江西省宜春市宜丰中学2023届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

2022-2023（上）初三第一次月考数学试卷

一、单选题（18分）

1．计算：23=（　　）

A．5 B．6 C．8 D．9

2．据国家统计局公布，2015年我国国内生产总值约为676700亿元（人民币），请用科学记数法表示数据“676700亿”，结果是（　　）

A．6.767×105 B．6.676×1012 C．6.676×1013 D．6.676×1014

3．下列计算正确的是(　　)

A． B． C．D．

4．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

5．设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ）

A． B．

C． D．

6．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）

A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9

二、填空题(18分）

7．一个矩形的面积为，若一边长为，则另一边长为___________．

8．化简_____________．

9．已知点P（3﹣m，m）在第二象限，则m的取值范围是____________________．

10．某班一次测验成绩（10分制）如下：10分4人，9分7人，8分14人，7分18人，6分5人，5分2人．则本次测验的中位数是____．

11．如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c．则△GFC的面积是_____________

12．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为____．

三、解答题

13．（1）求值：

（2）解方程：

14．先化简，再求值：，其中x=﹣2．

15．请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．

（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；

（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．

16．小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊）三盏电灯，其中走廊的灯已坏（对应的开关闭合也没有亮）．

（1）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是_______事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是_______事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；

（2）若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．

17．如图，在△ABC中，∠ACB=，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F.

（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；

（2）当∠A=时，求证：四边形ECBF是菱形.

18．如图，已知反比例函(k≠0)的图象经过点(8，-)，直线与反比例函数图象相交于点A和点B(m，4)．

(1)求上述反比例函数和直线的解析式；

(2)当时，请直接写出k的取值范围．

19．如图，在中，，是的平分线，点在上，经过，两点，交于点．

（1）求证：是的切线.

（2）若，，求的长．

20．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．

(1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；

(2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器)

图1　 　   　　　图2　　　 　图3

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；

（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

22．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．

（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

23．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

(1)求a的值和直线AB的函数表达式：

(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．

(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．

1．C

解析：解： 23=8．

故选：C

2．C

解析：解：676700亿；

故选C．

3．C

解析：A．，故该选项错误，不符合题意；  

B．，故该选项错误，不符合题意；

C．，故该选项正确，符合题意；

D．，故该选项错误，不符合题意；

故选C．

4．B

解析：∵函数的图象经过二、四象限，

∴k＜0，

由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，

∴0＞k＞﹣1，

∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，

对称轴为x＝﹣＝， ＜-1，

∴对称轴在﹣1左侧，

∵当x＝0时，y＝k2＜1．

故选B．

5．A

解析：试题分析：由“左加右减”的原则可知，向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：；

由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：．故选A．

考点：二次函数图象与几何变换．

6．D

解析：设小正方形的边长为x，根据图形可得：

∴，

∴S1=x2，

∵

 ∴，

∴S2=S正方形ABCD，

 ∴S2=x2，

∴S1：S2=x2：x2=4：9

故答案为：D

7．．

解析：请在此输入详解！

8．

解析：解：原式

．

故答案为：．

9．m>3.

解析：试题分析：因为点P在第二象限，所以，，解得：

考点：（1）平面直角坐标；（2）解不等式组

10．7.5

解析：解：由题意可知，共50个数据，按从大到小的顺序排列后，中位数是第25,26个数据的平均数，

即： ，

故答案为：7.5．

11．2cm2##2平方厘米

解析：由题意得：cm，，

∴．

∵，

∴cm，

∴cm2．

故答案为：2cm2．

12．6或或

解析：①当BA=BP时，

则AB=BP=BC=6，即线段BC的长为6；

②当AB=AP时，如图1，连接AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=3，

∴BD=DP，

在Rt△AEO中，AE=3，AO=5，

∴OE==4，

∵∠OAE=∠BAD，∠AEO=∠ADB=90°，

∴△AOE∽△ABD，

∴，即，

∴BD=，

∴BD=PD=，即PB=，

∵AB=AP=6，

∴∠ABD=∠APC，

∵∠PAC=∠ADB=90°，

∴△ABD∽△CPA，

∴，即，

∴CP=，

∴BC=BP-CP=-=；

③当PA=PB时，

如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，

∴AF=FB=3，

在Rt△OFB中，OB=5，FB=3，∴OF=4，

∴FP=9，

∵∠PAF=∠ABP=∠CBG，∠AFP=∠CGB=90°，

∴△PFB∽△CGB，

∴，

设BG=t，则CG=3t，

∵∠PAF=∠ACG，∠AFP=∠AGC=90°，

∴△APF∽△CAG，

∴，

∴，

解得t=，

∴BG=，CG=，

在Rt△BCG中，BC=，

综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为6或或；

故答案为6或或．

13．（1）（2），

解析：解：（1）；

（2），

因式分解得:,

所以，．

14．，

解析：解：原式=     

=

=，                     

当时，

原式=；

15．（1）作图见解析；（2）作图见解析.

