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专题 与平行四边形有关的折叠问题
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这是一份专题 与平行四边形有关的折叠问题，共47页。
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 与平行四边形有关的折叠问题
题型一 平行四边形中的折叠问题
【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，点E、F分别在边AD与BC上，将四边形EFCD沿EF进行折叠，使点D落在AB边上的点P处，点C落在点Q处，若∠APE＝36°．则∠BFQ等于（ ）
A．36° B．32° C．24° D．18°
【变式1-1】如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG＝ 度．
【变式1-2】有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B＝75°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【变式1-3】如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A恰好落在CD上的点F，若△BCF的周长为14，CF的长为3，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式1-4】如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝8，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于点G，则△GEF的高是（ ）
A．4 B．43 C．8 D．82
【变式1-5】在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为C1，点D的对应点为D1，若BD1＝2，则AD的长为 ．
【变式1-6】如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的D'处，折痕为AE．再将△AD'E翻折，点A恰好落在BC的中点A'处，连接AA'，若AD＝2，则线段AA'的长为 ．
【变式1-7】如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：△ABE≌△AGF．
【变式1-8】如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED'是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AE2+BE2＝AB2．
题型二 矩形中的折叠问题
【例题2】（2022春•武城县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【变式2-1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AD=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．23 B．33 C．4 D．8
【变式2-2】（2022春•越秀区校级期中）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．123 D．163
【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A．95 B．125 C．165 D．185
【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 ．
【变式2-5】（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【变式2-6】（2022春•大观区校级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（ ）
A．1或4 B．43或9 C．1或9 D．43或1
【变式2-7】如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积．
【变式2-8】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）求证：GF＝GC；
（2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长．
题型三 菱形中的折叠问题
【例题3】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC'的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【变式3-1】如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，将菱形ABCD折叠，使得点B与点A重合，折痕与AB交于点E，与CD交于点F，则EF的长为（ ）
A．125 B．245 C．365 D．485
【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，点A、B的对应点分别为A′、B′，若AE＝4，则B′F的长为 ．
【变式3-3】如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处．若EG⊥AC，则FG的长为（ ）
A．3 B．6 C．33 D．32
【变式3-4】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝4，BD＝43，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为EF．则五边形AEFCD的周长是（ ）
A．14 B．16 C．4+43 D．8+83
【变式3-5】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若BC＝4，BG＝3，则GE的长为 ．
【变式3-6】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A落在对角线BD上的点G处（不与点B，D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则△BEG的面积为（ ）
A．2235 B．2135 C．43 D．53
题型四 正方形中的折叠问题
【例题4】（2021春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【变式4-1】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【变式4-2】如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．158 C．1 D．2
【变式4-3】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A的对应点为点A'，且B'C＝3，求AM的长．
【变式4-4】已知正方形ABCD中，AB＝6，点E在AB上，且BE＝2AE，将△ADE沿DE对折至△DEF，延长EF交BC于H，连接DH，BF．
（1）求证：CH＝FH；
（2）求BH的长；
（3）求△FBH的面积．
【变式4-5】如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，求：
（1）FN的长；
（2）EN的长．（结果保留根号）
【变式4-6】如图，点F在正方形ABCD的AD边上，连接BF．把△ABF沿BF折叠，与△GBF重合．连接AG并延长交CD于点E，交BF于点H．
（1）证明：BF＝AE；
（2）若AB＝15，EC＝7，求GE的长．
【变式4-7】如图，将对角线BD长为162的正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．
（1）求线段AB和线段CF的长；
（2）连接EQ，求EQ的长．
【变式4-8】通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 与平行四边形有关的折叠问题 答案
题型一 平行四边形中的折叠问题
【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，点E、F分别在边AD与BC上，将四边形EFCD沿EF进行折叠，使点D落在AB边上的点P处，点C落在点Q处，若∠APE＝36°．则∠BFQ等于（ ）
A．36° B．32° C．24° D．18°
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝60°，∠C＝120°，由折叠性质可得∠EPQ＝∠D＝60°，∠PQF＝∠C＝120°，从而可得∠BPQ＝84°，由三角形内角和定理可得∠BPQ+∠B＝∠PQF+∠BFQ即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝120°，
∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠A＝120°，
由折叠性质可得：
∠EPQ＝∠D＝60°，∠PQF＝∠C＝120°，
∵∠APE＝36°，
∴∠BPQ＝180°﹣∠APE﹣∠EPQ＝84°，
∵∠BPQ+∠B＝∠PQF+∠BFQ，
∴∠BFQ＝∠BPQ+∠B﹣∠PQF
＝84°+60°﹣120°
＝24°，
故选：C．
【点评】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是明确折叠前后对应图形的角度相等．
【变式1-1】如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG＝ 度．
【分析】利用翻折和平角定义易得组成∠AEF的两个角的和等于平角的一半，得出∠AEF＝90°，再利用将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，得出∠AEG＝∠GEA′进而得出答案．
【解答】解：根据沿直线折叠的特点，△ABE≌△AB′E，△CEF≌△C′EF，
∴∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∵点E，B′，C′在同一直线上，
∴∠AEF＝90°，
∵将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，
∴∠AEG＝∠GEA′=12∠AEF＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了折叠的性质，利用折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等得出对应关系是解题关键．
【变式1-2】有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B＝75°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【分析】由折叠可得∠CED＝90°＝∠BCE，即可得到∠DCE＝15°，由折叠可得∠DCF＝2×15°＝30°，即可得到∠BCF＝60°．
【解答】解：由折叠可得，∠CED＝90°＝∠BCE，
又∵∠D＝∠B＝75°，
∴∠DCE＝15°，
由折叠可得，∠DCF＝2×15°＝30°，
∴∠BCF＝60°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【变式1-3】如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A恰好落在CD上的点F，若△BCF的周长为14，CF的长为3，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】由折叠的性质得出BF＝AB，EF＝AE，由△BCF的周长得出BC+DC＝11，即可求出△DEF的周长．
