高一下学期数学微专题25讲 15.动态问题中的空间位置与最值关系

动态问题中的空间位置与最值关系

这类问题的特征是空间几何体上的动点在运动过程中始终保持与某一固定的几何结构如固定的线段或者固定的平面垂直或者平行，或者动点到某个定点的距离为定值. 在这样的约束条件下，看似毫无规律的动点运动将会有迹可循，从而为我们后续进一步的讨论打下基础.

需要注意的是，在上述约束条件的翻译过程中，几何法和坐标法均可适用，所以不必拘泥于哪种方法，重要的是将约束条件准确翻译，从而找到动点实际的运动踪迹.

一．典例分析

例1．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（       ）

A． B． C． D．

解析：由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，

作图如下：

在正方体中，易知，，，则共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，当平面时，平面，正方体的棱长为，在中，，解得，同理，在中，，解得，

则中边上的高，即，故选：D.

例2．若点是棱长为2的正方体表面上的动点，点是棱的中点，，则线段长度的最大值为（     ）

A． B． C．3 D．

解析：分别取，中点，，连接，，，首先与平行且相等，与平行且相等，因此与平行且相等，

四边形是平行四边形，在同一平面内，易得，，所以，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.

而，则平面，所以点轨迹是矩形（除点）.四边形是矩形，当与重合时，最大，且最大值为.故选：C.