2024届陕西省西安市阎良区关山中学高三上学期第一次质量检测数学（理）试题含解析

这是一份2024届陕西省西安市阎良区关山中学高三上学期第一次质量检测数学（理）试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，且，则（ ）.
A．B．或0C．或1或0D．或或0
【答案】B
【分析】利用条件，得或，求解之后进行验证即可．
【详解】解：因为，，
若，则或，解得x＝2或−2或1或0．
①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足．
②当x＝1，集合A＝{1，4，1}，不成立．
③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足．
④当x＝−2，集合A＝{1，4，−2}，B＝{1，4}，满足．
综上，x＝2或−2或0．
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合关系的应用，考查分类讨论的思想，属于基础题．
2．命题“，”的否定形式是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【详解】解：命题“，”为特称命题，其否定为全称命题，
则否定是：，，
故选：．
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．
3．化简：（ ）
A．3B．C．D．或3
【答案】C
【分析】根据根式的性质化简即可.
【详解】解：
故选：
【点睛】本题考查根式的性质，属于基础题.
4． “”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由集合的包含关系直接判断即可.
【详解】，
因为，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
5．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令幂函数且过 (2,)，即有，进而可求的值
【详解】令，由图象过(2,)
∴，可得
故
∴
故选：A
【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题
6．已知，则的值为（ ）
A．2B．－2C．D．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式进行计算.
【详解】，
所以.
故选：D
7．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】借助0，1以及指数、对数函数单调性进行比较即可.
【详解】,,
因为，所以
故
故选：D
8．已知函数，则（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值，
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：B
9．函数f(x)=的值域是（ ）
A．(-∞，1)B．(0，1)
C．(1，+∞)D．(-∞，1)∪(1，+∞)
【答案】B
【分析】根据的范围，利用不等式法，即可求得函数值域.
【详解】∵3x+1>1，∴0<<1，
∴函数的值域为(0，1).
故选：.
【点睛】本题考查利用不等式法求指数型复合函数值域的求解，属基础题.
10．已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由②得关于x=1对称，由③得关于对称，由④得在上单增，根据得出的信息得的周期并画出的草图，将其都转化到同一个单调区间上看图即可得结果.
【详解】∵ 在R上为偶函数，
∴，
∴关于x=1对称.
∵ 在R上为奇函数，
∴，
∴关于对称，且
∵，∴（将上式中的x换成x-1）①
又∵，∴ ②
∴由①②得： ③
∴由③得： ④ （将③中的x换成x+2）
∴由③④得：
∴的一个周期为，且，关于对称
又∵对任意的，且，都有，
∴在上单调递增.
∴在一个周期内的草图为：
∴，
，
∴如图所示：，
即：，
故选：C.
11．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据的奇偶性排除B，根据时的取值排除A，D.
【详解】当时，，所以为奇函数，排除B，选项C满足；
当时，，当时，，排除A，D，选项C满足．
故选：C．
12．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系为．若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）
（参考数值：，结果精确到）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
【详解】依题意，，
令，则，
所以
，
所以.
故选：B
二、填空题
13．直线与函数图象的交点个数为 ．
【答案】4
【分析】根据二次函数的性质，结合图象变换，作图，可得答案.
【详解】令，，解得或，
将代入，解得，可作图如下：

由图可知，直线与函数图象的交点个数为.
故答案为：.
14．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据复合命题单调性可知，是函数单调递增区间的子集，列式求实数的取值范围.
【详解】由，得或，
即函数的定义域为，
令，则，
因为函数为定义域上的单调增函数，
在上递增，
函数单调增区间为，
因为函数在上单调递增，
所以，所以，
故答案为：
15．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（）为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运年数为 时，营运的年平均利润最大．
【答案】5
【分析】首先根据题意得到二次函数的解析式为，再利用基本不等式求解的最大值即可.
【详解】根据题意得到：抛物线的顶点为，过点，开口向下，
设二次函数的解析式为，
所以，解得，即，
则营运的年平均利润，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：5.
16．已知的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【分析】根据函数成立的条件，建立条件关系即可.
【详解】因为的定义域为，
要使函数有意义，则，
即，解得，
所以定义域为.
故答案为：
三、解答题
17．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】（1）由题意，根据指数幂的运算性质，
可得.
（2）根据对数的运算性质，
可得
.
【点睛】本题主要考查了指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
18．已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可；
（2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件，
所以，解得，.
（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.
19．设为奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)求时，函数的单调区间及值域
【答案】(1)
(2)递增区间为，递减区间为，值域为
【分析】（1）设，则，求得，结合为奇函数，即可求解；
（2）根据题意，得到，令，结合二次函数的性质，求得函数的单调区间和最大值，再由复合函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为当时，
设，则，可得，
又因为为奇函数，可得，
所以函数的解析式为.
（2）解：由当时，，则，
令，可得，
又由的图象对应的抛物线的开口向下，且对称轴为，
所以在单调递增，在单调递减，且，
因为函数为定义域的递增函数，
根据复合函数的性质，可得在单调递增，在单调递减，
所以，
又由，可得，
所以函数的的值域为.
20．已知函数是奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并加以证明．
【答案】（1），；（2）上为增函数，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数有可得，再由可得；
（2）根据函数单调性定义法证明即可.
【详解】（1）∵是奇函数，
∴．
即，
比较得，.
又，
∴，
解得，
即实数和的值分别是2和0.
（2）函数在上为增函数．
证明如下：由（1）知，
设，
则，
，，，
∴，
∴，
即函数在上为增函数．
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，函数单调性的定义法证明，属于中档题.
21．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.
(1)求实数的值；
(2)将图像上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍，再将图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图像，请写出函数的表达式；
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用指数函数恒过定点在对数函数上，列式求解即可；
（2）根据平移变换法则即可求解新函数解析式；
（3）利用对数函数的单调性解对数函数不等式即可.
【详解】（1）因为函数的图像恒过定点，
且点又在函数的图像上，
所以，所以，又，所以；
（2）由（1）知，将图像上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍，
得，再将图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
得到函数的图像，则；
（3）即，因为函数在上单调递增，
所以，解得，所以不等式的解集为.
22．已知曲线的参数方程为 （为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程.
(1)求、的直角坐标方程；
(2)若曲线与曲线、曲线分别交于A，B两点，点 ，求的面积.
【答案】(1)；.
(2)
【分析】（1）消去参数，得到曲线的直角坐标方程，结合直角坐标与极坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程；
（2）利用极坐标公式，求得曲线的极坐标方程，利用极坐标方程求得点的坐标，结合，结合三角形的面积，即可求解.
【详解】（1）解：由曲线的参数方程为 （为参数），可得 ，
两式相减，可得，
又，当且仅当，即时，等号成立，
所以的直角坐标方程为，
因为曲线的极坐标方程，可得，
由，代入可得，即曲线的直角坐标方程为.
（2）解：由曲线的直角坐标方程为，
可得曲线的极坐标方程为，即，
又由，可得，解得，即，
由，可得，所以，
又由点，如图所示，
所以的面积为
,
.
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分类讨论法去掉绝对值，即可求出不等式的解集；
（2）恒成立等价于恒成立，求出的最小值，然后解不等式即可.
【详解】（1）因为
所以等价于或或，
解得或或，
所以或，
所以不等式的解集为．
（2）由（1）可知当时，有最小值，且为，
所以恒成立等价于恒成立，
所以，解得，
即实数的取值范围为．