【解答】解：由折叠的性质得：△FBE≌△ABE，
∴BF＝AB，EF＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC，
∵△BCF的周长为14，
∴BC+BF+CF＝14，
∴BC+DC＝14﹣3＝11，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝DE+AE+DC﹣CF＝AD+DC﹣CF＝11﹣3＝8；
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【变式1-4】如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝8，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于点G，则△GEF的高是（ ）
A．4 B．43 C．8 D．82
【分析】根据折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝60°，再利用平行四边形的性质得到∠GFE＝∠DEF＝60°，则可判断△GEF为等边三角形，作EH⊥GF于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH即可．
【解答】解：∵四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，
∴∠GEF＝∠DEF＝60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE＝∠DEF＝60°，
∴△GEF为等边三角形，
作EH⊥GF于H，如图，
在Rt△EFH中，HF=12EF＝4，
EH=3HF＝43，
即△GEF的高是43．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了平行四边形的性质．
【变式1-5】在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为C1，点D的对应点为D1，若BD1＝2，则AD的长为 ．
【分析】分两种情况讨论：①当点D在线段AB上时，②当点D在线段AB延长线上时，再根据30度角直角三角形的性质求出AD长．
【解答】解：①当点D在线段AB上时，
∵BD1＝2，
∴AD1＝4﹣2＝2，
∵∠A＝60°，
∴∠ADD1＝30°，
∴AD＝2AD1＝2×2＝4；
②当点D在线段AB延长线上时，
∵BD1＝2，
∴AD1＝4+2＝6，
∵∠A＝60°，
∴∠ADD1＝30°，
∴AD＝2AD1＝2×6＝12；
故答案为4或12．
【点评】本题考查了轴对称，熟练运用30度角直角三角形的性质是解题的关键．
【变式1-6】如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的D'处，折痕为AE．再将△AD'E翻折，点A恰好落在BC的中点A'处，连接AA'，若AD＝2，则线段AA'的长为 ．
【分析】根据折叠的性质，得出AD'＝DE，而AD'∥DE，进而得到四边形ADED'是平行四边形，由折叠可得，D'E垂直平分AA'，即可得出△AA'B是直角三角形，再根据∠B＝∠D'A'B，得到D'A'＝D'B＝2，即AB＝2+2＝4，最后在Rt△AA'B中，运用勾股定理进行计算即可得到AA'的长．
【解答】解：由折叠可得，∠DAE＝∠D'AE，AD＝AD'＝2，
∵AB∥CD，
∴∠DEA＝∠D'AE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝2，
∴AD'＝DE，而AD'∥DE，
∴四边形ADED'是平行四边形，
∴AD∥D'E，
由折叠可得，D'E垂直平分AA'，
∴AA'⊥AD，
又∵AD∥BC，
∴AA'⊥BC，
∴△AA'B是直角三角形，
∵AD'＝A'D'＝2，
∴∠D'AA'＝∠D'A'A，
又∵∠D'AA'+∠B＝90°，∠D'A'A+∠D'A'B＝90°，
∴∠B＝∠D'A'B，
∴D'A'＝D'B＝2，
∴AB＝2+2＝4，
又∵A'是BC的中点，BC＝AD＝2，
∴A'B＝1，
∴AA'=AB2−A′B2=42−12=15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【变式1-7】如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：△ABE≌△AGF．
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠CEF＝∠AEF，根据平行线的性质可得∠CEF＝∠EFA，根据等量关系可得∠AEF＝∠EFA，根据等角对等边即可求解；
（2）根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，根据折叠的性质，可得AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，所以AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，由等量代换可得∠BAE＝∠GAF，得到AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，得到∠BEA＝∠EAF＝∠GFA，AAS可证△ABE≌△AGF．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可得∠CEF＝∠AEF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CEF＝∠EFA，
∴∠AEF＝∠EFA，
∴AE＝AF；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
又根据题意得：AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，
∴AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠GAF，
又∵AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EAF＝∠GFA，
在△ABE与△AGF中，
∠BEA=∠GFA∠BAE=∠GAFAB=AG，
∴△ABE≌△AGF（AAS）．
【点评】此题是折叠问题，是中考中的常见题目．解此题首先要注意折叠前后的部分全等，即对应角与对应边都相等．解此题还要注意平行四边形的性质的求解方法．
【变式1-8】如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED'是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AE2+BE2＝AB2．
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（2）利用平行线的性质结合勾股定理得出答案．
【解答】证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA＝∠EAD′，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，
∴∠DAD′＝∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE＝AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB平行且等于DC，
∴CE平行且等于D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝AB2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，得出四边形DAD′E是平行四边形是解题关键．
题型二 矩形中的折叠问题
【例题2】（2022春•武城县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】∵△AD′C≌△CBA，∴△AD′F≌△CBF，得△AD′F与△CBF面积相等，设BF＝x，列出关于x的关系式，解得x的值即可解题．
【解答】解：∵△AD′C≌△CBA，
∴△AD′F≌△CBF，
∴△AD′F与△CBF面积相等，
设BF＝x，则（8﹣x）2＝x2+42，
64﹣16x+x2＝x2+16，
16x＝48，
解得x＝3，
∴△AFC的面积=12×4×8−12×3×4＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，矩形各内角为直角的性质，本题中正确计算BF的值是解题的关键．
【变式2-1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AD=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．23 B．33 C．4 D．8
【分析】根据翻折的性质可得∠DAF＝∠OAF，OA＝AD，再根据菱形的对角线平分一组对角可得∠OAF＝∠OAE，然后求出∠OAE＝30°，再利用勾股定理求出OE，可得AE，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由翻折的性质得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD=3，
在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE，
∴∠OAE=13×90°＝30°，
∴AE＝2OE，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2+OE2＝AE2，
∴3+OE2＝4OE2，
∴OE＝1或OE＝﹣1（舍去），
∴AE＝2OE＝2，
∴菱形AECF的面积＝AE•AD=23．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握翻折变换的性质并求出∠OAE＝30°是解题的关键．
【变式2-2】（2022春•越秀区校级期中）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．123 D．163
【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB＝60°，由折叠的性质可得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝60°．根据直角三角形的性质得出A′B′＝AB＝23，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠B′EF＝∠EFB＝60°，
由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°．
在Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，
∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，
∴B′E＝4，
∴A′B′＝23，即AB＝23，
∵AE＝2，DE＝6，
∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝23×8＝163．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A．95 B．125 C．165 D．185
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
