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高中人教A版 (2019)6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理集体备课课件ppt
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这是一份高中人教A版 (2019)6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理集体备课课件ppt，共55页。PPT课件主要包含了问题引入，分类加法计数原理，探究新知，A大学，B大学，典型例题，例题讲解，N5+49，答Nm+n+k，分步乘法计数原理等内容，欢迎下载使用。
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析: 因为大写英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36个不同的号码.
从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车或乘轮船.其中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法?
分析: 从甲地到乙地可以乘火车（4班）、乘汽车（2班）、乘轮船（3班），所以从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种不同的方法.
思考：你能说出上述两个问题有什么共同特征吗？
回答：要完成上述两件事情（给座位编号、从甲地到乙地），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以独立完成需求.
思考：你能举出生活中类似的例子吗？
一个班学生站成一排照相，有多少不同的站法.
学校食堂打菜，总共5个菜，每人选3个不同的菜，有多少种不同的选择.
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：
每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情.
N= m+n 种不同的方法
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能独立完成这件事.( )
例题1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
生物学化学医学物理学工程学
数学会计学信息技术学法学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数
思考：如果完成一件事有三类不同方案，每类方案中又分别有m,n,k种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
思考：如果完成一件事有n类不同方案. 在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？
答：N=m1+m2+……+mn
用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，...， A9 ，B1，B2，...的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
思考：该问题与前一个问题有什么区别？
答：该问题中，要完成编号，既要有大写英文字母，又要有阿拉伯数字，只有两者同时存在，才能完成座位编号；上一问题中，只要有英文字母或者数字中的一个即可完成座位编号.
字母 数字 得到的号码A
A1A2A3A4A5A6A7A8A9
解析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54种不同的号码.
思考：你能说出上述问题有什么特征吗？
答：要完成上述事情，既要找出大写英文字母又要找到阿拉伯数字，然后结合这两步才能将这件事最终完成.
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有
只有各个步骤都完成才算做完这件事情.
N= m × n 种不同的方法
(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )
例题2 某班有男生30名，女生24名，从中选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
解：第一步，从30名男生中选出1名，有30种不同选法；第二步，从24名女生中选出1名，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法．
例题3 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
解：从书架上任取1本书，有三种方案：第一种方案从第1层取1本计算机书，有4种方法；第二种方案从第2层取1本文艺书，有3种方法；第三种方案从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种.
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法?
解：分3步完成：第1步，从第1层取,1本计算机书，有4种方法；第2步，从第,2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第,3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种.
两个原理的区别与联系：
三、用两个计数原理解决计数问题的方法归纳
【归纳】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
【提示】（1）有些计数问题既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，此时就要注意综合运用两个计数原理来解决问题.解决这类问题时，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要有明确的分类标准和分步标准.（2）在既需要分类又需要分步的题目中，可以先根据对题意的理解，合理地画出示意图（如树状图）或列出表格，使问题的实质能直观地表示出来.
一、分类加法计数原理的应用
例1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不同的取法？
【解】（方法一）当甲取乙写的贺卡时，分配方案如下：
此时，乙有甲、丙、丁3种取法，若乙确定，则丙丁也确定，故有3种不同的取法.同理，当甲取丙或丁写的贺卡时，也各有3种不同的取法.由分类加法计数原理知，共有3+3+3＝9（种）不同的取法.
（方法二）设甲、乙、丙、丁4个人所写贺卡分别为A，B，C，D，为避免重复或遗漏，甲、乙、丙、丁4个人取贺卡的方案也可以用如图所示的“树状图”来表示.
◆应用分类加法计数原理计数的一般方法1.审题：搞清需要完成的一件事是“什么事”，怎样才算完成这件事.2.分类：看完成这件事是否需要分类，确定一个适合于它的分类标准，将完成这件事的方法进行分类.3. 计数：求出每一类的方法数.4.求和：应用分类加法计数原理计数求和.
【注意】在运用分类加法计数原理进行分类时应满足：完成这件事情的任何一种方法必须属于且只属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，即“类”与“类”间有“独立性”和“并列性”.
