山东省枣庄市薛城区五校2022-2023学年下学期（3月份）八年级月考数学试卷

这是一份山东省枣庄市薛城区五校2022-2023学年下学期（3月份）八年级月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省枣庄市薛城区五校八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（12小题，每题3分，共36分）
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　）
A．+1＞2 B．x2＞9 C．2x+y≤5 D．＜0
2．等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．7 B．3 C．7或3 D．5
3．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+1 D．m2a＞m2b
4．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，BC＝7，则△ACP的周长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．14
5．下列说法错误的是（　　）
A．不等式5x﹣10＞0的解是3
B．3是不等式5x﹣10＞0的解
C．不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2
D．x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集
6．下列命题中是真命题的有（　　）
①对顶角相等；
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
③一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等；
④三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（　　）

A．2 B． C． D．
8．小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（　　）
A．5x+2（30﹣x）＜100 B．5x+2（30﹣x）≤100
C．5x+2（30﹣x）≥100 D．5x+2（30﹣x）＞100
9．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（　　）

A．2 B．5 C．7 D．9
10．在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
11．如图，在纸片△ABC中，AC＝6，∠A＝30°，∠C＝90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．无法确定
12．如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F（点E不与A，B重合），给出以下五个结论中正确的有（　　）
①△PFA≌△PEB；
②EF＝AP；
③△PEF是等腰直角三角形；
④S四边形AEPF＝S△ABC
⑤BE+CF＝EF；

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（6小题，每题4分，共24分）
13．若关于x的不等式（a﹣3）x≥a﹣3的解集是x≤1，则a的取值范围是 　 　．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为 　 　．
15．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞1，则k的取值范围是 　 　．
16．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　．

17．在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a﹣3b．如：1⊕5＝2×1﹣3×5＝﹣13．则不等式x⊕4＜0的非负整数解是 　 　．
18．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 　 　．

三、简答题（7小题，共60分）
19．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）2x+9≥﹣3（x+2）；
（2）．
20．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 　 　，射线AE是∠DAC的 　 　；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

21．如图，△ABC为等边三角形，点E、D分别为AB、AC上一点，且BE＝AD，CE、BD相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求∠EOB的度数．

22．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）如图①，若BD＝CD，求证：BE＝CF；
（2）如图②，连接EF，求证：AD垂直平分EF．

23．在“抗击疫情”期间，我县教育局工会号召广大师生积极开展“献爱心捐款”活动，某学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品120件、B种物品90件，共需2280元；如果购买A种物品90件、B种物品60件，共需1680元．
（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种防疫物品共1200件，总费用不超过14000元，那么A种防疫物品最多能购买多少件？
24．已知Rt△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°．点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，连接CE．

（1）【发现问题】如图1，当点D在边BC上时．
①请写出BD和CE之间的数量关系：　 　，直线BD和CE的位置关系：　 　；
②线段CE+CD　 　BC（填“＞”，“＝”，“＜”）；
（2）【尝试探究】如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BC、CE、CD之间存在的数量关系是：　 　；并写出证明过程．
（3）【拓展延伸】如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝4，CE＝2，求线段CD的长．


参考答案
一、选择题（12小题，每题3分，共36分）
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　）
A．+1＞2 B．x2＞9 C．2x+y≤5 D．＜0
【分析】主要依据一元一次不等式的定义进行辨别．含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫一元一次不等式．
解：A分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式；B是一元二次不等式；C是二元一次不等式．所以只有D正确，故选D．
【点评】本题考查一元一次不等式的识别．
2．等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．7 B．3 C．7或3 D．5
【分析】分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案．
解：若腰长为3，则底边长为：13﹣3﹣3＝7，
∵3+3＜7，
∴不能组成三角形，舍去；
若底边长为3，则腰长为：（13﹣3）÷2＝5；
∴该等腰三角形的腰长为5．
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键．
3．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+1 D．m2a＞m2b
【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答．
解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意；
C、∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴2a+1＜2b+1；故C成立，不符合题意；
D、∵a＜b，m2≥0，
∴m2a≤m2b，故D不成立，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，BC＝7，则△ACP的周长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．14
【分析】利用基本作图得到DE垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，然后利用等线段代换得到△ACP的周长＝BC+AC．
解：由作法得DE垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∴△ACP的周长＝PA+PC+AC＝PB+PC+AC＝BC+AC＝7+3＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
5．下列说法错误的是（　　）
A．不等式5x﹣10＞0的解是3
B．3是不等式5x﹣10＞0的解
C．不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2
D．x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集
【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．
解：A、3是不等式5x﹣10＞0的解，但是不等式5x﹣10＞0的解集不是3，故本选项错误，符合题意；
B、3是不等式5x﹣10＞0的解，说法正确，故本选项不符合题意；
C、不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2，说法正确，故本选项不符合题意；
D、x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集，说法正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．
6．下列命题中是真命题的有（　　）
①对顶角相等；
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
③一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等；
④三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据对顶角的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定，角平分线的性质判断即可．
解：①对顶角相等，是真命题，符合题意；
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题，符合题意；
③一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等，是真命题，符合题意；
④三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离都相等，是假命题，不符合题意；．
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．如图，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．
解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，
则AD＝CD＝1，
在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，
则BD＝，
故AB＝AD+BD＝+1．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质．
8．小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（　　）
A．5x+2（30﹣x）＜100 B．5x+2（30﹣x）≤100
C．5x+2（30﹣x）≥100 D．5x+2（30﹣x）＞100
【分析】根据题意分别表示出笔记本和钢笔总钱数进而得出答案．
解：设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是5x+2（30﹣x）≤100．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出总钱数是解题关键．
9．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（　　）