【解答】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE=AB2+BE2=5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH=AB×BEAE=125，
则BF=245，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF=62−(245)2=185．
故选：D．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 ．
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ADF中运用勾股定理求得DF的长，即可得到DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到答案．
【解答】解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD，
Rt△ABD中，BD=AD2+AB2=182+62=610，
由折叠可得DO=12BD＝310，∠BFO＝∠DFO，
由AB∥CD可得，∠DFO＝∠BGO，
∴∠DFO＝∠BGO，
∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，
∴BD平分FG，
∴OF＝OG，
由折叠知，BF＝DF，
设BF＝DF＝x，则AF＝18﹣x，
在Rt△ABF中，（18﹣x）2+62＝x2，
解得x＝10，即DF＝10，
∴Rt△DOF中，OF=DF2−DO2=10，
∴FG＝2FO＝210．
故答案为：210．
【点评】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解．
【变式2-5】（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【分析】利用折叠的性质得到BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，再利用勾股定理得到FH＝5，即可求解BC．
【解答】解：∵矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，
∴BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，
∵∠FPH＝90°，
∴FH=PF2+PH2=42+32=5，
∴BC＝BF+FH+CH＝4+5+3＝12，
故选：C．
【点评】本题考查折叠的性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理和折叠的性质求出FH，BF，CH．
【变式2-6】（2022春•大观区校级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（ ）
A．1或4 B．43或9 C．1或9 D．43或1
【分析】注意题目表述为射线DC，所以分为两种情况，一种是点E在线段DC上，另一种是点E在DC的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
【解答】解：①如图1，当点E在线段DC上时，
∵∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°，
∴B，D′，E三点共线，
∵S△ABE=12×AB×AD=12×BE×AD′，
∴BE＝AB＝5，
∵BD′=AB2−AD′2=52−32=4，
∴DE＝D′E＝BE﹣BD′＝5﹣4＝1；
②如图2，当点E在DC的延长线上时，
∵∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴BD′＝4，
设CE＝x，则：
D′E＝DE＝x+5，
∴BE＝D′E﹣BD′＝x+1，
∵CE2+BC2＝BE2，
∴x2+32＝（x+1）2，
解得：x＝4，
∴DE＝CD+DE＝5+4＝9，
综上，DE的值为1或9．
故选：C．
【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是分两种情况讨论，特别时第二种比较容易遗漏．
【变式2-7】如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积．
【分析】（1）依据平行线的性质以及矩形的性质，即可得到∠AFE＝∠AEF，进而得出AE＝AF．
（2）设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得方程，即可得到BE的长，再根据三角形面积计算公式求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
由折叠的性质得：∠AEF＝∠FEC，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF．
（2）解：根据折叠的性质可得AE＝EC，
设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：AB2+BE2＝AE2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴BE＝3，
∴S△ABE=12AB•BE=12×4×3＝6．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
【变式2-8】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）求证：GF＝GC；
（2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长．
【分析】（1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE＝EF＝EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）设GC＝x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；
【解答】解：（1）连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
EG=EGEF=EC，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF＝GC；
（2）设GC＝x＝FG，则DG＝3﹣x，
∵AF＝AB＝3，
∴AG＝3+x，
在Rt△ADG中，由勾股定理得，42+（3﹣x）2＝（3+x）2，
解得x=43，
即线段GC的长为43；
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质以及中点四边形的综合应用，找出三角形全等的条件EF＝EC是解题的关键．解题时注意：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，以及对角线相等的四边形的中点四边形是菱形．
题型三 菱形中的折叠问题
【例题3】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC'的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，∠DEC＝∠DEC′，
在△DEC中，∠DEC＝∠DEC′＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°，
∴∠BEC'＝180°﹣∠DEC﹣∠DEC′＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
【变式3-1】如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，将菱形ABCD折叠，使得点B与点A重合，折痕与AB交于点E，与CD交于点F，则EF的长为（ ）
A．125 B．245 C．365 D．485
【分析】根据菱形的性质和勾股定理可求出BD，再根据菱形的面积可求出答案．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6，OB＝OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OD=AD2−OA2=102−62=8，
∴BD＝2OD＝16，
∴S菱形ABCD=12AC•BD＝AB•EF，
即12×12×16＝10EF，
∴EF=485，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质，翻折变换，求出菱形的对角线BD的长是解决问题的前提，掌握菱形的面积的计算方法是得出答案的关键．
【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，点A、B的对应点分别为A′、B′，若AE＝4，则B′F的长为 ．
【分析】根据菱形的性质，由AC＝16，BD＝12，即可计算出BC的长，易证△AOE≌△COF，可得AE＝CF＝4，再根据翻折的性质即可得出答案．
【解答】解：∵AC＝16，BD＝12，
∴BO=12BD=12×16=8，CO=12AC=8，
∴BC＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF＝4，
根据折叠的性质可得，
B′F＝BF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）及菱形的性质，熟练掌握翻折变换（折叠问题）及菱形的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式3-3】如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处．若EG⊥AC，则FG的长为（ ）
A．3 B．6 C．33 D．32
【分析】如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H．只要证明FG⊥AD，即可FG是菱形的高，求出FG即可解决问题．
【解答】解：如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠B＝60°，
∵EG⊥AC，
∴∠GOH＝90°，
∵∠EGF＝∠B＝60°，
∴∠OHG＝30°，
∴∠AGH＝90°，
∴FG⊥AD，
∴FG是菱形的高，即等边△ABC的高=32×6＝33．
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明线段FG是菱形的高，记住等边三角形的高=32a（a是等边三角形的边长），属于中考常考题型．
【变式3-4】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝4，BD＝43，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为EF．则五边形AEFCD的周长是（ ）
A．14 B．16 C．4+43 D．8+83
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝23，由勾股定理可求AB＝4，由折叠的性质可求OF＝CF＝BF＝2，由三角形中位线定理可求EF＝2，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝23，
∴AB=AO2+BO2=4+12=4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵折叠，
∴BF＝OF，
∴∠FOB＝∠FBO，
∴∠FCO＝∠FOC，
∴OF＝CF，
∴OF＝CF＝BF＝2，
同理可得BE＝OE＝AE＝2，
∴EF=12AC＝2，
∴五边形AEFCD的周长＝4+4+2+2+2＝14，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式3-5】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若BC＝4，BG＝3，则GE的长为 ．
