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江苏省盐城市滨海县滨淮初中教育集团2022-2023学年八年级下学期第一次学情研判数学试卷（含答案）
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这是一份江苏省盐城市滨海县滨淮初中教育集团2022-2023学年八年级下学期第一次学情研判数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市滨海县滨淮初中教育集团八年级（下）第一次学情研判数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．今年某市有近7千名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．每位考生的数学成绩是个体
B．7千名考生是总体
C．这1000名考生是总体的一个样本
D．1000名学生是样本容量
3．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考察人们保护海洋的意识
D．了解一批圆珠笔的使用寿命
4．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．水中捞月 B．揠苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
5．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD∥BC
6．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
7．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
8．矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ）
A．22cm和26cm B．22cm和24cm C．26cm D．22cm
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．正方形绕中心至少旋转 度后能与自身重合．
10．某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ．
11．据统计，近几年全世界森林面积以每年约1700万公顷的速度消失，为了预测未来20年世界森林面积的变化趋势，可选用 统计图表示收集到的数据．
12．在一个不透明的布袋中装有12个白球和6个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
13．若一个矩形的长为12cm，对角线的长为13cm，则该矩形的周长为 cm．
14．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAO＝ ．
15．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝25°，∠BCA′＝45°，则∠A′BA＝ 度．
16．如图，▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是 ．
三、解答题
17．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有6000人在使用手机：
①在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 ．
②请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
18．已知图形B是一个正方形，图形A由三个图形B构成，如图1，请用图形A与B拼接，并分别画在从左至右的网格中．
（1）拼得图形是轴对称图形而不是中心对称图形；（图2完成）
（2）拼得图形是中心对称图形而不是轴对称图形；（图3完成）
（3）拼得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．（图4完成）
19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．
20．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝ ；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
21．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．
22．如图，在平行四边形ABCD中点E、F分别在BC．AD上且AF＝CE．连接EF、BD．试说明EF与BD互相平分．
23．已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是矩形．
24．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
25．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
26．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC＝6，DE＝4，则DF＝ ．
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．今年某市有近7千名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．每位考生的数学成绩是个体
B．7千名考生是总体
C．这1000名考生是总体的一个样本
D．1000名学生是样本容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：A、每位考生的数学成绩是个体，故A符合题意；
B、7千名考生的数学成绩是总体，故B不符合题意；
C、1000名考生的数学成绩是样本，故C不符合题意；
D、1000是样本容量，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考察人们保护海洋的意识
D．了解一批圆珠笔的使用寿命
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
解：A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合全面调查，故此选项符合题意；
B．了解全国九年级学生身高的现状，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
C．考察人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
D．了解一批圆珠笔的使用寿命，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了全面调查与抽样调查，正确理解全面调查与抽样调查的意义是解题关键．
4．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．水中捞月 B．揠苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
解：A、水中捞月是不可能事件，故此选项错误；
B、揠苗助长是不可能事件，故此选项错误；
C、守株待兔是随机事件，故此选项错误；
D、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A可以判断四边形ABCD是平行四边形．
B、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B可以判断四边形ABCD是平行四边形．
C、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C可以判断四边形ABCD是平行四边形．
D、∵AB＝CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故D不可以判断四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．属于中考常考题型．
