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新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.7 双曲线
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第8章 §8.7 双曲线，共60页。PPT课件主要包含了§87双曲线，落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数( |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1，F2叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为 .
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 ＝ ，其中θ为∠F1PF2.(5)与双曲线 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为 (t≠0).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.( )(2)方程 (mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )(3)双曲线 (m>0，n>0)的渐近线方程是 .( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( )
1.若双曲线 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A. B.5C. D.2
由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
2.设P是双曲线 上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于A.1 B.17C.1或17 D.以上均不对
根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
3.(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为 的双曲线方程_____________________________________.
(答案不唯一，符合要求就可以)
因此，符合条件的双曲线方程为 (答案不唯一，符合要求就可以).
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.
不妨设点P在双曲线的右支上，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
∴|PF1|·|PF2|＝8，
延伸探究 在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“ ”，则△F1PF2的面积为___.
不妨设点P在线的右支上，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴ ＝ |PF1|·|PF2|＝2.
1.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，
设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1 (1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为 ，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为 ，则双曲线C的实轴长为A.1 B.2 C.3 D.6
由题意知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，
所以a＝1，实轴长2a＝2.
(2)已知F是双曲线 的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为___.
设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小.由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值.又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
(2)若双曲线经过点(3， )，且渐近线方程是 ，则双曲线的标准方程是___________.
1.过双曲线C： (a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为
2.经过点 的双曲线的标准方程为___________.
设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 (λ≠0)，再根据条件求λ的值.
跟踪训练2 (1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程是
例3 (1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 (a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为
(2)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C： (a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为A.4 B.8 C.16 D.32
因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，
所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时等号成立)，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8.
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为
设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，
已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为
点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cs 120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，
又|F1F2|＝2c，
(2)(2022·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为A.(1,2) B.(1,3)C.(3，＋∞) D.(2,3)
在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，
又e>1，所以1
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，
由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝ 转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线 (a>0，b>0)的离心率e＝2，C上的点到其焦点的最短距离为1，则A.双曲线C的焦点坐标为(0，±2)B.双曲线C的渐近线方程为y＝± xC.点(2,3)在双曲线C上D.直线mx－y－m＝0(m∈R)与双曲线C恒有两个交点
KESHIJINGLIAN
1.双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为
2.已知双曲线 (m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为
3.若双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于A.11 B.9 C.5 D.3
方法一 依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9.方法二 根据双曲线的定义，得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|－3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去).
A.双曲线C的实轴长为8B.双曲线C的渐近线方程为y＝C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为
因为a2＝16，所以a＝4,2a＝8，故A正确；因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为
双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝1，故D错误.
6.(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y＝ x，P为C上一点，则以下说法正确的是A.C的实轴长为8B.C的离心率为C.|PF1|－|PF2|＝8D.C的焦距为10
∴双曲线实轴长为2a＝8，
由于P可能在C不同分支上，
则有||PF1|－|PF2||＝8，
∴A，D正确，B，C错误.
7.(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为__________.
8.设双曲线 的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为____.
因为a2＝9，b2＝16，所以c＝5.所以A(3,0)，F(5,0)，
不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∴MF1⊥MF2.设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，由①②得m·n＝8.
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
(1)求双曲线C的标准方程；
a2＋b2＝c2，由①②③可得a2＝5，b2＝4，
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围.
由题意知直线l不过点A.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略).
整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，
化简得10k2＝8－9m，
11.(多选)双曲线C： ＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是
D.|PF|的最小值为2
故C正确；|PF|的最小值即为点F到渐近线的距离，
12.(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: ＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是
又该圆的圆心为(c，0)，
又b2＝c2－a2＝c2－4，则(c2－4)c2<9c2，
13.已知双曲线 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，双曲线的左焦点在直线x＋y＋ ＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围为A.(1，＋∞) B.( ，＋∞) C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
则由a2＋b2＝c2，得a＝2，b＝1，
由题意可得A(－2,0)，B(2,0)，设P(m，n)(m>2，n>0)，
由A，B分l别为双曲线的左、右顶点，可得k1≠k2，则k1＋k2>1.
14.已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|＝ |OP|，则C的渐近线方程为________.
根据双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为原点，以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，
所以在△POF1中，由余弦定理可得
A.双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
D.△OMN的面积为6
16.双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；
设双曲线的半焦距为c，
所以c－a＝a，即c＝2a，所以e＝2.