【分析】根据菱形的性质、折叠的性质，以及∠ABC＝120°，可以得到△ABD△BCD都是等边三角形，通过作高，构造直角三角形利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝4，
即△ABD是等边三角形，
过点E作EH⊥BD，垂足为H，
设BE＝x，则EH=32x，BH=12x，
在Rt△EHG中，
EG＝EA＝4﹣x，GH＝3−12x，EH=32x，
由勾股定理得，EG2＝GH2+EH2，
即（4﹣x）2＝（3−12x）2+（32x）2，
解得x=75，
∴EG＝4−75=135，
故答案为：135．
【点评】考查菱形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据折叠和菱形等边三角形的性质进行转化直角三角形的勾股定理求解，是解决问题的关键．
【变式3-6】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A落在对角线BD上的点G处（不与点B，D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则△BEG的面积为（ ）
A．2235 B．2135 C．43 D．53
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，设BE＝x根据勾股定理列出方程，即可解决问题．
【解答】解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG＝EA，
由题意得，BD＝DG+BG＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝8，
设BE＝x，则EG＝AE＝8﹣x，
在Rt△EHB中，BH=12x，EH=32x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（8﹣x）2＝（32x）2+（6−12x）2，
解得，x=145，即BE=145，
∴EH=32×145=735，
∴△BEG的面积为12BG⋅EH=12×6×735=2135．
故选：B．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
题型四 正方形中的折叠问题
【例题4】（2021春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
【解答】解：由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm，
又∵CE=12DC＝4cm，
∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，即CN＝3cm．
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
【变式4-1】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可．
【解答】解：由折叠可得DF＝EF，设AF＝x，则EF＝8﹣x，
∵AF2+AE2＝EF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故选：A．
【点评】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
【变式4-2】如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．158 C．1 D．2
【分析】由折叠的性质得DH＝EH，设CH＝x，则DH＝EH＝4﹣x，再由BE：EC＝3：1得CE＝2，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝4，
由折叠的性质得：EH＝DH，
设CH＝x，则DH＝EH＝4﹣x，
∵BE：EC＝3：1，
∴CE=14BC＝1，
在Rt△ECH中，由勾股定理得：EH2＝EC2+CH2，
即（4﹣x）2＝12+x2，
解得：x=158，
即CH=158．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【变式4-3】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A的对应点为点A'，且B'C＝3，求AM的长．
【分析】设AM＝x，连接BM，MB′，求出DB′＝6，然后在Rt△ABM和Rt△MDB′中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设AM＝x，
连接MB，MB'，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝9，
∵B'C＝3，
∴DB'＝6，
在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，
在Rt△MDB'中，MD2+DB'2＝B'M2，
由折叠的性质得：MB＝MB'，
∴AB2+AM2＝BM2＝B'M2＝MD2+DB'2，
即92+x2＝（9﹣x）2+62，
解得：x＝2，
即AM＝2．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【变式4-4】已知正方形ABCD中，AB＝6，点E在AB上，且BE＝2AE，将△ADE沿DE对折至△DEF，延长EF交BC于H，连接DH，BF．
（1）求证：CH＝FH；
（2）求BH的长；
（3）求△FBH的面积．
【分析】（1）由折叠的性质可得AD＝DF＝DC，∠DAE＝∠EFD＝90°＝∠DCB，由“HL”可证Rt△DCH≌Rt△DFH，可得CH＝FH；
（2）由勾股定理可求BH的长；
（3）由三角形的面积关系可求解．
【解答】证明：（1）∵将△ADE沿DE对折至△DEF，
∴AD＝DF，∠DAE＝∠EFD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠DCB＝90°
∴DF＝DC，且DH＝DH，
∴Rt△DCH≌Rt△DFH（HL）
∴CH＝FH；
（2）∵AB＝6，BE＝2AE，
∴AE＝2，BE＝4，
∵EH2＝BE2+BH2，
∴（CH+2）2＝16+（6﹣CH）2，
∴CH＝3，
∴BH＝3；
（3）∵S△BEH=12BE×BH＝6，且EF＝2，FH＝3，
∴△FBH的面积=65×3=185．
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明Rt△DCH≌Rt△DFH是本题的关键．
【变式4-5】如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，求：
（1）FN的长；
（2）EN的长．（结果保留根号）
【分析】（1）根据翻转变换的性质求出BM、BF，根据勾股定理计算即可；
（2）由折叠可得，AE＝FE，在Rt△NEF中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN的长．
【解答】解：（1）由折叠的性质可知，BM=12BC＝1，BF＝BA＝2，∠BMF＝90°，
由勾股定理得，FM=BF2−BM2=3，
∴FN＝MN﹣FM＝2−3．
（2）设AE＝FE＝x，则EN＝1﹣x，
NF＝MN﹣FM＝2−3，
∵Rt△EFN中，NE2+NF2＝EF2，
∴（1﹣x）2+（2−3）2＝x2，
解得x＝4﹣23，
∴EN=23−3．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
【变式4-6】如图，点F在正方形ABCD的AD边上，连接BF．把△ABF沿BF折叠，与△GBF重合．连接AG并延长交CD于点E，交BF于点H．
（1）证明：BF＝AE；
（2）若AB＝15，EC＝7，求GE的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABF≌△DAE，可得BF＝AE；
（2）由勾股定理可求BF，由面积公式可求AH的长，即可求GE的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，
由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
又∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
∠ABH=∠FAHAB=AD∠BAF=∠ADE=90°，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF＝AE；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝15．
∵CE＝7，
∴DE＝15﹣7＝8，
∵△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝8，
在Rt△ABF中，BF=AB2+AF2=225+64=17，
∵S△ABF=12AB•AF=12BF•AH，
∴15×8＝17AH，
∴AH=12017，
∴AG＝2AH=24017，
∵AE＝BF＝17，
∴GE＝AE﹣AG＝17−24017=4917，
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式4-7】如图，将对角线BD长为162的正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．
（1）求线段AB和线段CF的长；
（2）连接EQ，求EQ的长．
【分析】（1）由对角线为162，易知边长为16．设CF＝x，由折叠可知在直角三角形CFQ中，由勾股定理有（16﹣x）2＝82+x2，解得x＝6，即可得CF；
（2）连接EQ，作EG⊥BC于点G，连接BQ交EF于点H，由折叠知BQ⊥EF，可证明△EGF≌△BCQ（ASA），则GF＝CQ＝8，AE＝BG＝BF﹣GF＝10﹣8＝2，在直角三角形PEQ中由勾股定理可求EQ．
【解答】解：（1）∵对角线BD为162，
∴AB＝BC＝CD＝AD=1622=16，
设CF＝x，由折叠可知QF＝BF＝16﹣x，
由于Q为CD中点，
则CQ=12CD=8，
在直角三角形CFQ中，由勾股定理可得：
（16﹣x）2＝82+x2，解得：x＝6．
故CF＝6．
（2）如图所示，连接EQ，作EG⊥BC于点G，连接BQ交EF于点H，
由折叠可知AE＝PE，BQ⊥EF，
∴∠BFE+∠FBQ＝90°，
又∠BFE+∠GEF＝90°，
∴∠FBQ＝∠GEF，
在△EGF和△BCQ中，
∠GEF=∠CBQEG=BC∠EGF=∠BCQ=90°，
∴△EGF≌△BCQ（ASA），
∴GF＝CQ＝8，
∴AE＝BG＝BF﹣GF＝10﹣8＝2，
即PE＝2，
由折叠可得PQ＝AB＝16，∠P＝90°，
由勾股定理有EQ=PE2+PQ2=4+162=265．
【点评】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟悉折叠的性质、掌握以上定理并利用勾股定理建立关于x的方程是解题的关键．
【变式4-8】通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．
【分析】连接CG，由折叠的性质得出EF垂直平分BC，则BG＝CG，证明△BCG是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBG＝60°，则可得出答案．
【解答】解：∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．
理由：连接CG，
由第一次折叠知点B、C关于EF对称，
∴EF垂直平分BC，
∴BG＝CG，
由第二次折叠知△BCH≌△BGH，
∴BG＝BC；
∴BG＝CG＝BC，
∴△BCG是等边三角形，
∴∠CBG＝60°，
∵△BCH≌△BGH，
