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新高考数学一轮复习课件 第1章 §1.4 基本不等式
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第1章 §1.4 基本不等式，共60页。PPT课件主要包含了§14基本不等式，落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.(3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.
2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥ (a，b∈R).(2) ≥ (a，b同号).(3)ab≤ (a，b∈R).(4) ≥ (a，b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.( )
2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是
当ab<0时，D不成立.
3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_____ m2.
设矩形的一边为x m，面积为y m2，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，∴ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2.
TANJIUHEXINTIXING
命题点1 配凑法例1 (1)(2022·长沙模拟)设0
因为x>－1，则x＋1>0，
所以函数的最小值为9.
因为a>0，b>0，且a＋b＝2，
命题点3 消元法例3 (2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____.
方法一 (换元消元法)
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二 (代入消元法)
所以x＋3y的最小值为6.
延伸探究 本例条件不变，求xy的最大值.
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
1.(2022·哈尔滨模拟)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于A.16 D.12
因为x>0，y>0,2x＋8y＝xy，
所以当x＋y取得最小值时，y＝6.
2.已知函数f(x)＝ (x<－1)，则A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值－4
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
故f(x)有最小值4.
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝ ＋x(2x>1)，则f(x)的最小值为___.
令x－1＝m,2y－1＝n，则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为
基本不等式的常见变形应用
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，
对于选项A，因为01，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选项A错误；
对于选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
a2＋b2≥2ab，所以A错误；ab>0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a<0，b<0时，B错误；同时C错误；
跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p：a>b>0，命题q： ，则p是q成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴由p可推出q，当a<0，b<0时，命题q成立，
∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件.
(2)(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是
∵a，b为互不相等的正实数，
例5 小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(0
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以二手车出售后，
所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大.
某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________ cm2.
设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，由题意可得3ab＝60 000，
所以该海报的高为(a＋20)cm，宽为(3b＋10×2＋5×2)cm，即(3b＋30)cm，所以整个矩形海报面积S＝(a＋20)(3b＋30)＝3ab＋30a＋60b＋600
所以当广告栏目的高为200 cm，宽为100 cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm2.
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练3 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－ .已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元.
即最大月利润为37.5万元.
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.
1.(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，
(当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立).2.(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
一、利用柯西不等式求最值例1 已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为______.
当且仅当y＝12x时，等号成立，
例2 已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为______.
(ax＋by＋cz)2≤(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)＝9，∴ax＋by＋cz≤3，当且仅当a＝3x，b＝3y，c＝3z时取“＝”，∴ax＋by＋cz的最大值为3.
二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)· ≥(a1＋a2)2.
当且仅当b1＝b2时，等号成立.
例5 已知a1，a2，…，an都是实数，求证：
KESHIJINGLIAN
1.下列函数中，最小值为2的是
即x2＝－1时取等号，∵x2≠－1，故B错误；
当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0,1)时，y＝lg3x<0，故D错误.
2.(2021·新高考全国Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C： ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13 B.12 C.9 D.6
得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，
4.(2022·重庆模拟)已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是A.1 B.4C.7 D.3＋
∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，
5.已知不等式(x＋y) ≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为A.2 B.4C.6 D.8
即正实数a的最小值为4.
6.(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是A.第一种方案更划算 B.第二种方案更划算C.两种方案一样 D.无法确定
设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则方案一：两次加油平均价格为
方案二：两次加油平均价格为
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.
7.(多选)(2022·重庆渝中区模拟)已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式成立的有
当且仅当a＝b时取等号，∴A正确；∵a2＋b2
10.(2022·百师联盟联考)已知a>0，b>0，且a＋2b＝2ab，则ab的最小值为_____，2a＋b的最小值为_____.
当且仅当a＝2b，即b＝1，a＝2时等号成立，故ab的最小值为2.∵a＋2b＝2ab，
11.(2022·郴州模拟)习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{an}(单位：万元，n∈N*)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知 ＝72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元.
由题意得，五年累计总投入资金为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋5×3a1＝5a3＋15a1＝5(a3＋3a1)＝10(a1＋a2)，
当且仅当a1＝a2时等号成立，∴预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元.
12.已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若綈p是假命题，则实数m的取值范围是_____________.
∵綈p为假命题，∴p为真命题，即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解.由4x＋2x·m＋1＝0，
∴m的取值范围为(－∞，－2].
13.(2022·合肥质检)若△ABC的内角满足sin B＋sin C＝2sin A，则A.A的最大值为B.A的最大值为C.A的最小值为D.A的最小值为
∵sin B＋sin C＝2sin A.∴b＋c＝2a.由余弦定理知
当且仅当b＝c时取等号.又A∈(0，π)，
14.(2022·南京模拟)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的取值范围是______________.