A．2 B．5 C．7 D．9
【分析】根据垂直的定义得到∠AEC＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝2，CD＝AE＝7，
∴DE＝CD﹣CE＝7﹣2＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．
10．在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
解：①当∠A+∠B+∠C＝180°时，不能判定△ABC是直角三角形，
故本小题不符合题意；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小题不符合题意；
④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，故3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
⑤∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是②④⑤共3个．
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
11．如图，在纸片△ABC中，AC＝6，∠A＝30°，∠C＝90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．无法确定
【分析】首先根据直角三角形的性质求出斜边AB的长度，进而求出AD的长度；再次利用直角三角形的边角关系即可求出DE的长度．
解：将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，∠ADE＝∠BDE＝90°，AD＝BD；
∵AC＝6，∠A＝30°，∠C＝90°，
∴AB＝2BC（设BC为x），
由勾股定理得：（2x）2＝x2+62，
解得：x＝2（负值舍去），
∴AD＝BD＝2，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴AE＝2DE，DE2+AD2＝AE2，
∴DE2+（2）2＝（2DE）2，
∴DE＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12．如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F（点E不与A，B重合），给出以下五个结论中正确的有（　　）
①△PFA≌△PEB；
②EF＝AP；
③△PEF是等腰直角三角形；
④S四边形AEPF＝S△ABC
⑤BE+CF＝EF；

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，得出△APF≌△BPE，再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP＝BC＝PB，∠B＝∠CAP＝45°，
∵∠APF+∠FPA＝90°，∠APF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠APF，
在△BPE和△APF中，
，
∴△PFA≌△PEB（ASA），即结论①正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP＝BC，
又∵EF不一定是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故结论②错误；
∵△PFA≌△PEB，
∴PE＝PF，
又∵∠EPF＝90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，故结论③正确；
∵△PFA≌△PEB，
∴S△PFA＝S△PEB，
∴S四边形AEPF＝S△APE+S△APF＝S△APE+S△BPE＝S△APB＝S△ABC，故结论④正确；
又在Rt△PEF和Rt△AEF中，
EF2＝PE2+PF2＝AE2+AF2，
∴PF2﹣AF2＝AE2﹣PE2，
∴故⑤错误；
故选：C．
【点评】本题以旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定及性质，三角形的中位线定理等，综合性较强．根据题意得出△APF≌△BPE是解答此题的关键环节．
二、填空题（6小题，每题4分，共24分）
13．若关于x的不等式（a﹣3）x≥a﹣3的解集是x≤1，则a的取值范围是 　a＜3　．
【分析】根据已知解集得到a﹣3＜0，即可确定出a的范围．
解：∵不等式（a﹣3）x≥a﹣3的解集为x≤1，
∴a﹣3＜0，
解得：a＜3．
故答案为：a＜3．
【点评】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为 　75°或30°　．
【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝60°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝60°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAC＝180°﹣∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°；
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或30°．
故答案为：75°或30°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
15．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞1，则k的取值范围是 　k＞4　．
【分析】将两个二元一次方程相加，得到x+y的值，根据x+y＞1，求出k的取值范围即可．
解：，
①+②得：3x+3y＝2k﹣1﹣4，
即：；
∵x+y＞1，
∴，解得：k＞4；
故答案为：k＞4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式及二元一次方程组的解，求参数的取值范围，熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　8　．

【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积．
解：作EF⊥BC交BC于点F，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥BA，
∵BE平分∠ABC，
∴DE＝EF，
∵DE＝2，
∴EF＝2，
∵BC＝8，
∴S△BCE＝＝＝8，
故答案为：8．

【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．
17．在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a﹣3b．如：1⊕5＝2×1﹣3×5＝﹣13．则不等式x⊕4＜0的非负整数解是 　0、1、2、3、4、5　．
【分析】根据新定义运算，列出不等式，然后解不等式，即可得到该不等式的非负整数解．
解：∵a⊕b＝2a﹣3b，
∴x⊕4＝2x﹣12，
不等式x⊕4＜0即为：2x﹣12＜0，
解得x＜6，
∴不等式x⊕4＜0的非负整数解是0、1、2、3、4、5．
故答案为：0、1、2、3、4、5．
【点评】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，求不等式的非负整数解，根据新定义得出不等式是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 　或或4　．