6．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB1即为旋转角．
解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∵点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB′＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，
∴旋转角等于125°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确每对对应点与旋转中心连线所成的角为旋转角是解题的关键．
7．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【分析】利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形．
解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD＝BC AB＝CD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．
8．矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ）
A．22cm和26cm B．22cm和24cm C．26cm D．22cm
【分析】分如图1和图2两种情况分别讨论求解即可．
解：如图1，∵AK平分∠BAD，
∴∠BAK＝∠DAK，
∵AD∥BC，
∴∠DAK＝∠BKA，
∴∠BAK＝∠BKA，
∴BK＝BA＝3，
∴矩形ABCD的周长＝（3+5+3）×2＝22（cm）；
如图2，∵EL平分∠FEH，
∴∠FEL＝∠HEL，
∵EH∥FG，
∴∠HEL＝∠FLE，
∴∠FEL＝∠FLE，
∴FE＝FL＝5，
∴矩形FEHG的周长＝（5+3+5）×2＝26（cm），
综上所述，矩形的周长为22cm或26cm，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，注意分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．正方形绕中心至少旋转 90 度后能与自身重合．
【分析】正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答．
解：∵360°÷4＝90°，
∴正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：90．
【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
10．某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 0.3 ．
【分析】根据各组频率之和为1，可求出答案．
解：由各组频率之和为1得，
1﹣0.2﹣0.5＝0.3，
故答案为：0.3．
【点评】本题考查频数和频率，理解“各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于1”是正确解答的前提．
11．据统计，近几年全世界森林面积以每年约1700万公顷的速度消失，为了预测未来20年世界森林面积的变化趋势，可选用 折线 统计图表示收集到的数据．
【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
解：为了预测未来20年世界森林面积的变化趋势，可选用折线统计图表示收集到的数据．
故答案为：折线．
【点评】此题主要考查了统计图的选择，关键是掌握扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
12．在一个不透明的布袋中装有12个白球和6个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
【分析】由在一个不透明的布袋中装有12个白球和6个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵在一个不透明的布袋中装有12个白球和6个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．
∴从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．若一个矩形的长为12cm，对角线的长为13cm，则该矩形的周长为 34 cm．
【分析】结合图形，易求矩形的另一边，然后根据矩形的周长公式求解即可．
解：根据长方形的长，宽，对角线组成的是一个直角三角形，且对角线为斜边，长和宽为直角边，
∴长方形的宽＝＝＝5cm，
因此长方形的周长＝（12+5）×2＝34cm．
故答案为：34．
【点评】此题考查的是矩形的性质，解答此题要熟悉矩形的性质以及勾股定理．
14．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAO＝ 45° ．
【分析】根据矩形性质得出AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°，推出OA＝OB，求出∠DAE＝67.5°，∠BAE＝22.5°，求出∠ABO＝67.5°，∠OAB＝∠OBA＝67.5°，即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠DAE＝67.5°，∠BAE＝22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝67.5°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了矩形性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，矩形的四个角都是直角．
15．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝25°，∠BCA′＝45°，则∠A′BA＝ 40 度．
【分析】根据旋转的性质以及三角形外角的性质可得出∠BCA′+∠A′＝∠B′BC＝45°+25°＝70°，则∠BB′C＝∠B′BC＝70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′＝∠A′BA＝40°即可．
解：∵∠A＝25°，∠BCA′＝45°，
∴∠BCA′+∠A′＝∠B′BC＝45°+25°＝70°，
∵CB＝CB′，
∴∠BB′C＝∠B′BC＝70°，
∴∠B′CB＝40°，
∴∠ACA′＝40°，
∵∠A＝∠A′，∠A′DB＝∠ADC，
∴∠ACA′＝∠A′BA＝40°．
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠ACA′＝40°是解题关键．
16．如图，▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是 1＜a＜7 ．
【分析】由平行四边形的性质得出OA＝4，OD＝3，再由三角形的三边关系即可得出结果．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝4，OD＝BD＝3，
在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．
即1＜a＜7；
故答案为：1＜a＜7．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的三边关系得出结果是解决问题的关键．
三、解答题
17．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 2000 人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 144° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有6000人在使用手机：