◆分类列举的常用方法1.枚举法：在完成一件事情时，如果方法不是很多，可以列举出来，那么我们就可以一种一种地数，进而确定完成这件事共有多少种方法.2.树状图法：当计数问题涉及的对象数目较多，但又不太多时可采用画树状图的方法，数形结合解决问题.用树状图分析，可以有效地避免结果的重复和遗漏.【注意】画等可能结果的树状图时，需要注意画出的同一级的每一个“枝条”必须是等可能的，这是列举所有等可能结果的保障.要统计最终结果，只要数最后“树梢”上共有几个“果子”即可.本题在审题时要注意是否为有放回摸球.
训练题1.［2020·重庆高二检测］小王有70元钱，现有单价分别为20元和30元的两种商品.若他至少购买1件，则不同的购买方法共有（ ）A.7种 B.8种 C.6种 D.9种2.［2020·福建莆田高二月考］已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定的不同的平面个数为（ ）A.40 B.16 C.13 D.10
3.布袋里有3个除颜色外完全相同的球，其颜色分别是红、黄、蓝.试验：（1）从中先摸出一个球，看一下颜色，将它放回布袋，再摸出一个球，看一下颜色.请画出树状图，并写出所有可能的结果.（2）从中先摸出一个球，看一下颜色，不将它放回布袋，再摸出一个球，看一下颜色.请画出树状图，并写出所有可能的结果.
解：（1）树状图如图所示，试验一共有以下9种等可能的结果：红红、红黄、红蓝、黄红、黄黄、黄蓝、蓝红、蓝黄和蓝蓝.
（2）如果第一次摸到红球，由于不再把它放回，因此第二次摸时只能从黄、蓝两个球中摸一个.同样，如果第一次摸到其他球，第二次摸都只有两种可能.树状图如图所示，试验一共有以下6种等可能的结果：红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红和蓝黄.
（1）从三个班中任选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从（1）班男生、（2）班男生或（3）班女生中任选一名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
4.某校高二共有三个班，各班人数如下表：
解：（1）从三个班中任选一名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案：第一类，从（1）班任选一名学生，有50种不同选法；第二类，从（2）班任选一名学生，有60种不同选法；第三类，从（3）班任选一名学生，有55种不同选法.由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50+60+55＝165（种）.（2）由题设知共有三类不同的方案：第一类，从（1）班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第二类，从（2）班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第三类，从（3）班女生中任选一名学生，有20种不同选法.由分类加法计数原理可知，不同的选法共有N＝30+30+20＝80（种）.
二、分步乘法计数原理的应用
例2 已知集合M＝{-3，-2，-1，0，1，2}，P（a，b）（a，b∈M）表示平面上的点，则：（1）P可表示平面上多少个不同的点？（2）P可表示平面上多少个第二象限的点？（3）P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
【解】（1）确定平面上的点P（a，b）可分两步完成：第一步，确定a的值，共有6种方法；第二步，确定b的值，也有6种方法.根据分步乘法计数原理，得到的平面上的点的个数是6×6＝36.（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a<0，所以有3种方法；第二步，确定b，由于b>0，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到的第二象限点的个数是3×2＝6.（3）点P（a，b）在直线y＝x上的充要条件是a＝b，即a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，故在直线y＝x上的点有6个.结合（1）得不在直线y＝x上的点共有36-6＝30（个）.
◆应用分步乘法计数原理计数的一般方法1.审题：搞清需要完成的一件事是“什么事”，怎样才算完成这件事.2.分步：看完成这件事是否需要分步，确定一个适合于它的分步标准.3.计数：分别求出每一步中的不同方法.4.求积：用分步乘法计数原理求积.◆利用分步乘法计数原理的三个注意点1.要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.2.各步中的方法相互依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.3.对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.
训练题1.［2020·陕西西安高三月考］已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，则方程（x-a）2+（y-b）2＝4可表示不同的圆的个数为（ ）A.7 B.9 C.12 D.162.［2020·重庆长寿中学高二月考］某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有（ ）A.27种 B.36种 C.54种 D.81种
3.［2020·江苏常熟高二月考］要安排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？
解：先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法.同理，第四、五天各有4种排法.由分步乘法计数原理可得，值班表不同的排法共有5× 4×4×4×4＝1 280（种）.