【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再分三类：当AB＝AP时，当BA＝BP时，当PA＝PB时，分别进行讨论即可得到答案．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：，∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，如图所示，
，
则BP＝2BC＝16cm，
即t＝16÷4＝4s，
当BA＝BP＝10cm时，如图所示，
，
则，
当PA＝PB时，如图所示，设PA＝PB＝x，则PC＝8﹣x，
，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，
即（8﹣x）2+62＝x2，
解得，∴，
综上所述：t的值为或或4s，
故答案为：或或4．
【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键．
三、简答题（7小题，共60分）
19．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）2x+9≥﹣3（x+2）；
（2）．
【分析】（1）先根据去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）根据去分母，去括号移项，合并，系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可．
解：（1）去括号得：2x+9≥﹣3x﹣6，
移项得：2x+3x≥﹣6﹣9，
合并得：5x≥﹣15，
系数化为1得：x≥﹣3，
数轴表示如下所示：
；
（2）去分母得：2（2x﹣1）﹣（5x﹣1）＜4，
去括号得：4x﹣2﹣5x+1＜4，
移项得：4x﹣5x＜4+2﹣1，
合并得：﹣x＜5，
系数化为1得：x＞﹣5，
数轴表示如下所示：
．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 　垂直平分线　，射线AE是∠DAC的 　角平分线　；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

【分析】（1）根据作图痕迹判断即可．
（2）想办法求出∠CAD，可得结论．
解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的 角平分线．
故答案为：垂直平分线，角平分线．

（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝40°，
∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAD＝25°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
21．如图，△ABC为等边三角形，点E、D分别为AB、AC上一点，且BE＝AD，CE、BD相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求∠EOB的度数．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△BCE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠BCE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠ABD＝∠BCE，
∴∠BOE＝∠BCE+∠CBE＝∠ABD+∠CBE＝∠ABC＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）如图①，若BD＝CD，求证：BE＝CF；
（2）如图②，连接EF，求证：AD垂直平分EF．

【分析】（1）先利用角平分线的性质得到DE＝DF，再证明Rt△BED≌Rt△CFD即可证明BE＝CF；
（2）由（1）得点D在EF的垂直平分线上．再证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE＝AF，则点A在EF的垂直平分线上．即可证明AD垂直平分EF．
【解答】证明：（1）∵AD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）由（1）知，点D在EF的垂直平分线上．
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴点A在EF的垂直平分线上．
∴AD垂直平分EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，熟知利用HL证明三角形全等是解题的关键．
23．在“抗击疫情”期间，我县教育局工会号召广大师生积极开展“献爱心捐款”活动，某学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品120件、B种物品90件，共需2280元；如果购买A种物品90件、B种物品60件，共需1680元．
（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种防疫物品共1200件，总费用不超过14000元，那么A种防疫物品最多能购买多少件？
【分析】（1）设A、B两种防疫物品每件分别为x、y元，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物品m件，则B种防疫物品购买（1200﹣m），根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过14000元，得到关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
解：（1）设A、B两种防疫物品每件分别为x、y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：A、B两种防疫物品每件分别为16元、4元；
（2）解：设A种防疫物品能购买m件，
根据题意，得：16m+4（1200﹣m）≤14000，
解得，
答：A种防疫物品最多能购买766件．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，找出关于m的一元一次不等式
24．已知Rt△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°．点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，连接CE．

（1）【发现问题】如图1，当点D在边BC上时．
①请写出BD和CE之间的数量关系：　相等　，直线BD和CE的位置关系：　垂直　；
②线段CE+CD　　BC（填“＞”，“＝”，“＜”）；
（2）【尝试探究】如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BC、CE、CD之间存在的数量关系是：　CE＝AC+CD　；并写出证明过程．
（3）【拓展延伸】如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝4，CE＝2，求线段CD的长．
【分析】（1）①根据AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，证△BAD≌△CAF，推出CE＝BD，CE⊥BD即可；
②结论：CE+CE＝AC．由△ABC是等腰直角三角形，得到BC＝AC，BC＝BD+CD，由此即可得出结论；
（2）结论：CE＝AC+CD，如图2中，先证明△BAD≌△CAE，推出BD＝CE即可，再根据等腰直角三角形性质即可解决问题．
（3）根据SAS证△BAD≌△CAE，推出CE＝BD即可，由此即可解决问题．
解：（1）①如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠ECB＝90°，
∴BD⊥CE．
故答案为：相等，垂直；
②结论：CE+CE＝AC．
理由：由①得BD＝CE，
∴BC＝AC，
∵BC＝BD+CD＝CE+CD，
∴CE+CD＝AC．
故答案为：；

（2）如图2中，存在数量关系为：CE＝AC+CD；
理由：在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
在等腰直角三角形ABC中，
BC＝AC，
∴BD＝BC+CD＝AC+CD，
∴CE＝AC+CD；

（3）在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CD＝BC+BD＝BC+CE．
∵BC＝4，CE＝2，
∴CD＝6．


【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．