①在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 0.22 ．
②请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
【分析】（1）根据最喜欢用“电话”进行沟通的人数除以它所占的比例求出总人数为2000人，再求出最喜欢用“短信”进行沟通的人数和最喜欢用“微信”进行沟通的人数，再求圆心角度数即可；
（2）根据数据直接补全统计图即可；
（3）①用使用QQ的人数除以总人数即可；
②全校总人数乘以最喜欢用“微信”进行沟通的人数所占比例即可．
解：（1）这次参与调查的共有400÷20%＝2000（人），
∴最喜欢用“短信”进行沟通的人数为2000×5%＝100（人），
∴最喜欢用“微信”进行沟通的人数为2000﹣400﹣100﹣440﹣260＝800（人），
∴表示“微信”的扇形圆心角的度数为360°×＝144°，
故答案为：2000，144°；
（2）补全条形统计图如下：
（3）①抽取的恰好使用“QQ”的概率＝＝0.22，
答：抽取的恰好使用“QQ”的概率是0.22，
故答案为：0.22；
②该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数为6000×＝2400（人），
答：该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数为2400人．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和利用样本估计总体．
18．已知图形B是一个正方形，图形A由三个图形B构成，如图1，请用图形A与B拼接，并分别画在从左至右的网格中．
（1）拼得图形是轴对称图形而不是中心对称图形；（图2完成）
（2）拼得图形是中心对称图形而不是轴对称图形；（图3完成）
（3）拼得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．（图4完成）
【分析】（1）根据中心对称图形的性质得出移动方法即可；
（2）根据轴对称图形的性质得出移动方法即可；
（3）综合（1）（2）即可得出答案．
解：（1）如图2所示：
（2）如图3所示：
（3）如图4所示．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握中心对称和轴对称图形的性质是解题关键．
19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD＝BC，求出DE＝BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等．
20．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝ 0.6 ；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
【分析】（1）计算出其平均值即可；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）白球个数＝球的总数×得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数．
解：（1）∵摸到白球的频率为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝0.6．
（3）盒子里黑、白两种颜色的球大约各有40﹣24＝16，40×0.6＝24．
【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
21．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．
【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．
解：在▱ABCD中，
AD＝BC，∠A＝∠C，
∵E、F分别是边BC、AD的中点，
∴AF＝CE，
在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴∠ABF＝∠CDE
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型
22．如图，在平行四边形ABCD中点E、F分别在BC．AD上且AF＝CE．连接EF、BD．试说明EF与BD互相平分．
【分析】证明△FDO≌△EBO（AAS），推出OF＝OE，OD＝OB，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠FDO＝∠EBO，
∵AF＝CE，
∴DF＝BE，
在△FDO和△EBO中，
，
∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OF＝OE，OD＝OB，
∴EF与BD互相平分．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是矩形．
【分析】由矩形的性质得出对角线互相平分且相等，再由已知条件得出OE＝OF＝OG＝OH，即可得出四边形EFGH是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证出OE＝OF＝OG＝OH，是解决问题的关键．
24．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB＝AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD，
∴D是BC的中点；
（2）解：若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD；
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
25．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据已知条件推出四边形ABCD是平行四边形，求得AO＝AC，BO＝BD，等量代换得到AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE与BD交于F，根据垂直的定义得到∠CFD＝90°，根据平行四边形的性质得到AE∥BO，根据直角三角形的性质得到EO＝AO，推出△AEO是等边三角形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：连接OE交AB于F，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE∥BO，AE＝BO，
∴∠EAO+∠AOB＝180°，
∵CE⊥AE，OC＝AO，
∴AO＝OE，
∵AO＝BO，
∴AE＝AO＝EO，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∴∠AOB＝120°．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，（1）的关键在于根据等量代换得到AC＝BD；（2）本问的关键在于作辅助线OE，并利用OE为直角三角形AEC中线进行解答．
26．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC＝6，DE＝4，则DF＝ 2或10 ．
【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；
（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．
解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∴AF＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠FDB＝∠B
∴DF＝BF
∴DE+DF＝AB＝AC；
（2）图②中：AC+DE＝DF．
图③中：AC+DF＝DE．
（3）当如图①的情况，DF＝AC﹣DE＝6﹣4＝2；