三、两个计数原理的综合应用
例3 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一种，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各1人到边远地区支教，有多少种不同的选法？【解】由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.（方法一）分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则说日语的有2+1＝3（种）选法，此时共有6×3＝18（种）选法；第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则会日语的有2种选法，此时有1×2＝2（种）选法.所以由分类加法计数原理知，共有18+2＝20（种）选法.
（方法二）设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：（1）教英语；（2）教日语.第一类：甲入选.（1）甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2（种）选法；（2）甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6（种）选法.故甲入选的不同选法共有2+6＝8（种）.第二类：甲不入选.可分两步，第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理，有6×2＝12（种）不同的选法.综上，共有8+12＝20（种）不同的选法.
◆应用两个计数原理解决实际问题的一般思路解决较为复杂的计数问题，一般要综合应用两个计数原理，需注意：合理分类，准确分步.即要扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准. （1）分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥（保证不重复）；②总数要完备（保证不遗漏），也就是要确定一个合理的分类标准.（2）分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性.
训练题 1.［2020·湖南师大附中高二期末］某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，若甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ）A.4 B.12 C.16 D.242.［2020·河北衡水高二月考］如图所示，在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有（ ）A.40个 B.30个 C.20个D.10个3.［2020·江苏无锡一中高二期中］若形如“a1a2a3”的三位正整数满足a1>a2且a2
1、元素能重复选取的计数问题例4 （1）5名学生从4项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？（2）若5名学生争夺4项比赛的冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同情况（没有并列冠军）？【解】（1）每名学生都可从4项体育项目中任选1项，有4种选法，故5名学生不同的参赛方法有4×4×4×4×4＝45（种）.（2）每个冠军皆有可能被5名学生中任1名获得，则冠军获得者的不同情况有5×5×5×5＝54（种）.
◆允许元素重复选取的计数问题的解法1.求解允许元素重复选取的计数问题时，先要明确“完成一件事”指的是什么，确定以哪类元素为主，再利用分步乘法计数原理解决.2.解答这类问题，切忌死记公式“mn”（或“nm”），应弄清楚以哪类元素主进行分析，再用分步乘法计数原理来求解.
训练题 ［2020·广东揭阳高二期中］如图所示，有七张卡片.现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回，则这样组成的不同三位数的个数为（ ）A.21 B.48 C.64 D.81
2、元素不能重复选取的计数问题例5 ［2020·江西赣州高二月考］用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的（1）四位整数；（2）比2 000大的四位偶数.【解】（1）分步解决：第一步，千位上的数字有5种选取方法；第二步，百位上的数字有5种选取方法；第三步，十位上的数字有4种选取方法；第四步，个位上的数字有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成的无重复数字的四位整数有5×5×4×3＝300（个）.
（2）（方法一）按个位上的数字是0，2，4分为三类：第一类，个位上的数字是0的有4×4×3＝48（个）；第二类，个位上的数字是2的有3×4×3＝36（个）；第三类，个位上的数字是4的有3×4×3＝36（个）.则由分类加法计数原理知，共有N＝48+36+36＝120（个）无重复数字的比2 000大的四位偶数.（方法二）按千位上的数字是2，3，4，5分四类：第一类，千位上的数字是2的有2×4×3＝24（个）；第二类，千位上的数字是3的有3×4×3＝36（个）；第三类，千位上的数字是4的有2×4×3＝24（个）；第四类，千位上的数字是5的有3×4×3＝36（个）.
则由分类加法计数原理知，共有N＝24+36+24+36＝120（个）无重复数字的比2 000大的四位偶数.
◆解决元素位置有限制的排列问题的两种方法1.先让特殊元素排在没有限制的位置；2.先把没有限制的元素排在有限制的位置.
【注意】解决组数问题时要善于挖掘题目中的限制条件.一般优先处理特殊位置、特殊元素，如果正面不好解决还可采用间接法求解.
训练题 ［2020·甘肃会宁四中高二期中］用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .
3.含有特殊位置或元素的计数问题例6 ［2020·河北张家口高二期中］从4名本县教师和2名客县教师中选出3名教师参加某场考试的监考工作，分别负责核对身份、指纹认定和金属探测仪使用的工作，要求至少有1名客县教师，且要求金属探测仪必须由客县监考教师负责使用，则不同安排方法的种数为（ ）A.24B.40C.60D.120【解析】由题意可先选一名客县教师负责金属探测仪的使用，共2种选法，再从剩余的5人中，选两名监考员，一人负责核对身份，一人负责指纹认证，共5×4＝20（种）选法，所以不同的安排方案共有2×20＝40（种）.【答案】B
◆特殊优先原则1.特殊位置（受限位置）优先的原则；2.特殊元素（受限元素）优先的原则.
训练题 ［2020·河北邢台高二期中］现有太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只能报名参加一项，且甲、乙不能参加同一项，则不同的报名方法种数为 .
例7 如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.【解】（方法一）由题意，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60（种）染色方法.当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1，2，3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.由分类加法计数原理知，当S，A，B颜色确定时，C，D有7种染法.由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420（种）.
（方法二）第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，由于A与S在同一条棱上，所以有4种方法；第三步，B点染色，由于B与S，A分别在同一条棱上，所以有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类.当A与C同色时，D点有3种染色方法，由分步乘法计数原理，有5× 4×3×1×3＝180（种）方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法，再由分步乘法计数原理，有5×4×3×2×2＝240（种）方法.由分类加法计数原理得，不同的染色方法共有180+240＝420（种）.
（方法三）第一类，5种颜色全用，有5×4×3×2×1＝120（种）不同的染色方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C或B与D），共有5×4×3×2+5×4×3×2＝240（种）不同的染色方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，有5×4×3＝60（种）不同的染色方法.由分类加法计数原理得，不同的染色方法共有120+ 240+60＝420（种）.
◆求解涂色问题的方法1.按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算；2.以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算；3.将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题；4.对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.
训练题1.［2020·河南唐河县友兰实验高级中学高二月考］如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A.120种 B.260种 C.340种D.420种2.［2020·四川成都七中高二期中］如图所示，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A.192 B.336 C.600 D.以上答案均不对
1．某同学从3本不同的哲学图书、4本不同的自然科学图书、2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有( )A．24种 B．12种C．9种 D．3种解析：由分类加法计数原理知，不同的选法种数为3＋4＋2＝9.故选C.
2．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可以表示不同的点的个数是( )A．1 B．3C．6 D．9解析：这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步,在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．
3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则不同的行车路线有________种．
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析: 因为大写英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36个不同的号码.
从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车或乘轮船.其中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法?
分析: 从甲地到乙地可以乘火车（4班）、乘汽车（2班）、乘轮船（3班），所以从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种不同的方法.
思考：你能说出上述两个问题有什么共同特征吗？
回答：要完成上述两件事情（给座位编号、从甲地到乙地），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以独立完成需求.
思考：你能举出生活中类似的例子吗？
一个班学生站成一排照相，有多少不同的站法.
学校食堂打菜，总共5个菜，每人选3个不同的菜，有多少种不同的选择.
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：
每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情.
N= m+n 种不同的方法
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能独立完成这件事.( )
例题1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
生物学化学医学物理学工程学
数学会计学信息技术学法学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数
思考：如果完成一件事有三类不同方案，每类方案中又分别有m,n,k种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
思考：如果完成一件事有n类不同方案. 在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？
答：N=m1+m2+……+mn
用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，...， A9 ，B1，B2，...的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
思考：该问题与前一个问题有什么区别？
答：该问题中，要完成编号，既要有大写英文字母，又要有阿拉伯数字，只有两者同时存在，才能完成座位编号；上一问题中，只要有英文字母或者数字中的一个即可完成座位编号.
字母 数字 得到的号码A
A1A2A3A4A5A6A7A8A9
解析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54种不同的号码.
思考：你能说出上述问题有什么特征吗？
答：要完成上述事情，既要找出大写英文字母又要找到阿拉伯数字，然后结合这两步才能将这件事最终完成.
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有
只有各个步骤都完成才算做完这件事情.
N= m × n 种不同的方法
(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )
例题2 某班有男生30名，女生24名，从中选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
解：第一步，从30名男生中选出1名，有30种不同选法；第二步，从24名女生中选出1名，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法．
例题3 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
解：从书架上任取1本书，有三种方案：第一种方案从第1层取1本计算机书，有4种方法；第二种方案从第2层取1本文艺书，有3种方法；第三种方案从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种.