∴∠CBH＝∠GBH＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠GBA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 与平行四边形有关的折叠问题
题型一 平行四边形中的折叠问题
【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，点E、F分别在边AD与BC上，将四边形EFCD沿EF进行折叠，使点D落在AB边上的点P处，点C落在点Q处，若∠APE＝36°．则∠BFQ等于（ ）
A．36° B．32° C．24° D．18°
【变式1-1】如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG＝ 度．
【变式1-2】有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B＝75°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【变式1-3】如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A恰好落在CD上的点F，若△BCF的周长为14，CF的长为3，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式1-4】如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝8，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于点G，则△GEF的高是（ ）
A．4 B．43 C．8 D．82
【变式1-5】在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为C1，点D的对应点为D1，若BD1＝2，则AD的长为 ．
【变式1-6】如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的D'处，折痕为AE．再将△AD'E翻折，点A恰好落在BC的中点A'处，连接AA'，若AD＝2，则线段AA'的长为 ．
【变式1-7】如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：△ABE≌△AGF．
【变式1-8】如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED'是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AE2+BE2＝AB2．
题型二 矩形中的折叠问题
【例题2】（2022春•武城县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【变式2-1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AD=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．23 B．33 C．4 D．8
【变式2-2】（2022春•越秀区校级期中）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．123 D．163
【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A．95 B．125 C．165 D．185
【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 ．
【变式2-5】（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【变式2-6】（2022春•大观区校级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（ ）
A．1或4 B．43或9 C．1或9 D．43或1
【变式2-7】如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积．
【变式2-8】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）求证：GF＝GC；
（2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长．
题型三 菱形中的折叠问题
【例题3】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC'的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【变式3-1】如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，将菱形ABCD折叠，使得点B与点A重合，折痕与AB交于点E，与CD交于点F，则EF的长为（ ）
A．125 B．245 C．365 D．485
【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，点A、B的对应点分别为A′、B′，若AE＝4，则B′F的长为 ．
【变式3-3】如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处．若EG⊥AC，则FG的长为（ ）
A．3 B．6 C．33 D．32
【变式3-4】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝4，BD＝43，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为EF．则五边形AEFCD的周长是（ ）
A．14 B．16 C．4+43 D．8+83
【变式3-5】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若BC＝4，BG＝3，则GE的长为 ．
【变式3-6】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A落在对角线BD上的点G处（不与点B，D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则△BEG的面积为（ ）
A．2235 B．2135 C．43 D．53
题型四 正方形中的折叠问题
【例题4】（2021春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【变式4-1】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【变式4-2】如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．158 C．1 D．2
【变式4-3】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A的对应点为点A'，且B'C＝3，求AM的长．
【变式4-4】已知正方形ABCD中，AB＝6，点E在AB上，且BE＝2AE，将△ADE沿DE对折至△DEF，延长EF交BC于H，连接DH，BF．
（1）求证：CH＝FH；
（2）求BH的长；
（3）求△FBH的面积．
【变式4-5】如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，求：
（1）FN的长；
（2）EN的长．（结果保留根号）
【变式4-6】如图，点F在正方形ABCD的AD边上，连接BF．把△ABF沿BF折叠，与△GBF重合．连接AG并延长交CD于点E，交BF于点H．
（1）证明：BF＝AE；
（2）若AB＝15，EC＝7，求GE的长．
【变式4-7】如图，将对角线BD长为162的正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．
（1）求线段AB和线段CF的长；
（2）连接EQ，求EQ的长．
【变式4-8】通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 与平行四边形有关的折叠问题 答案
题型一 平行四边形中的折叠问题
【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，点E、F分别在边AD与BC上，将四边形EFCD沿EF进行折叠，使点D落在AB边上的点P处，点C落在点Q处，若∠APE＝36°．则∠BFQ等于（ ）
A．36° B．32° C．24° D．18°
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝60°，∠C＝120°，由折叠性质可得∠EPQ＝∠D＝60°，∠PQF＝∠C＝120°，从而可得∠BPQ＝84°，由三角形内角和定理可得∠BPQ+∠B＝∠PQF+∠BFQ即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝120°，
∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠A＝120°，
由折叠性质可得：
∠EPQ＝∠D＝60°，∠PQF＝∠C＝120°，
∵∠APE＝36°，
∴∠BPQ＝180°﹣∠APE﹣∠EPQ＝84°，
∵∠BPQ+∠B＝∠PQF+∠BFQ，
∴∠BFQ＝∠BPQ+∠B﹣∠PQF
＝84°+60°﹣120°
＝24°，
故选：C．
【点评】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是明确折叠前后对应图形的角度相等．
【变式1-1】如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG＝ 度．
【分析】利用翻折和平角定义易得组成∠AEF的两个角的和等于平角的一半，得出∠AEF＝90°，再利用将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，得出∠AEG＝∠GEA′进而得出答案．
【解答】解：根据沿直线折叠的特点，△ABE≌△AB′E，△CEF≌△C′EF，
∴∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∵点E，B′，C′在同一直线上，
∴∠AEF＝90°，
∵将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，
∴∠AEG＝∠GEA′=12∠AEF＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了折叠的性质，利用折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等得出对应关系是解题关键．
【变式1-2】有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B＝75°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【分析】由折叠可得∠CED＝90°＝∠BCE，即可得到∠DCE＝15°，由折叠可得∠DCF＝2×15°＝30°，即可得到∠BCF＝60°．
【解答】解：由折叠可得，∠CED＝90°＝∠BCE，
又∵∠D＝∠B＝75°，
∴∠DCE＝15°，
由折叠可得，∠DCF＝2×15°＝30°，
∴∠BCF＝60°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【变式1-3】如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A恰好落在CD上的点F，若△BCF的周长为14，CF的长为3，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】由折叠的性质得出BF＝AB，EF＝AE，由△BCF的周长得出BC+DC＝11，即可求出△DEF的周长．
【解答】解：由折叠的性质得：△FBE≌△ABE，