当如图②的情况，DF＝AC+DE＝6+4＝10．
故答案是：2或10．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题．
2022-2023学年江苏省盐城市滨海县滨淮初中教育集团八年级（下）第一次学情研判数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．今年某市有近7千名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．每位考生的数学成绩是个体
B．7千名考生是总体
C．这1000名考生是总体的一个样本
D．1000名学生是样本容量
3．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考察人们保护海洋的意识
D．了解一批圆珠笔的使用寿命
4．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．水中捞月 B．揠苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
5．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD∥BC
6．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
7．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
8．矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ）
A．22cm和26cm B．22cm和24cm C．26cm D．22cm
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．正方形绕中心至少旋转 度后能与自身重合．
10．某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 ．
11．据统计，近几年全世界森林面积以每年约1700万公顷的速度消失，为了预测未来20年世界森林面积的变化趋势，可选用 统计图表示收集到的数据．
12．在一个不透明的布袋中装有12个白球和6个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
13．若一个矩形的长为12cm，对角线的长为13cm，则该矩形的周长为 cm．
14．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAO＝ ．
15．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝25°，∠BCA′＝45°，则∠A′BA＝ 度．
16．如图，▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是 ．
三、解答题
17．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有6000人在使用手机：
①在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 ．
②请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
18．已知图形B是一个正方形，图形A由三个图形B构成，如图1，请用图形A与B拼接，并分别画在从左至右的网格中．
（1）拼得图形是轴对称图形而不是中心对称图形；（图2完成）
（2）拼得图形是中心对称图形而不是轴对称图形；（图3完成）
（3）拼得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．（图4完成）
19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．
20．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝ ；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
21．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．
22．如图，在平行四边形ABCD中点E、F分别在BC．AD上且AF＝CE．连接EF、BD．试说明EF与BD互相平分．
23．已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是矩形．
24．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
25．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
26．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC＝6，DE＝4，则DF＝ ．
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．今年某市有近7千名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．每位考生的数学成绩是个体
B．7千名考生是总体
C．这1000名考生是总体的一个样本
D．1000名学生是样本容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：A、每位考生的数学成绩是个体，故A符合题意；
B、7千名考生的数学成绩是总体，故B不符合题意；
C、1000名考生的数学成绩是样本，故C不符合题意；
D、1000是样本容量，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考察人们保护海洋的意识
D．了解一批圆珠笔的使用寿命
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
解：A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合全面调查，故此选项符合题意；
B．了解全国九年级学生身高的现状，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
C．考察人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
D．了解一批圆珠笔的使用寿命，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了全面调查与抽样调查，正确理解全面调查与抽样调查的意义是解题关键．
4．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．水中捞月 B．揠苗助长 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
解：A、水中捞月是不可能事件，故此选项错误；
B、揠苗助长是不可能事件，故此选项错误；
C、守株待兔是随机事件，故此选项错误；
D、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A可以判断四边形ABCD是平行四边形．
B、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B可以判断四边形ABCD是平行四边形．
C、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C可以判断四边形ABCD是平行四边形．
D、∵AB＝CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故D不可以判断四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．属于中考常考题型．
6．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB1即为旋转角．
