2022-2023学年北京市海淀区高二下学期学业水平调研（期末）数学试题含答案

2022-2023学年北京市海淀区高二下学期学业水平调研（期末）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直接根据交集的定义计算即可.

【详解】由题意，，则.

故选：B

2．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.

【详解】为,

故选：C

3．已知为等比数列，公比，则（    ）

A．81 B．27 C．32 D．16

【答案】A

【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.

【详解】根据可得，所以或，

若，则不符合要求，

若，则符合要求，故，

故选：A

4．下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解.

【详解】对于A，在上的平均变化率为，

对于B，在上的平均变化率为，

对于C, 在上的平均变化率为，

对于D，在上的平均变化率为，

由于，故在上的平均变化率最大，

故选：B

5．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.

【详解】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误，

对于B，由于，所以，又为单调递增函数，所以，故B错误，

对于C，若，显然满足，，故C错误，

对于D，若，则，函数在上单调递增，所以，

当，则，函数在上单调递增，所以，

当，则，综上可知D正确 ，

故选：D

6．已知函数，则的值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】由基本函数的求导公式以及求导法则求导，即可代入求值.

【详解】，所以，

故选：B

7．从这本不同的文学读物中选出本分给甲、乙、丙名学生（每人一本）．如果甲不得读物，则不同的分法种数为（    ）

A．24 B．18 C．6 D．4

【答案】B

【分析】按照读物是否被选出来进行分类讨论即可.

【详解】若读物没被选出，则选出的读物直接全排列分给人，有种方法；

若读物被选出，然后选其他的读物，有种，甲有种读物可选，其余两本书全排列分给乙丙有种方法，共种.

故一共有种.

故选：B

8．已知等差数列的前项和为，公差为，则“有最大值”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据等差数列项的符号特点和前项和最值的关系进行分析.

【详解】若，

当时，则等差数列从第二项开始都是负数，显然取到最大值，

当，则等差数列的项必然先正后负，不妨设，则取到最大值，故可以推出有最大值；

若有最大值，

当时，，若，则取到最大值,充分性不成立.

于是“有最大值”是“”的必要不充分条件.

故选：B

9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据组合数的计算，结合古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】从8名候选人中选4名同学，共有种选择，

甲班有3名候选人，非甲班有5名候选人，故甲班恰有2名同学被选中的个数有，

所以概率为，

故选：C

10．已知函数．若函数有三个极值点，且，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据极值点的条件，先可推出的关系，然后根据二次函数根的分布知识求出的范围，最后利用韦达定理求解.

【详解】，则，

由题意，得到，从而，

而，

故，令，

由，

于是有两个根，满足，

注意到二次函数开口向上，对称轴为，故，

解得，于是有两个根，满足，根据韦达定理，.

故选：D

二、填空题

11．在的展开式中，的系数为        ．（用数字作答）

【答案】

【分析】利用二项展开式的通项求解.

【详解】展开式的通项为：，，

由题意，取，.

故答案为：

12．不等式的解集是        ．

【答案】或.

【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可.

【详解】等价于，即，等价于，解得：或.

即不等式的解集是或.

故答案为：或.

13．已知函数在上是增函数，则的取值范围是        ．

【答案】

【分析】将单调性转化为在上恒成立，构造函数利用导数求解最值即可求解.

【详解】由题意可知在上恒成立，所以在上恒成立，

记，

当单调递增，当单调递减，故当取极小值也是最小值，且，

故，即，所以，

故答案为：

14．随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为        万条时，该软件能获得最高收益．

【答案】19

【分析】由结合导数得出答案.

【详解】设收益为元，则，.

当时，；当时，.

即函数在上单调递增，在上单调递减.

即当收集的数据量为万条时，该软件能获得最高收益．

故答案为：19

15．已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．给出下列四个结论：

①；

②为递增数列；

③若，则的取值范围是；

④，使得当时，总有．

其中所有正确结论的序号是        ．

【答案】①③④

【分析】根据的递推关系可得，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得，即可结合选项求解.

【详解】由得，相减可得，

由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，

对于①，，故正确；

对于②，由于，，无法确定的大小关系，所以无法确定为递增数列；故错误，

对于③，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以，

若，则需要，则的取值范围是；故正确，

对于④，若，则，只要足够大，一定会有 ，此时时，

此时只需要,即，所以存在，当且比大的正整数时，

此时时，总有，故正确

故答案为：①③④

【点睛】本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．

三、解答题

16．已知等差数列前项和为，满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若等比数列前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解；

（2）根据等比数列的基本量计算，等差等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解.

【详解】（1）设等差首项和公差分别为，

由得，

所以；

（2）设等比首项和公差分别为，

若选①②，由得；

由得，

所以公比为，故，

故，

故；

若选②③，

由可知公比不为1，所以，

由得，

所以，

故，

故；

若选①③，由可知公比不为1，所以，

由得；

所以，

故，

故.

17．某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：

(1)若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；

(2)若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，为这3件产品的利润总额．

①求X的分布列；

②直接写出Y的数学期望．

【答案】(1)

(2)①分布列略；②

【分析】（1）利用乘法公式得出所求概率；

（2）①由得出X的分布列；②先得出Y的分布列，进而得出数学期望．

【详解】（1）记表示“第件产品是一等品”；

记表示“第件产品是二等品”；

记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”；

此时，易知，

则；

（2）①若从流水线上随机抽取3件产品，则的所有可能取值为，

此时；；

；；

所以的分布列如下：

②由①可得，的分布列如下：

则.

18．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的零点个数；

(3)若对任意的，都有，求实数的最大值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）当时，求得，得到且，即可求得切线方程；

（2）当时，求得，求得函数的单调性与最小值，即可得到函数的零点个数；

（3）转化为任意的，不等式 成立，令，求得，结合，要使得恒成立，则满足，得到，根据，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.

【详解】（1）解：当时，函数，可得，

所以且，即切线的斜率为且切点坐标为，

所以切线方程为，即.

（2）解：当时，函数，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，也为最小值，

所以，所以函数没有零点，即函数的零点个数为.

（3）解：由对任意的，都有成立，即成立，

令，可得，

因为，要使得恒成立，则满足，即，

下面证明：当时，符合题意，

此时，令，

可得，所以为单调递减函数，

因为，所以，即

所以恒成立，

即当时，对任意的，都有成立，

综上可得，实数的取值范围为.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

19．给定整数，对于数列定义数列如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记．

(1)若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列；

(2)求证：若，则有；

(3)若，常数使得恒成立，求的最大值．

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据题意，逐项计算，即可求得数列；

（2）由时，可得，当且仅当时等号成立，结合，即可得证；

（3）不妨设，当，得到取任意实数都满足条件；当时，转化为，假设，求得，结合，即可求解.

【详解】（1）解：根据题意，若数列为，

可得，即数列为：；

若数列为，

可得，即数列为：.

（2）证明：由题设条件知，若时，可得，

当且仅当时，等号成立，

所以，

所以当，则成立.

（3）解：不妨设，

若，因为，所以，此时显然取任意实数都满足条件；

下面设，则的充分必要条件时，

假设，

因为，所以，

当时，由，

所以 ，

当时，有，

仍然有成立，所以，

因为，所以，

所以，取，所以，

所以的最大值为.