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法?
解：分3步完成：第1步，从第1层取,1本计算机书，有4种方法；第2步，从第,2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第,3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种.
两个原理的区别与联系：
三、用两个计数原理解决计数问题的方法归纳
【归纳】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
【提示】（1）有些计数问题既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，此时就要注意综合运用两个计数原理来解决问题.解决这类问题时，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要有明确的分类标准和分步标准.（2）在既需要分类又需要分步的题目中，可以先根据对题意的理解，合理地画出示意图（如树状图）或列出表格，使问题的实质能直观地表示出来.
一、分类加法计数原理的应用
例1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不同的取法？
【解】（方法一）当甲取乙写的贺卡时，分配方案如下：
此时，乙有甲、丙、丁3种取法，若乙确定，则丙丁也确定，故有3种不同的取法.同理，当甲取丙或丁写的贺卡时，也各有3种不同的取法.由分类加法计数原理知，共有3+3+3＝9（种）不同的取法.
（方法二）设甲、乙、丙、丁4个人所写贺卡分别为A，B，C，D，为避免重复或遗漏，甲、乙、丙、丁4个人取贺卡的方案也可以用如图所示的“树状图”来表示.
◆应用分类加法计数原理计数的一般方法1.审题：搞清需要完成的一件事是“什么事”，怎样才算完成这件事.2.分类：看完成这件事是否需要分类，确定一个适合于它的分类标准，将完成这件事的方法进行分类.3. 计数：求出每一类的方法数.4.求和：应用分类加法计数原理计数求和.
【注意】在运用分类加法计数原理进行分类时应满足：完成这件事情的任何一种方法必须属于且只属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，即“类”与“类”间有“独立性”和“并列性”.
◆分类列举的常用方法1.枚举法：在完成一件事情时，如果方法不是很多，可以列举出来，那么我们就可以一种一种地数，进而确定完成这件事共有多少种方法.2.树状图法：当计数问题涉及的对象数目较多，但又不太多时可采用画树状图的方法，数形结合解决问题.用树状图分析，可以有效地避免结果的重复和遗漏.【注意】画等可能结果的树状图时，需要注意画出的同一级的每一个“枝条”必须是等可能的，这是列举所有等可能结果的保障.要统计最终结果，只要数最后“树梢”上共有几个“果子”即可.本题在审题时要注意是否为有放回摸球.
训练题1.［2020·重庆高二检测］小王有70元钱，现有单价分别为20元和30元的两种商品.若他至少购买1件，则不同的购买方法共有（ ）A.7种 B.8种 C.6种 D.9种2.［2020·福建莆田高二月考］已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定的不同的平面个数为（ ）A.40 B.16 C.13 D.10
3.布袋里有3个除颜色外完全相同的球，其颜色分别是红、黄、蓝.试验：（1）从中先摸出一个球，看一下颜色，将它放回布袋，再摸出一个球，看一下颜色.请画出树状图，并写出所有可能的结果.（2）从中先摸出一个球，看一下颜色，不将它放回布袋，再摸出一个球，看一下颜色.请画出树状图，并写出所有可能的结果.
解：（1）树状图如图所示，试验一共有以下9种等可能的结果：红红、红黄、红蓝、黄红、黄黄、黄蓝、蓝红、蓝黄和蓝蓝.
（2）如果第一次摸到红球，由于不再把它放回，因此第二次摸时只能从黄、蓝两个球中摸一个.同样，如果第一次摸到其他球，第二次摸都只有两种可能.树状图如图所示，试验一共有以下6种等可能的结果：红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红和蓝黄.
（1）从三个班中任选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从（1）班男生、（2）班男生或（3）班女生中任选一名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
4.某校高二共有三个班，各班人数如下表：
解：（1）从三个班中任选一名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案：第一类，从（1）班任选一名学生，有50种不同选法；第二类，从（2）班任选一名学生，有60种不同选法；第三类，从（3）班任选一名学生，有55种不同选法.由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50+60+55＝165（种）.（2）由题设知共有三类不同的方案：第一类，从（1）班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第二类，从（2）班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第三类，从（3）班女生中任选一名学生，有20种不同选法.由分类加法计数原理可知，不同的选法共有N＝30+30+20＝80（种）.