解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∵点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB′＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，
∴旋转角等于125°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确每对对应点与旋转中心连线所成的角为旋转角是解题的关键．
7．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【分析】利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形．
解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD＝BC AB＝CD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．
8．矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ）
A．22cm和26cm B．22cm和24cm C．26cm D．22cm
【分析】分如图1和图2两种情况分别讨论求解即可．
解：如图1，∵AK平分∠BAD，
∴∠BAK＝∠DAK，
∵AD∥BC，
∴∠DAK＝∠BKA，
∴∠BAK＝∠BKA，
∴BK＝BA＝3，
∴矩形ABCD的周长＝（3+5+3）×2＝22（cm）；
如图2，∵EL平分∠FEH，
∴∠FEL＝∠HEL，
∵EH∥FG，
∴∠HEL＝∠FLE，
∴∠FEL＝∠FLE，
∴FE＝FL＝5，
∴矩形FEHG的周长＝（5+3+5）×2＝26（cm），
综上所述，矩形的周长为22cm或26cm，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，注意分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．正方形绕中心至少旋转 90 度后能与自身重合．
【分析】正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，然后根据旋转角及旋转对称图形的定义作答．
解：∵360°÷4＝90°，
∴正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：90．
【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
10．某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是 0.3 ．
【分析】根据各组频率之和为1，可求出答案．
解：由各组频率之和为1得，
1﹣0.2﹣0.5＝0.3，
故答案为：0.3．
【点评】本题考查频数和频率，理解“各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于1”是正确解答的前提．
11．据统计，近几年全世界森林面积以每年约1700万公顷的速度消失，为了预测未来20年世界森林面积的变化趋势，可选用 折线 统计图表示收集到的数据．
【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
解：为了预测未来20年世界森林面积的变化趋势，可选用折线统计图表示收集到的数据．
故答案为：折线．
【点评】此题主要考查了统计图的选择，关键是掌握扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
12．在一个不透明的布袋中装有12个白球和6个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
【分析】由在一个不透明的布袋中装有12个白球和6个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵在一个不透明的布袋中装有12个白球和6个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．
∴从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．若一个矩形的长为12cm，对角线的长为13cm，则该矩形的周长为 34 cm．
【分析】结合图形，易求矩形的另一边，然后根据矩形的周长公式求解即可．
解：根据长方形的长，宽，对角线组成的是一个直角三角形，且对角线为斜边，长和宽为直角边，
∴长方形的宽＝＝＝5cm，
因此长方形的周长＝（12+5）×2＝34cm．
故答案为：34．
【点评】此题考查的是矩形的性质，解答此题要熟悉矩形的性质以及勾股定理．
14．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAO＝ 45° ．
【分析】根据矩形性质得出AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°，推出OA＝OB，求出∠DAE＝67.5°，∠BAE＝22.5°，求出∠ABO＝67.5°，∠OAB＝∠OBA＝67.5°，即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠DAE＝67.5°，∠BAE＝22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝67.5°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了矩形性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，矩形的四个角都是直角．
15．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝25°，∠BCA′＝45°，则∠A′BA＝ 40 度．
【分析】根据旋转的性质以及三角形外角的性质可得出∠BCA′+∠A′＝∠B′BC＝45°+25°＝70°，则∠BB′C＝∠B′BC＝70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′＝∠A′BA＝40°即可．
解：∵∠A＝25°，∠BCA′＝45°，
∴∠BCA′+∠A′＝∠B′BC＝45°+25°＝70°，
∵CB＝CB′，
∴∠BB′C＝∠B′BC＝70°，
∴∠B′CB＝40°，
∴∠ACA′＝40°，
∵∠A＝∠A′，∠A′DB＝∠ADC，
∴∠ACA′＝∠A′BA＝40°．
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠ACA′＝40°是解题关键．
16．如图，▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是 1＜a＜7 ．
【分析】由平行四边形的性质得出OA＝4，OD＝3，再由三角形的三边关系即可得出结果．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝4，OD＝BD＝3，
在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．
即1＜a＜7；
故答案为：1＜a＜7．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的三边关系得出结果是解决问题的关键．
三、解答题
17．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 2000 人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 144° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有6000人在使用手机：
①在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 0.22 ．
②请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
