化为一条线段，此题难度较大，属于考试压轴题．