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
此时∠BFA＝2∠BAF.
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数( |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1，F2叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为 .
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 ＝ ，其中θ为∠F1PF2.(5)与双曲线 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为 (t≠0).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.( )(2)方程 (mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )(3)双曲线 (m>0，n>0)的渐近线方程是 .( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( )
1.若双曲线 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A. B.5C. D.2
由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
2.设P是双曲线 上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于A.1 B.17C.1或17 D.以上均不对
根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
3.(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为 的双曲线方程_____________________________________.
(答案不唯一，符合要求就可以)
因此，符合条件的双曲线方程为 (答案不唯一，符合要求就可以).
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.
不妨设点P在双曲线的右支上，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
∴|PF1|·|PF2|＝8，
延伸探究 在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“ ”，则△F1PF2的面积为___.
不妨设点P在线的右支上，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴ ＝ |PF1|·|PF2|＝2.
1.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，
设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1 (1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为 ，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为 ，则双曲线C的实轴长为A.1 B.2 C.3 D.6
由题意知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，
所以a＝1，实轴长2a＝2.
(2)已知F是双曲线 的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为___.
设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小.由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值.又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
(2)若双曲线经过点(3， )，且渐近线方程是 ，则双曲线的标准方程是___________.
1.过双曲线C： (a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为
2.经过点 的双曲线的标准方程为___________.
设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 (λ≠0)，再根据条件求λ的值.
跟踪训练2 (1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程是
例3 (1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 (a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为
(2)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C： (a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为A.4 B.8 C.16 D.32
因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，
所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时等号成立)，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8.
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为
设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，
已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为
点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cs 120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，
又|F1F2|＝2c，
(2)(2022·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为A.(1,2) B.(1,3)C.(3，＋∞) D.(2,3)
在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，
又e>1，所以1
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，
由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝ 转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线 (a>0，b>0)的离心率e＝2，C上的点到其焦点的最短距离为1，则A.双曲线C的焦点坐标为(0，±2)B.双曲线C的渐近线方程为y＝± xC.点(2,3)在双曲线C上D.直线mx－y－m＝0(m∈R)与双曲线C恒有两个交点
KESHIJINGLIAN
1.双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为
2.已知双曲线 (m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为
3.若双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于A.11 B.9 C.5 D.3
方法一 依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9.方法二 根据双曲线的定义，得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|－3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去).
A.双曲线C的实轴长为8B.双曲线C的渐近线方程为y＝C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为
因为a2＝16，所以a＝4,2a＝8，故A正确；因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为
双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝1，故D错误.
6.(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y＝ x，P为C上一点，则以下说法正确的是A.C的实轴长为8B.C的离心率为C.|PF1|－|PF2|＝8D.C的焦距为10
∴双曲线实轴长为2a＝8，
由于P可能在C不同分支上，
则有||PF1|－|PF2||＝8，
∴A，D正确，B，C错误.
7.(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为__________.
8.设双曲线 的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为____.
因为a2＝9，b2＝16，所以c＝5.所以A(3,0)，F(5,0)，
不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∴MF1⊥MF2.设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，由①②得m·n＝8.
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
(1)求双曲线C的标准方程；
a2＋b2＝c2，由①②③可得a2＝5，b2＝4，
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围.
由题意知直线l不过点A.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略).
整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，
化简得10k2＝8－9m，
11.(多选)双曲线C： ＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是
D.|PF|的最小值为2
故C正确；|PF|的最小值即为点F到渐近线的距离，
12.(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: ＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是
又该圆的圆心为(c，0)，
又b2＝c2－a2＝c2－4，则(c2－4)c2<9c2，
13.已知双曲线 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，双曲线的左焦点在直线x＋y＋ ＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围为A.(1，＋∞) B.( ，＋∞) C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
则由a2＋b2＝c2，得a＝2，b＝1，
由题意可得A(－2,0)，B(2,0)，设P(m，n)(m>2，n>0)，
由A，B分l别为双曲线的左、右顶点，可得k1≠k2，则k1＋k2>1.
14.已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|＝ |OP|，则C的渐近线方程为________.
根据双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为原点，以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，
所以在△POF1中，由余弦定理可得
A.双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
D.△OMN的面积为6
16.双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；
设双曲线的半焦距为c，
所以c－a＝a，即c＝2a，所以e＝2.
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
此时∠BFA＝2∠BAF.
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