∴BF＝AB，EF＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC，
∵△BCF的周长为14，
∴BC+BF+CF＝14，
∴BC+DC＝14﹣3＝11，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝DE+AE+DC﹣CF＝AD+DC﹣CF＝11﹣3＝8；
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【变式1-4】如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝8，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于点G，则△GEF的高是（ ）
A．4 B．43 C．8 D．82
【分析】根据折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝60°，再利用平行四边形的性质得到∠GFE＝∠DEF＝60°，则可判断△GEF为等边三角形，作EH⊥GF于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH即可．
【解答】解：∵四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，
∴∠GEF＝∠DEF＝60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE＝∠DEF＝60°，
∴△GEF为等边三角形，
作EH⊥GF于H，如图，
在Rt△EFH中，HF=12EF＝4，
EH=3HF＝43，
即△GEF的高是43．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了平行四边形的性质．
【变式1-5】在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为C1，点D的对应点为D1，若BD1＝2，则AD的长为 ．
【分析】分两种情况讨论：①当点D在线段AB上时，②当点D在线段AB延长线上时，再根据30度角直角三角形的性质求出AD长．
【解答】解：①当点D在线段AB上时，
∵BD1＝2，
∴AD1＝4﹣2＝2，
∵∠A＝60°，
∴∠ADD1＝30°，
∴AD＝2AD1＝2×2＝4；
②当点D在线段AB延长线上时，
∵BD1＝2，
∴AD1＝4+2＝6，
∵∠A＝60°，
∴∠ADD1＝30°，
∴AD＝2AD1＝2×6＝12；
故答案为4或12．
【点评】本题考查了轴对称，熟练运用30度角直角三角形的性质是解题的关键．
【变式1-6】如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的D'处，折痕为AE．再将△AD'E翻折，点A恰好落在BC的中点A'处，连接AA'，若AD＝2，则线段AA'的长为 ．
【分析】根据折叠的性质，得出AD'＝DE，而AD'∥DE，进而得到四边形ADED'是平行四边形，由折叠可得，D'E垂直平分AA'，即可得出△AA'B是直角三角形，再根据∠B＝∠D'A'B，得到D'A'＝D'B＝2，即AB＝2+2＝4，最后在Rt△AA'B中，运用勾股定理进行计算即可得到AA'的长．
【解答】解：由折叠可得，∠DAE＝∠D'AE，AD＝AD'＝2，
∵AB∥CD，
∴∠DEA＝∠D'AE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝2，
∴AD'＝DE，而AD'∥DE，
∴四边形ADED'是平行四边形，
∴AD∥D'E，
由折叠可得，D'E垂直平分AA'，
∴AA'⊥AD，
又∵AD∥BC，
∴AA'⊥BC，
∴△AA'B是直角三角形，
∵AD'＝A'D'＝2，
∴∠D'AA'＝∠D'A'A，
又∵∠D'AA'+∠B＝90°，∠D'A'A+∠D'A'B＝90°，
∴∠B＝∠D'A'B，
∴D'A'＝D'B＝2，
∴AB＝2+2＝4，
又∵A'是BC的中点，BC＝AD＝2，
∴A'B＝1，
∴AA'=AB2−A′B2=42−12=15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【变式1-7】如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：△ABE≌△AGF．
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠CEF＝∠AEF，根据平行线的性质可得∠CEF＝∠EFA，根据等量关系可得∠AEF＝∠EFA，根据等角对等边即可求解；
（2）根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，根据折叠的性质，可得AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，所以AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，由等量代换可得∠BAE＝∠GAF，得到AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，得到∠BEA＝∠EAF＝∠GFA，AAS可证△ABE≌△AGF．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可得∠CEF＝∠AEF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CEF＝∠EFA，
∴∠AEF＝∠EFA，
∴AE＝AF；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
又根据题意得：AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，
∴AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠GAF，
又∵AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EAF＝∠GFA，
在△ABE与△AGF中，
∠BEA=∠GFA∠BAE=∠GAFAB=AG，
∴△ABE≌△AGF（AAS）．
【点评】此题是折叠问题，是中考中的常见题目．解此题首先要注意折叠前后的部分全等，即对应角与对应边都相等．解此题还要注意平行四边形的性质的求解方法．
【变式1-8】如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED'是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AE2+BE2＝AB2．
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（2）利用平行线的性质结合勾股定理得出答案．
【解答】证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA＝∠EAD′，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，
∴∠DAD′＝∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE＝AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB平行且等于DC，
∴CE平行且等于D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝AB2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，得出四边形DAD′E是平行四边形是解题关键．
题型二 矩形中的折叠问题
【例题2】（2022春•武城县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】∵△AD′C≌△CBA，∴△AD′F≌△CBF，得△AD′F与△CBF面积相等，设BF＝x，列出关于x的关系式，解得x的值即可解题．
【解答】解：∵△AD′C≌△CBA，
∴△AD′F≌△CBF，
∴△AD′F与△CBF面积相等，
设BF＝x，则（8﹣x）2＝x2+42，
64﹣16x+x2＝x2+16，
16x＝48，
解得x＝3，
∴△AFC的面积=12×4×8−12×3×4＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，矩形各内角为直角的性质，本题中正确计算BF的值是解题的关键．
【变式2-1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AD=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．23 B．33 C．4 D．8
【分析】根据翻折的性质可得∠DAF＝∠OAF，OA＝AD，再根据菱形的对角线平分一组对角可得∠OAF＝∠OAE，然后求出∠OAE＝30°，再利用勾股定理求出OE，可得AE，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由翻折的性质得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD=3，
在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE，
∴∠OAE=13×90°＝30°，
∴AE＝2OE，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2+OE2＝AE2，
∴3+OE2＝4OE2，
∴OE＝1或OE＝﹣1（舍去），
∴AE＝2OE＝2，
∴菱形AECF的面积＝AE•AD=23．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握翻折变换的性质并求出∠OAE＝30°是解题的关键．
【变式2-2】（2022春•越秀区校级期中）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．123 D．163
【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB＝60°，由折叠的性质可得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝60°．根据直角三角形的性质得出A′B′＝AB＝23，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠B′EF＝∠EFB＝60°，
由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°．
在Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，
∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，
∴B′E＝4，
∴A′B′＝23，即AB＝23，
∵AE＝2，DE＝6，
∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝23×8＝163．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A．95 B．125 C．165 D．185
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
【解答】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE=AB2+BE2=5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH=AB×BEAE=125，
则BF=245，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF=62−(245)2=185．