【分析】（1）根据最喜欢用“电话”进行沟通的人数除以它所占的比例求出总人数为2000人，再求出最喜欢用“短信”进行沟通的人数和最喜欢用“微信”进行沟通的人数，再求圆心角度数即可；
（2）根据数据直接补全统计图即可；
（3）①用使用QQ的人数除以总人数即可；
②全校总人数乘以最喜欢用“微信”进行沟通的人数所占比例即可．
解：（1）这次参与调查的共有400÷20%＝2000（人），
∴最喜欢用“短信”进行沟通的人数为2000×5%＝100（人），
∴最喜欢用“微信”进行沟通的人数为2000﹣400﹣100﹣440﹣260＝800（人），
∴表示“微信”的扇形圆心角的度数为360°×＝144°，
故答案为：2000，144°；
（2）补全条形统计图如下：
（3）①抽取的恰好使用“QQ”的概率＝＝0.22，
答：抽取的恰好使用“QQ”的概率是0.22，
故答案为：0.22；
②该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数为6000×＝2400（人），
答：该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数为2400人．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和利用样本估计总体．
18．已知图形B是一个正方形，图形A由三个图形B构成，如图1，请用图形A与B拼接，并分别画在从左至右的网格中．
（1）拼得图形是轴对称图形而不是中心对称图形；（图2完成）
（2）拼得图形是中心对称图形而不是轴对称图形；（图3完成）
（3）拼得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．（图4完成）
【分析】（1）根据中心对称图形的性质得出移动方法即可；
（2）根据轴对称图形的性质得出移动方法即可；
（3）综合（1）（2）即可得出答案．
解：（1）如图2所示：
（2）如图3所示：
（3）如图4所示．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握中心对称和轴对称图形的性质是解题关键．
19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD＝BC，求出DE＝BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等．
20．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝ 0.6 ；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
【分析】（1）计算出其平均值即可；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）白球个数＝球的总数×得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数．
解：（1）∵摸到白球的频率为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝0.6．
（3）盒子里黑、白两种颜色的球大约各有40﹣24＝16，40×0.6＝24．
【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
21．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．
【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．
解：在▱ABCD中，
AD＝BC，∠A＝∠C，
∵E、F分别是边BC、AD的中点，
∴AF＝CE，
在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴∠ABF＝∠CDE
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型
22．如图，在平行四边形ABCD中点E、F分别在BC．AD上且AF＝CE．连接EF、BD．试说明EF与BD互相平分．
【分析】证明△FDO≌△EBO（AAS），推出OF＝OE，OD＝OB，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠FDO＝∠EBO，
∵AF＝CE，
∴DF＝BE，
在△FDO和△EBO中，
，
∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OF＝OE，OD＝OB，
∴EF与BD互相平分．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是矩形．
【分析】由矩形的性质得出对角线互相平分且相等，再由已知条件得出OE＝OF＝OG＝OH，即可得出四边形EFGH是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证出OE＝OF＝OG＝OH，是解决问题的关键．
24．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB＝AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD，
∴D是BC的中点；
（2）解：若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD；
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
25．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据已知条件推出四边形ABCD是平行四边形，求得AO＝AC，BO＝BD，等量代换得到AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE与BD交于F，根据垂直的定义得到∠CFD＝90°，根据平行四边形的性质得到AE∥BO，根据直角三角形的性质得到EO＝AO，推出△AEO是等边三角形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：连接OE交AB于F，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE∥BO，AE＝BO，
∴∠EAO+∠AOB＝180°，
∵CE⊥AE，OC＝AO，
∴AO＝OE，
∵AO＝BO，
∴AE＝AO＝EO，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∴∠AOB＝120°．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，（1）的关键在于根据等量代换得到AC＝BD；（2）本问的关键在于作辅助线OE，并利用OE为直角三角形AEC中线进行解答．
26．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC＝6，DE＝4，则DF＝ 2或10 ．
【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；
（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．
解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∴AF＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠FDB＝∠B
∴DF＝BF
∴DE+DF＝AB＝AC；
（2）图②中：AC+DE＝DF．
图③中：AC+DF＝DE．
（3）当如图①的情况，DF＝AC﹣DE＝6﹣4＝2；
当如图②的情况，DF＝AC+DE＝6+4＝10．
故答案是：2或10．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题．
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