专题3.19 函数中的折叠问题（培优篇）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用）

这是一份专题3.19 函数中的折叠问题（培优篇）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用），共55页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题3.19 函数中折叠问题（培优篇）
一、单选题
1．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）如图，将一张边长为1的正方形纸折叠，使得点B始终落在边上，则折起部分面积的最小值为（　　）

A． B． C． D．
2．（2019·内蒙古呼伦贝尔·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△ABP沿直线AP折叠，使点B落到点B′处；作∠B′PC的角平分线交CD于点E．设BP＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（    ）

A． B． C． D．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，折叠ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若ABCD的面积是8，则下列结论中正确的是（    ）

A．四边形AEHG不是平行四边形
B．AB≠AE
C．设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，则y与x的函数关系式是
D．若BC=4，则点E到BG的距离为1
4．（2022春·广东佛山·九年级校考开学考试）如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将△OCD沿着CD折叠得到△ECD，CE与OB交于点F．若反比例函数y＝的图象经过点F，则m的值为（　　）

A． B． C． D．
5．（2021·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，已知矩形的边在轴上，，，双曲线与矩形相交于点，，沿折叠，点恰好落在上的点处，则的值为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13
6．（2012·浙江丽水·统考一模）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0,n)是y轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．(0,) B．(0,) C．(0,3) D．(0,4)
二、填空题
7．（2018·江苏无锡·统考一模）如图平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，4 ），B（8，0）．将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE=，则CE：DE的值是_____．

8．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片ABCO的顶点C坐标（0，8），沿着直线折叠纸片，使点C落在OA边上的点F处，折痕为DE，则b等于____________．

9．（2020秋·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+12与y、x轴分别相交于A、B两点，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴负半轴上的点A′处，折痕所在直线交y轴正半轴于点C．把直线AB向左平移，使之经过点C，则平移后直线的函数关系式是_____．

10．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校联考期末）如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为_____．

11．（2023秋·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为______．

12．（2022秋·九年级课时练习）如图，点A、B分别在平面直角坐标系xOy的y轴正半轴、x轴正半轴上，且OA=4，OB=3，将△AOB沿AB折叠，O的落点为P，若双曲线y=过点P，则k=________．

13．（2021·四川成都·统考一模）平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点，点B在x轴上，双曲线分别交两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．若折叠后，是等腰三角形，则此时点D的坐标为_________．

14．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，函数y＝（x0）的图象交AB于点P，交BC于点Q，将矩形OABC沿直线PQ折叠，若点B的对应点恰好落在OA上，则k＝_____．

15．（2022秋·广东深圳·九年级红岭中学校考期末）如图，矩形ABCO的顶点B（10，8），点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，过点E的反比例函数y＝的图象与边AB交于点F，则线段BF的长为_____．

16．（2022·广东东莞·校考一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．

17．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点О是坐标原点，点A的坐标是，点C在x轴上，点在边BC上，将沿AD折叠，得到，若抛物线（且a为常数）的顶点落在的内部（不含边界），则a的取值范围是__________．

18．（2021·江苏扬州·校考一模）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，B点坐标为，点D为BC上一点，且，连接AD，将沿AD折叠，压平，使B点的对应点E落在坐标平面内．若抛物线（，a为常数）的顶点落在的内部（不含边界），则a的取值范围为_____．

三、解答题
19．（2023春·四川达州·八年级四川省渠县中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1) 求点A，B的坐标；
(2) 在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式．









20．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点在坐标轴上，，将沿折叠，使点C落在对角线上的点E处．
(1) 求点D的坐标；
(2) 动点P从点B出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点O停止，设P运动时间为t，的面积为S，求出S与t的关系式，并写出t的取值范围；
(3) 在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点Q，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明原因．








21．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合．
(1) 当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系；
(2) 如图2，连接．
①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；
②当平分时，直接写出k的值．










22．（2022秋·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为．
(1) 求点的坐标和的大小；
(2) 在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3) 点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标．




23．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，二次函数的图像与x轴交于、两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接BC，将△沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．
(1) 求点、点的坐标；
(2) 求证：△∽△；
(3) 求的最小值；





24．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，二次函数与x轴交于O，A两点，顶点为C，连接，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
(1) 求二次函数的表达式；
(2) ①求证：；
②求的最小值；
(3) 当时，求直线与二次函数的交点横坐标．
