二、分步乘法计数原理的应用
例2 已知集合M＝{-3，-2，-1，0，1，2}，P（a，b）（a，b∈M）表示平面上的点，则：（1）P可表示平面上多少个不同的点？（2）P可表示平面上多少个第二象限的点？（3）P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
【解】（1）确定平面上的点P（a，b）可分两步完成：第一步，确定a的值，共有6种方法；第二步，确定b的值，也有6种方法.根据分步乘法计数原理，得到的平面上的点的个数是6×6＝36.（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a<0，所以有3种方法；第二步，确定b，由于b>0，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到的第二象限点的个数是3×2＝6.（3）点P（a，b）在直线y＝x上的充要条件是a＝b，即a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，故在直线y＝x上的点有6个.结合（1）得不在直线y＝x上的点共有36-6＝30（个）.
◆应用分步乘法计数原理计数的一般方法1.审题：搞清需要完成的一件事是“什么事”，怎样才算完成这件事.2.分步：看完成这件事是否需要分步，确定一个适合于它的分步标准.3.计数：分别求出每一步中的不同方法.4.求积：用分步乘法计数原理求积.◆利用分步乘法计数原理的三个注意点1.要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.2.各步中的方法相互依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.3.对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.
训练题1.［2020·陕西西安高三月考］已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，则方程（x-a）2+（y-b）2＝4可表示不同的圆的个数为（ ）A.7 B.9 C.12 D.162.［2020·重庆长寿中学高二月考］某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有（ ）A.27种 B.36种 C.54种 D.81种
3.［2020·江苏常熟高二月考］要安排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？
解：先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法.同理，第四、五天各有4种排法.由分步乘法计数原理可得，值班表不同的排法共有5× 4×4×4×4＝1 280（种）.
三、两个计数原理的综合应用
例3 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一种，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各1人到边远地区支教，有多少种不同的选法？【解】由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.（方法一）分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则说日语的有2+1＝3（种）选法，此时共有6×3＝18（种）选法；第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则会日语的有2种选法，此时有1×2＝2（种）选法.所以由分类加法计数原理知，共有18+2＝20（种）选法.
（方法二）设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：（1）教英语；（2）教日语.第一类：甲入选.（1）甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2（种）选法；（2）甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6（种）选法.故甲入选的不同选法共有2+6＝8（种）.第二类：甲不入选.可分两步，第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理，有6×2＝12（种）不同的选法.综上，共有8+12＝20（种）不同的选法.
◆应用两个计数原理解决实际问题的一般思路解决较为复杂的计数问题，一般要综合应用两个计数原理，需注意：合理分类，准确分步.即要扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准. （1）分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥（保证不重复）；②总数要完备（保证不遗漏），也就是要确定一个合理的分类标准.（2）分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性.
训练题 1.［2020·湖南师大附中高二期末］某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，若甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ）A.4 B.12 C.16 D.242.［2020·河北衡水高二月考］如图所示，在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有（ ）A.40个 B.30个 C.20个D.10个3.［2020·江苏无锡一中高二期中］若形如“a1a2a3”的三位正整数满足a1>a2且a2
1、元素能重复选取的计数问题例4 （1）5名学生从4项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？（2）若5名学生争夺4项比赛的冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同情况（没有并列冠军）？【解】（1）每名学生都可从4项体育项目中任选1项，有4种选法，故5名学生不同的参赛方法有4×4×4×4×4＝45（种）.（2）每个冠军皆有可能被5名学生中任1名获得，则冠军获得者的不同情况有5×5×5×5＝54（种）.
◆允许元素重复选取的计数问题的解法1.求解允许元素重复选取的计数问题时，先要明确“完成一件事”指的是什么，确定以哪类元素为主，再利用分步乘法计数原理解决.2.解答这类问题，切忌死记公式“mn”（或“nm”），应弄清楚以哪类元素主进行分析，再用分步乘法计数原理来求解.