故选：D．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为 ．
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ADF中运用勾股定理求得DF的长，即可得到DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到答案．
【解答】解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD，
Rt△ABD中，BD=AD2+AB2=182+62=610，
由折叠可得DO=12BD＝310，∠BFO＝∠DFO，
由AB∥CD可得，∠DFO＝∠BGO，
∴∠DFO＝∠BGO，
∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，
∴BD平分FG，
∴OF＝OG，
由折叠知，BF＝DF，
设BF＝DF＝x，则AF＝18﹣x，
在Rt△ABF中，（18﹣x）2+62＝x2，
解得x＝10，即DF＝10，
∴Rt△DOF中，OF=DF2−DO2=10，
∴FG＝2FO＝210．
故答案为：210．
【点评】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解．
【变式2-5】（2021春•莆田期中）如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【分析】利用折叠的性质得到BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，再利用勾股定理得到FH＝5，即可求解BC．
【解答】解：∵矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，
∴BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，
∵∠FPH＝90°，
∴FH=PF2+PH2=42+32=5，
∴BC＝BF+FH+CH＝4+5+3＝12，
故选：C．
【点评】本题考查折叠的性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理和折叠的性质求出FH，BF，CH．
【变式2-6】（2022春•大观区校级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（ ）
A．1或4 B．43或9 C．1或9 D．43或1
【分析】注意题目表述为射线DC，所以分为两种情况，一种是点E在线段DC上，另一种是点E在DC的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
【解答】解：①如图1，当点E在线段DC上时，
∵∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°，
∴B，D′，E三点共线，
∵S△ABE=12×AB×AD=12×BE×AD′，
∴BE＝AB＝5，
∵BD′=AB2−AD′2=52−32=4，
∴DE＝D′E＝BE﹣BD′＝5﹣4＝1；
②如图2，当点E在DC的延长线上时，
∵∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴BD′＝4，
设CE＝x，则：
D′E＝DE＝x+5，
∴BE＝D′E﹣BD′＝x+1，
∵CE2+BC2＝BE2，
∴x2+32＝（x+1）2，
解得：x＝4，
∴DE＝CD+DE＝5+4＝9，
综上，DE的值为1或9．
故选：C．
【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是分两种情况讨论，特别时第二种比较容易遗漏．
【变式2-7】如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积．
【分析】（1）依据平行线的性质以及矩形的性质，即可得到∠AFE＝∠AEF，进而得出AE＝AF．
（2）设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得方程，即可得到BE的长，再根据三角形面积计算公式求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
由折叠的性质得：∠AEF＝∠FEC，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF．
（2）解：根据折叠的性质可得AE＝EC，
设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：AB2+BE2＝AE2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴BE＝3，
∴S△ABE=12AB•BE=12×4×3＝6．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
【变式2-8】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）求证：GF＝GC；
（2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长．
【分析】（1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE＝EF＝EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）设GC＝x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；
【解答】解：（1）连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
EG=EGEF=EC，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF＝GC；
（2）设GC＝x＝FG，则DG＝3﹣x，
∵AF＝AB＝3，
∴AG＝3+x，
在Rt△ADG中，由勾股定理得，42+（3﹣x）2＝（3+x）2，
解得x=43，
即线段GC的长为43；
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质以及中点四边形的综合应用，找出三角形全等的条件EF＝EC是解题的关键．解题时注意：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，以及对角线相等的四边形的中点四边形是菱形．
题型三 菱形中的折叠问题
【例题3】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC'的大小为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，∠DEC＝∠DEC′，
在△DEC中，∠DEC＝∠DEC′＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°，
∴∠BEC'＝180°﹣∠DEC﹣∠DEC′＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
【变式3-1】如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，将菱形ABCD折叠，使得点B与点A重合，折痕与AB交于点E，与CD交于点F，则EF的长为（ ）
A．125 B．245 C．365 D．485
【分析】根据菱形的性质和勾股定理可求出BD，再根据菱形的面积可求出答案．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6，OB＝OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OD=AD2−OA2=102−62=8，
∴BD＝2OD＝16，
∴S菱形ABCD=12AC•BD＝AB•EF，
即12×12×16＝10EF，
∴EF=485，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质，翻折变换，求出菱形的对角线BD的长是解决问题的前提，掌握菱形的面积的计算方法是得出答案的关键．
【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，点A、B的对应点分别为A′、B′，若AE＝4，则B′F的长为 ．
【分析】根据菱形的性质，由AC＝16，BD＝12，即可计算出BC的长，易证△AOE≌△COF，可得AE＝CF＝4，再根据翻折的性质即可得出答案．
【解答】解：∵AC＝16，BD＝12，
∴BO=12BD=12×16=8，CO=12AC=8，
∴BC＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF＝4，
根据折叠的性质可得，
B′F＝BF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）及菱形的性质，熟练掌握翻折变换（折叠问题）及菱形的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式3-3】如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处．若EG⊥AC，则FG的长为（ ）
A．3 B．6 C．33 D．32
【分析】如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H．只要证明FG⊥AD，即可FG是菱形的高，求出FG即可解决问题．
【解答】解：如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠B＝60°，
∵EG⊥AC，
∴∠GOH＝90°，
∵∠EGF＝∠B＝60°，
∴∠OHG＝30°，
∴∠AGH＝90°，
∴FG⊥AD，
∴FG是菱形的高，即等边△ABC的高=32×6＝33．
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明线段FG是菱形的高，记住等边三角形的高=32a（a是等边三角形的边长），属于中考常考题型．
【变式3-4】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝4，BD＝43，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为EF．则五边形AEFCD的周长是（ ）
A．14 B．16 C．4+43 D．8+83
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝23，由勾股定理可求AB＝4，由折叠的性质可求OF＝CF＝BF＝2，由三角形中位线定理可求EF＝2，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝23，
∴AB=AO2+BO2=4+12=4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵折叠，
∴BF＝OF，
∴∠FOB＝∠FBO，
∴∠FCO＝∠FOC，
∴OF＝CF，
∴OF＝CF＝BF＝2，
同理可得BE＝OE＝AE＝2，
∴EF=12AC＝2，
∴五边形AEFCD的周长＝4+4+2+2+2＝14，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式3-5】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若BC＝4，BG＝3，则GE的长为 ．
【分析】根据菱形的性质、折叠的性质，以及∠ABC＝120°，可以得到△ABD△BCD都是等边三角形，通过作高，构造直角三角形利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝4，