25．（2021秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合
(1) 如图2，连接，求证：；
(2) 当点D落在矩形内部时，求k的取值范围；
(3) 如图3，连接，求的最小值，并直接写出此时点D的坐标．

















26．（2020春·江苏徐州·八年级校考期末）已知，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，为边上的点，反比例函数在第一象限内的图像经过点和边上的点．
（1）求反比例函数的表达式和的值；
（2）若将矩形进行折叠，使点与点重合，折痕分别与轴、轴正半轴交于点、，求折痕所在直线的函数表达式．

























参考答案
1．B
【分析】过N作与R，则，连，交于Q．先证明，再利用相似三角形的性质得出的长，再表示出求出梯形面积，进而求出最小值．
解：如图，过N作与R，则，
连，交于Q．

则由折叠知，
与关于直线对称，即，
有，，．
∵，，
∴，
∴．
设，则，，
代入上式得：．
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
故．
∴，
得当时，梯形面积最小，其最小值．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方形的折叠问题，相似三角形的判定与性质，二次函数在几何中的应用，全等三角形的判定与性质等知识，得到是解答本题的关键．
2．D
【分析】根据折叠可证明△ABP∽△PCE，得，进而可得函数解析式y＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x，即可判断函数图象．
解：∵△ABP沿直线AP折叠得到△AB′P，
∴∠APB＝∠APB′，
∵PE平分∠B′PC，
∴∠B′PE＝∠CPE，
∴∠APB′+∠EPB′＝×180°＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CPE+∠CEP＝90°，
∴∠APB＝∠CEP，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∵BP＝x，CE＝y，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，
∴PC＝4﹣x，
∴
∴y＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x．
∴该函数图象是抛物线，开口向下．
故选：D．
【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质，是解决本题的关键
3．C
【分析】根据轴对称、平行四边形、等腰三角形的性质，得，，从而证明四边形AEHG是平行四边形；根据轴对称和平行四边形的性质，得；设点E到BG的距离为，结合根据轴对称的性质分析，即可得到答案．
解：∵折叠ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G处，点D落在点H处，
∴，，，四边形面积=四边形面积
∵ABCD
∴，，
∴，
∴，
∴，即选项B不正确；
∴
∴四边形AEHG是平行四边形，即选项A不正确；
∴
∵四边形面积=四边形面积
∴四边形面积=+四边形AEHG面积
∵四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，ABCD的面积是8
∴，即
∵点E在AD边上
∴四边形BCDE面积，即
∴，即选项C正确；
设点E到BG的距离为
∵四边形面积
∴四边形面积
∴，即
∴
∴，即点E到BG的距离为2
∴选项D不正确
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数、平行四边形、等腰三角形、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、平行四边形的性质，从而完成求解．
4．B
【分析】先根据折叠的性质得到，，设，利用两点间的距离公式得到，，解关于、的方程组得到点的坐标为，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，易得直线的解析式为，解方程组得，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值．
解：正方形的边长为4，点是边的中点，
，，，，
沿着折叠得到，
，，
设，
，
，
，，
点的坐标为，，
设直线的解析式为，
把，，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
易得直线的解析式为，
解方程组得，
，，
点，在反比例函数的图象上，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了正方形的性质和折叠的性质．
5．C
【分析】根据折叠求出EC=1.5，再设A点坐标为（m，4），则E点坐标为（m+5，1.5），根据反比例函数的性质列出方程即可．
解：由翻折可知，AF=AD=5，DE=EF，
∵四边形是矩形，
∴，CF=5-3=2，
设EC为x，则DE=EF=4-x，
，
解得，x=1.5，
设A点坐标为（m，4），则E点坐标为（m+5，1.5），
则4m=1.5(m+5)，解得m=3，
把（3，4）代入得，，解得；
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、反比例函数的性质，解题关键是求出EC长，设出点的坐标，根据反比例函数的性质列出方程．
6．B
解：过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=-x+3，令x=0，得y=3；令y=0，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴AB=5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=3-n，
∴DA=OA=4，∴DB=5-4=1，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+12=（3-n）2，解得n=，
∴点C的坐标为（0，）．故选B．

