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高一下学期数学微专题25讲 17.轨迹与截线型动态问题
展开4.定长型动态问题
对于定长型动点问题,即空间中动点满足到某个定点的距离为定值,其实由球的定义可知,动点的轨迹即以定点为球心,定长为半径的球.另一方面动点会在某个其他平面上运动,所以,这实际就是一个球的截线问题. 处理这样问题的关键点有两个:第一,找到球在这个面的边界点(利用已知数据计算),第二,找到这个截面的外接圆圆心,其利用球的截面性质来算,做到上述两点,这个问题就基本上能够解决!当然,坐标法也是一个不错的手段,等会例题中将会体现.
一.典例分析
例1.(2020新高考1卷)已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.
解析:如图:
解析:取的中点为,的中点为,的中点为,因为60°,直四棱柱的棱长均为2,所以△为等边三角形,所以,
<找到球在这个面的边界点(利用已知数据计算)>.
,又四棱柱为直四棱柱,所以平面,所以,因为,所以侧面,设为侧面与球面的交线上的点,则,因为球的半径为,,所以,所以侧面与球面的交线上的点到的距离为,因为,所以侧面与球面的交线是扇形的弧,因为,所以,所以根据弧长公式可得. 故答案为:.
其实,相关问题亦可用向量法来解决,下面我们看一下相关例子.
例2.已知正方体的棱长为,过顶点的平面为,点是平面内的动点,,则点的轨迹长度等于( )
A. B. C. D.
解析:如图建立空间直角坐标系,则,,,,
所以,,,设平面的法向量为,则,令,则,所以点到平面的距离,设点在平面的射影为,即,又,所以,是边长为的等边三角形,其内切圆半径为,所以为以为圆心,半径的圆上,
所以点的轨迹长度为;故选:B
注:此题亦可用几何法算得,球与面的边界点分别是的中点,三角形的外接圆圆心为其中心.
例3. 在四棱锥中,面四边形是边长为的正方形,且.若点分别为的中点,则直线被四棱锥的外接球所截得的线段长为_____.
解法1. 如图所示:因为面四边形是正方形,
所以均为以为斜边的直角三角形,所以外接球的球心O为PC的中点,则 ,
取EF的中点G,因为,
所以 ,则,所以,
所以球心到直线的距离为,所以,
所以所截得的线段长为,故答案为:.
这个几何证法可以让很多学生望洋兴叹,下来我们再尝试用例1所总结的向量方法来计算. 即计算球心与截线上两个特殊点所构成的的高线长.
解法2.以为原点,所在直线分别为轴,所需各点坐标为,则,则为边长是的等边三角形,则点到直线的距离,最后所截得的线段长为.
两个方法,高低立现,所以我们在处理一些立体几何的选题压轴题时,多去尝试用向量的方法来解决可以着实提高很多学生的解题能力.
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