∵x2＋y2＋xy＝1⇔xy＝(x＋y)2－1，
因为x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1，由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
∵a>b>0，∴a－b>0，
1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.(3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.
2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥ (a，b∈R).(2) ≥ (a，b同号).(3)ab≤ (a，b∈R).(4) ≥ (a，b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.( )
2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是
当ab<0时，D不成立.
3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_____ m2.
设矩形的一边为x m，面积为y m2，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，∴ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2.
TANJIUHEXINTIXING
命题点1 配凑法例1 (1)(2022·长沙模拟)设0
因为x>－1，则x＋1>0，
所以函数的最小值为9.
因为a>0，b>0，且a＋b＝2，
命题点3 消元法例3 (2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____.
方法一 (换元消元法)
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二 (代入消元法)
所以x＋3y的最小值为6.
延伸探究 本例条件不变，求xy的最大值.
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
1.(2022·哈尔滨模拟)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于A.16 D.12
因为x>0，y>0,2x＋8y＝xy，
所以当x＋y取得最小值时，y＝6.
2.已知函数f(x)＝ (x<－1)，则A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值－4
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
故f(x)有最小值4.
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝ ＋x(2x>1)，则f(x)的最小值为___.
令x－1＝m,2y－1＝n，则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为
基本不等式的常见变形应用
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，
对于选项A，因为0
对于选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
a2＋b2≥2ab，所以A错误；ab>0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a<0，b<0时，B错误；同时C错误；
跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p：a>b>0，命题q： ，则p是q成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴由p可推出q，当a<0，b<0时，命题q成立，
∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件.
(2)(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是
∵a，b为互不相等的正实数，
例5 小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(0
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以二手车出售后，
所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大.
某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________ cm2.
设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，由题意可得3ab＝60 000，
所以该海报的高为(a＋20)cm，宽为(3b＋10×2＋5×2)cm，即(3b＋30)cm，所以整个矩形海报面积S＝(a＋20)(3b＋30)＝3ab＋30a＋60b＋600
所以当广告栏目的高为200 cm，宽为100 cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm2.
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练3 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－ .已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元.
即最大月利润为37.5万元.
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.
1.(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，
(当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立).2.(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
一、利用柯西不等式求最值例1 已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为______.
当且仅当y＝12x时，等号成立，
例2 已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为______.
(ax＋by＋cz)2≤(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)＝9，∴ax＋by＋cz≤3，当且仅当a＝3x，b＝3y，c＝3z时取“＝”，∴ax＋by＋cz的最大值为3.
二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)· ≥(a1＋a2)2.
当且仅当b1＝b2时，等号成立.
例5 已知a1，a2，…，an都是实数，求证：
KESHIJINGLIAN
1.下列函数中，最小值为2的是
即x2＝－1时取等号，∵x2≠－1，故B错误；
当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0,1)时，y＝lg3x<0，故D错误.
2.(2021·新高考全国Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C： ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13 B.12 C.9 D.6
得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，
4.(2022·重庆模拟)已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是A.1 B.4C.7 D.3＋
∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，
5.已知不等式(x＋y) ≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为A.2 B.4C.6 D.8
即正实数a的最小值为4.
6.(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是A.第一种方案更划算 B.第二种方案更划算C.两种方案一样 D.无法确定
设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则方案一：两次加油平均价格为
方案二：两次加油平均价格为
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.
7.(多选)(2022·重庆渝中区模拟)已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式成立的有
当且仅当a＝b时取等号，∴A正确；∵a2＋b2
10.(2022·百师联盟联考)已知a>0，b>0，且a＋2b＝2ab，则ab的最小值为_____，2a＋b的最小值为_____.
当且仅当a＝2b，即b＝1，a＝2时等号成立，故ab的最小值为2.∵a＋2b＝2ab，
11.(2022·郴州模拟)习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{an}(单位：万元，n∈N*)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知 ＝72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元.
由题意得，五年累计总投入资金为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋5×3a1＝5a3＋15a1＝5(a3＋3a1)＝10(a1＋a2)，
当且仅当a1＝a2时等号成立，∴预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元.
12.已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若綈p是假命题，则实数m的取值范围是_____________.
∵綈p为假命题，∴p为真命题，即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解.由4x＋2x·m＋1＝0，
∴m的取值范围为(－∞，－2].
13.(2022·合肥质检)若△ABC的内角满足sin B＋sin C＝2sin A，则A.A的最大值为B.A的最大值为C.A的最小值为D.A的最小值为
∵sin B＋sin C＝2sin A.∴b＋c＝2a.由余弦定理知
当且仅当b＝c时取等号.又A∈(0，π)，
14.(2022·南京模拟)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的取值范围是______________.
∵x2＋y2＋xy＝1⇔xy＝(x＋y)2－1，
因为x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1，由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
∵a>b>0，∴a－b>0，
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