解析：（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；

（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．

16．（1）随机；不可能；（2）．

解析：解：（1）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是随机事件；

∵走廊的灯已坏，

∴若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是不可能事件；

故答案为：随机；不可能；

（2）设客厅灯亮了为事件A，楼梯灯亮了为事件B，走廊灯亮了为事件C；则

树状图如下：

∴共有6种结果，其中“客厅灯和楼梯灯亮了”的有2种，

∴P（客厅灯和楼梯灯都亮了）．

17．（1）详见解析；（2）详见解析.

解析：解：（1）证明：∵D，E分别为边AC，AB的中点，

∴DE∥BC，即EF∥BC．

又∵BF∥CE，

∴四边形ECBF是平行四边形．

（2）证法一：

∵∠ACB=，∠A=，E为AB的中点，

∴，．

∴，

又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形,

∴四边形ECBF是菱形．

证法二：

∵∠ACB=，∠A=，E为AB的中点，

∴，∠ABC=，

∴△是等边三角形，

∴．

又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形,

∴四边形ECBF是菱形．

证法三：

∵E为AB的中点，∠ACB=，∠A=，

∴, ∠ABC=，

∴△是等边三角形，

∴.

又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形,

∴四边形ECBF是菱形．

18．(1)反比例函数解析式为

(2)﹣4＜x＜﹣1或x＞0

解析：（1）解：∵反比例函数(k≠0)的图象经过点(8,﹣)，

∴﹣=，

∴k=﹣4，

∴反比例函数解析式为=﹣．

∵点B(m，4)在反比例函数解析式为=﹣上，

∴4=﹣，

∴m=﹣1，

又B(﹣1,4)在=x+b上，

∴4=﹣1+b，

∴b=5，

∴直线的解析式为=x+5．

（2）解：联立两函数解析式，得

，

解得：，，

∴A(-4，1)，

由图象可知，当时x的取值范围﹣4＜x＜﹣1或x＞0．

19．（1）见解析；（2）BE=3.2.

解析：（1）如图，连接，

∵经过，两点，

∴，

∴，

∵是的平分线，

∴.

∴，

∴，

∵，即，

∴，

∵是的半径，

∴是的切线.

（2）解：设的半径为，

在中，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

过作于点，则，

∴，

∴，

∴，

∴由垂径定理得：.

20．(1)平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°

(2)台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°

解析：（1）解：由题意得，cm，，

 ∴

∴

∴平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°．

（2）解：如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°．

21．（1）10-15；（2）t=或t=；（3）t=2.5；最小值为

解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，

∴，

由题意知，，，

由BM=BN得

解得：

（2）①当△MBN∽△ABC时，

 ∴，即，

解得：

②当△NBM∽△ABC时，

 ∴， 即，

解得：．

∴当或时，△MBN与△ABC相似．

（3）过M作MD⊥BC于点D，可得：，设四边形ACNM的面积为y，

∴

．

∴根据二次函数的性质可知，当时，y的值最小．

此时，

22．（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.

解析：（1）∵DE∥BC，

∴，

∵AB=AC，

∴DB=EC，

故答案为=，

（2）成立．

证明：由①易知AD=AE，

∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，

又∵AD=AE，AB=AC

∴△DAB≌△EAC，

∴DB=CE，

（3）如图，

将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，

∴△CPB≌△CEA，

∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，

∴∠CEP=∠CPE=45°，

在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，

在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，

∵PE2+AE2=AP2，

∴△PEA是直角三角形

∴∠PEA=90°，

∴∠CEA=135°，

又∵△CPB≌△CEA

∴∠BPC=∠CEA=135°．

23．(1)a=-．直线AB解析式为y=-x+3；

(2)2

(3)

解析：（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，

∴（x+1）（ax+3）=0，

∴x=-1或-，

∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），

∴-=4，

∴a=-．

∵A（4，0），B（0，3），

设直线AB解析式为y=kx+b，则，

解得，

∴直线AB解析式为y=-x+3；

（2）如图1，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN=∠AEN，

∵∠PNM=∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，

∵

∴，

∵NE∥OB，

∴，

∴，

∵抛物线解析式为，

∴，

∴，

解得m=2或4，

经检验x=4是分式方程的增根，

∴m=2；

（3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．

∵OE′=2，OM′•OB=，

∴OE′2=OM′•OB，

∴，

∵∠BOE′=∠M′OE′，

∴△M′OE′∽△E′OB，

∴，

∴，

∴，此时最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），

最小值．