高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课后测评，共4页。试卷主要包含了故含x4的项的系数是10，化简，故答案为240等内容，欢迎下载使用。
课时分层训练(七)　二项式定理1．在二项式的展开式中，含x4的项的系数是(　　)A．－10  B．－5  C．10  D．5C　解析：展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)5－k·＝(－1)kCx10－3k．令10－3k＝4，得k＝2，所以T3＝(－1)2Cx4＝10x4．故含x4的项的系数是10．2．在(＋)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有(　　)A．4项  B．3项  C．2项  D．1项B　解析：(＋)12的展开式的通项为Tk＋1＝C·()12－k()k＝Cx (0≤k≤12，k∈N)，当6－(0≤k≤12，k∈N)为正整数时，k＝0或k＝6或k＝12，故含x的正整数次幂的项共有3项．3．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．x5－1　解析：注意逆用二项式定理即可．原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．4．用二项式定理展开(2x－1)4＝_____________________________．16x4－32x3＋24x2－8x＋1　解析：(2x－1)4＝C(2x)4(－1)0＋C(2x)3(－1)1＋C(2x)2(－1)2＋C(2x)1(－1)3＋C(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1．5．的展开式中常数项是________．(用数字作答)240　解析：∵的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)6－r·＝C·x12－2r2r·x－r＝C2r·x12－3r．令12－3r＝0，解得r＝4．∴的展开式中常数项是C×24＝C×16＝15×16＝240．故答案为240．6．如果的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________，其x2项的系数为________．8　28　解析：Tk＋1＝C()n－k＝Cx．由题意知，k＝2时，＝2，所以n＝8，此时该项的系数为C＝28．7．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．207　解析：x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，∴其系数为C＋C×(－1)＝207．8．若展开式中的常数项是70，则n＝________．4　解析：＝的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)k·x2n－2k，令2n－2k＝0，得n＝k，故展开式的常数项为(－1)n·C＝70，解得n＝4．9．求的展开式中第3项的系数和常数项．解：T3＝C(x3)3＝C·x5，所以第3项的系数为C×＝．通项Tk＋1＝C(x3)5－k＝·Cx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2·＝．10．已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．证明：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×(31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．1．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)A．3  B．6  C．9  D．12B　解析：x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6．2．在(－2)5的展开式中，含x2的项的系数为(　　)A．－5  B．5  C．－10  D．10C　解析：(－2)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()5－r(－2)r＝(－2)rCx，令＝2，可得：r＝1，则含x2的项的系数为(－2)1C＝(－2)×5＝－10．3．二项式(1＋)6的展开式中有理项系数之和为(　　)A．64  B．32  C．24  D．16B　解析：二项式(1＋)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx，令为整数，可得k＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为C＋C＋C＋C＝32．4．设的展开式中x3的系数为a，则a的值为________．60　解析：的展开式的通项公式是Tk＋1＝Cx6－k＝C(－2)kx．令6－＝3，解得k＝2，因此x3的系数为a＝C×(－2)2＝60．5．已知3×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为________．8　解析：根据题意，3×1010＋a＝3×(11－1)10＋a，由于3×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，根据二项式定理展开式可知，3×(11－1)10被11除的余数为3，从而可知3＋a能被11整除，可知a＝8．6．对于二项式 (n∈N*)，有以下四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的有________．(填序号)①④　解析：二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n．由通项公式可知，当k＝(k∈N*)和k＝(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．7．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．解：由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，所以1≤m≤18．x2的系数为C＋C＝＋＝＋＝＋．所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，此时x7的系数为C＋C＝156．8．已知的展开式的前三项系数的和为129，这个展开式中是否存在有理项？若没有，说明理由；若有，求出有理项．解：Tk＋1＝C()n－k＝C·2kx (k＝0，1，2，…，n)，依题意有C＋2C＋22C＝129，解得n＝8或n＝－8(舍去)，∴Tk＋1＝C·2kx，且0≤k≤8，k∈N*．又＝4－k，∴当k＝0或k＝6时，∈Z，即展开式中存在有理项，分别是T1＝x4，T7＝C·26·x－1＝．