训练题 ［2020·广东揭阳高二期中］如图所示，有七张卡片.现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回，则这样组成的不同三位数的个数为（ ）A.21 B.48 C.64 D.81
2、元素不能重复选取的计数问题例5 ［2020·江西赣州高二月考］用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的（1）四位整数；（2）比2 000大的四位偶数.【解】（1）分步解决：第一步，千位上的数字有5种选取方法；第二步，百位上的数字有5种选取方法；第三步，十位上的数字有4种选取方法；第四步，个位上的数字有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成的无重复数字的四位整数有5×5×4×3＝300（个）.
（2）（方法一）按个位上的数字是0，2，4分为三类：第一类，个位上的数字是0的有4×4×3＝48（个）；第二类，个位上的数字是2的有3×4×3＝36（个）；第三类，个位上的数字是4的有3×4×3＝36（个）.则由分类加法计数原理知，共有N＝48+36+36＝120（个）无重复数字的比2 000大的四位偶数.（方法二）按千位上的数字是2，3，4，5分四类：第一类，千位上的数字是2的有2×4×3＝24（个）；第二类，千位上的数字是3的有3×4×3＝36（个）；第三类，千位上的数字是4的有2×4×3＝24（个）；第四类，千位上的数字是5的有3×4×3＝36（个）.
则由分类加法计数原理知，共有N＝24+36+24+36＝120（个）无重复数字的比2 000大的四位偶数.
◆解决元素位置有限制的排列问题的两种方法1.先让特殊元素排在没有限制的位置；2.先把没有限制的元素排在有限制的位置.
【注意】解决组数问题时要善于挖掘题目中的限制条件.一般优先处理特殊位置、特殊元素，如果正面不好解决还可采用间接法求解.
训练题 ［2020·甘肃会宁四中高二期中］用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .
3.含有特殊位置或元素的计数问题例6 ［2020·河北张家口高二期中］从4名本县教师和2名客县教师中选出3名教师参加某场考试的监考工作，分别负责核对身份、指纹认定和金属探测仪使用的工作，要求至少有1名客县教师，且要求金属探测仪必须由客县监考教师负责使用，则不同安排方法的种数为（ ）A.24B.40C.60D.120【解析】由题意可先选一名客县教师负责金属探测仪的使用，共2种选法，再从剩余的5人中，选两名监考员，一人负责核对身份，一人负责指纹认证，共5×4＝20（种）选法，所以不同的安排方案共有2×20＝40（种）.【答案】B
◆特殊优先原则1.特殊位置（受限位置）优先的原则；2.特殊元素（受限元素）优先的原则.
训练题 ［2020·河北邢台高二期中］现有太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只能报名参加一项，且甲、乙不能参加同一项，则不同的报名方法种数为 .
例7 如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.【解】（方法一）由题意，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60（种）染色方法.当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1，2，3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.由分类加法计数原理知，当S，A，B颜色确定时，C，D有7种染法.由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420（种）.
（方法二）第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，由于A与S在同一条棱上，所以有4种方法；第三步，B点染色，由于B与S，A分别在同一条棱上，所以有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类.当A与C同色时，D点有3种染色方法，由分步乘法计数原理，有5× 4×3×1×3＝180（种）方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法，再由分步乘法计数原理，有5×4×3×2×2＝240（种）方法.由分类加法计数原理得，不同的染色方法共有180+240＝420（种）.
（方法三）第一类，5种颜色全用，有5×4×3×2×1＝120（种）不同的染色方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C或B与D），共有5×4×3×2+5×4×3×2＝240（种）不同的染色方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，有5×4×3＝60（种）不同的染色方法.由分类加法计数原理得，不同的染色方法共有120+ 240+60＝420（种）.
◆求解涂色问题的方法1.按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算；2.以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算；3.将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题；4.对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.
训练题1.［2020·河南唐河县友兰实验高级中学高二月考］如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A.120种 B.260种 C.340种D.420种2.［2020·四川成都七中高二期中］如图所示，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A.192 B.336 C.600 D.以上答案均不对
1．某同学从3本不同的哲学图书、4本不同的自然科学图书、2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有( )A．24种 B．12种C．9种 D．3种解析：由分类加法计数原理知，不同的选法种数为3＋4＋2＝9.故选C.
2．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可以表示不同的点的个数是( )A．1 B．3C．6 D．9解析：这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步,在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．
3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则不同的行车路线有________种．
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