即△ABD是等边三角形，
过点E作EH⊥BD，垂足为H，
设BE＝x，则EH=32x，BH=12x，
在Rt△EHG中，
EG＝EA＝4﹣x，GH＝3−12x，EH=32x，
由勾股定理得，EG2＝GH2+EH2，
即（4﹣x）2＝（3−12x）2+（32x）2，
解得x=75，
∴EG＝4−75=135，
故答案为：135．
【点评】考查菱形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据折叠和菱形等边三角形的性质进行转化直角三角形的勾股定理求解，是解决问题的关键．
【变式3-6】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A落在对角线BD上的点G处（不与点B，D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则△BEG的面积为（ ）
A．2235 B．2135 C．43 D．53
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，设BE＝x根据勾股定理列出方程，即可解决问题．
【解答】解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG＝EA，
由题意得，BD＝DG+BG＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝8，
设BE＝x，则EG＝AE＝8﹣x，
在Rt△EHB中，BH=12x，EH=32x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（8﹣x）2＝（32x）2+（6−12x）2，
解得，x=145，即BE=145，
∴EH=32×145=735，
∴△BEG的面积为12BG⋅EH=12×6×735=2135．
故选：B．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
题型四 正方形中的折叠问题
【例题4】（2021春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
【解答】解：由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm，
又∵CE=12DC＝4cm，
∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，即CN＝3cm．
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
【变式4-1】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可．
【解答】解：由折叠可得DF＝EF，设AF＝x，则EF＝8﹣x，
∵AF2+AE2＝EF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故选：A．
【点评】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
【变式4-2】如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．158 C．1 D．2
【分析】由折叠的性质得DH＝EH，设CH＝x，则DH＝EH＝4﹣x，再由BE：EC＝3：1得CE＝2，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝4，
由折叠的性质得：EH＝DH，
设CH＝x，则DH＝EH＝4﹣x，
∵BE：EC＝3：1，
∴CE=14BC＝1，
在Rt△ECH中，由勾股定理得：EH2＝EC2+CH2，
即（4﹣x）2＝12+x2，
解得：x=158，
即CH=158．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【变式4-3】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A的对应点为点A'，且B'C＝3，求AM的长．
【分析】设AM＝x，连接BM，MB′，求出DB′＝6，然后在Rt△ABM和Rt△MDB′中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设AM＝x，
连接MB，MB'，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝9，
∵B'C＝3，
∴DB'＝6，
在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，
在Rt△MDB'中，MD2+DB'2＝B'M2，
由折叠的性质得：MB＝MB'，
∴AB2+AM2＝BM2＝B'M2＝MD2+DB'2，
即92+x2＝（9﹣x）2+62，
解得：x＝2，
即AM＝2．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【变式4-4】已知正方形ABCD中，AB＝6，点E在AB上，且BE＝2AE，将△ADE沿DE对折至△DEF，延长EF交BC于H，连接DH，BF．
（1）求证：CH＝FH；
（2）求BH的长；
（3）求△FBH的面积．
【分析】（1）由折叠的性质可得AD＝DF＝DC，∠DAE＝∠EFD＝90°＝∠DCB，由“HL”可证Rt△DCH≌Rt△DFH，可得CH＝FH；
（2）由勾股定理可求BH的长；
（3）由三角形的面积关系可求解．
【解答】证明：（1）∵将△ADE沿DE对折至△DEF，
∴AD＝DF，∠DAE＝∠EFD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠DCB＝90°
∴DF＝DC，且DH＝DH，
∴Rt△DCH≌Rt△DFH（HL）
∴CH＝FH；
（2）∵AB＝6，BE＝2AE，
∴AE＝2，BE＝4，
∵EH2＝BE2+BH2，
∴（CH+2）2＝16+（6﹣CH）2，
∴CH＝3，
∴BH＝3；
（3）∵S△BEH=12BE×BH＝6，且EF＝2，FH＝3，
∴△FBH的面积=65×3=185．
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明Rt△DCH≌Rt△DFH是本题的关键．
【变式4-5】如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，求：
（1）FN的长；
（2）EN的长．（结果保留根号）
【分析】（1）根据翻转变换的性质求出BM、BF，根据勾股定理计算即可；
（2）由折叠可得，AE＝FE，在Rt△NEF中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN的长．
【解答】解：（1）由折叠的性质可知，BM=12BC＝1，BF＝BA＝2，∠BMF＝90°，
由勾股定理得，FM=BF2−BM2=3，
∴FN＝MN﹣FM＝2−3．
（2）设AE＝FE＝x，则EN＝1﹣x，
NF＝MN﹣FM＝2−3，
∵Rt△EFN中，NE2+NF2＝EF2，
∴（1﹣x）2+（2−3）2＝x2，
解得x＝4﹣23，
∴EN=23−3．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
【变式4-6】如图，点F在正方形ABCD的AD边上，连接BF．把△ABF沿BF折叠，与△GBF重合．连接AG并延长交CD于点E，交BF于点H．
（1）证明：BF＝AE；
（2）若AB＝15，EC＝7，求GE的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABF≌△DAE，可得BF＝AE；
（2）由勾股定理可求BF，由面积公式可求AH的长，即可求GE的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，
由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
又∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
∠ABH=∠FAHAB=AD∠BAF=∠ADE=90°，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF＝AE；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝15．
∵CE＝7，
∴DE＝15﹣7＝8，
∵△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝8，
在Rt△ABF中，BF=AB2+AF2=225+64=17，
∵S△ABF=12AB•AF=12BF•AH，
∴15×8＝17AH，
∴AH=12017，
∴AG＝2AH=24017，
∵AE＝BF＝17，
∴GE＝AE﹣AG＝17−24017=4917，
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式4-7】如图，将对角线BD长为162的正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．
（1）求线段AB和线段CF的长；
（2）连接EQ，求EQ的长．
【分析】（1）由对角线为162，易知边长为16．设CF＝x，由折叠可知在直角三角形CFQ中，由勾股定理有（16﹣x）2＝82+x2，解得x＝6，即可得CF；
（2）连接EQ，作EG⊥BC于点G，连接BQ交EF于点H，由折叠知BQ⊥EF，可证明△EGF≌△BCQ（ASA），则GF＝CQ＝8，AE＝BG＝BF﹣GF＝10﹣8＝2，在直角三角形PEQ中由勾股定理可求EQ．
【解答】解：（1）∵对角线BD为162，
∴AB＝BC＝CD＝AD=1622=16，
设CF＝x，由折叠可知QF＝BF＝16﹣x，
由于Q为CD中点，
则CQ=12CD=8，
在直角三角形CFQ中，由勾股定理可得：
（16﹣x）2＝82+x2，解得：x＝6．
故CF＝6．
（2）如图所示，连接EQ，作EG⊥BC于点G，连接BQ交EF于点H，
由折叠可知AE＝PE，BQ⊥EF，
∴∠BFE+∠FBQ＝90°，
又∠BFE+∠GEF＝90°，
∴∠FBQ＝∠GEF，
在△EGF和△BCQ中，
∠GEF=∠CBQEG=BC∠EGF=∠BCQ=90°，
∴△EGF≌△BCQ（ASA），
∴GF＝CQ＝8，
∴AE＝BG＝BF﹣GF＝10﹣8＝2，
即PE＝2，
由折叠可得PQ＝AB＝16，∠P＝90°，
由勾股定理有EQ=PE2+PQ2=4+162=265．
【点评】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟悉折叠的性质、掌握以上定理并利用勾股定理建立关于x的方程是解题的关键．
【变式4-8】通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．
【分析】连接CG，由折叠的性质得出EF垂直平分BC，则BG＝CG，证明△BCG是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBG＝60°，则可得出答案．
【解答】解：∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．
理由：连接CG，
由第一次折叠知点B、C关于EF对称，
∴EF垂直平分BC，
∴BG＝CG，
由第二次折叠知△BCH≌△BGH，
∴BG＝BC；
∴BG＝CG＝BC，
∴△BCG是等边三角形，
∴∠CBG＝60°，
∵△BCH≌△BGH，
∴∠CBH＝∠GBH＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠GBA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
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