7．．
解：如图，过A作AF⊥OB于F，

∵A（4，4），B（8，0），
∴AF=4，OF=4，OB=8，
∴BF=8﹣4=4，
∴OF=BF，
∴AO=AB，
∵tan∠AOB==，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED=∠OAB=60°，
∴∠OCE=∠DEB，
∴△CEO∽△DBE，
∴ ，
设CE=a，则CA=a，CO=8﹣a，ED=b，则AD=b，DB=8﹣b，
∴ ，
∴32b=88a﹣11ab ①，
，
∴56a=88b﹣11ab ②，
②﹣①得：56a﹣32b=88b﹣88a，
∴，
即CE：DE=．
故答案为．
8．3
【分析】作EH⊥OA于H，先得到D点坐标为（0，b），利用矩形的性质得E点的纵坐标为8，则利用可表示E的横坐标，即有E点坐标为（2（8-b），8），所以OD=b，CD=8-b，CE=2（8-b），EH=8，再根据折叠的性质得DF=DC=8-b，EF=CE=2（8-b），∠DFE=∠DCE=90°，利用等角的余角相等得到∠ODF=∠EFH，可判断Rt△ODF∽Rt△HFE，利用相似比得到OF=4，FH=2b，然后根据OF+FH=OH=CE得4+2b=2（8-b），解方程得到b=3．
解：作EH⊥OA于H，如图，
把x=0代入得y=b，则D点坐标为（0，b），
∵C点坐标为（0，8），
而四边形ABCO为矩形，
∴E点的纵坐标为8，
把y=8代入得，解得x=16-2b=2（8-b），
∴E点坐标为（2（8-b），8），
∴OD=b，CD=8-b，CE=2（8-b），EH=8，
∵矩形纸片ABCO沿着直线折叠，使点C落在OA边上的点F处，折痕为DE，
∴DF=DC=8-b，EF=CE=2（8-b），∠DFE=∠DCE=90°，
∴∠DFO+∠EFH=90°，
而∠DFO+∠ODF=90°，
∴∠ODF=∠EFH，
∴Rt△ODF∽Rt△HFE，
∴，即，
∴OF=4，FH=2b，
∵OF+FH=OH=CE，
∴4+2b=2（8-b），
∴b=3．
故答案为3．

【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了一次函数的性质和相似三角形的判定与性质．
9．y＝﹣x+．
【分析】先求得A、B的坐标，然后由勾股定理求出AB，再由折叠的性质得出A′B=AB=13，∠OA′C=∠BAO，进而证明△OA′C∽△OAB，得出比例式求出OC，得出点C坐标，即可求得平移后的解析式．
解：∵直线y＝x+12与y、x轴分别相交于A、B两点，
∴点A（0，12），B（5，0），
∴OA＝12，OB＝5，
∵∠AOB＝∠A′OC＝90°，
∴AB＝＝＝13，
由折叠的性质得：A′B＝AB＝13，∠OA′C＝∠BAO，
∴OA′＝A′B﹣OB＝8，△OA′C∽△OAB，
∴A′（﹣8，0），，
即，
∴OC＝，
∴C（0，），
∴平移后的直线的解析式为y＝x+，
故答案为y＝x+．

【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，进而求得C的坐标是解决问题的关键．
10．或或或
【分析】过作于F，如图：根据折叠的性质得到，，，，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，当P在x轴上时，连接交x轴于H，得到，当P在y轴上时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
解：过作于F，如图：

∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
当P在x轴上时，连接交x轴于H，如图：

∵，；
∴直线为，
令得，
∴，
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或；
当P在y轴上时，如图：

∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或，
综上所述，P的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
【点拨】本题考查长方形中的折叠问题，坐标与图形，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理．
11．
【分析】先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解．
解：，当时，；当时，；
，，
，，

将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
，
，，
在中，，即：，
，
点在轴的负半轴上，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键．
12．
【分析】设P（x，y），过P作PD⊥x轴于D，过A作AC⊥PD于C，由垂直定义得∠AOB=∠ODC=∠C=90°，进而得∠PAC+∠APC=90°，再由折叠的性质得PA=OA=4，PB=OB=3，∠APB=90°，从而得∠APC+∠BPD=90°，∠BPD=∠PAC，进而证明△ACP∽△PDB，由相似三角形的性质即可求得点P的横、纵坐标，即可求解．
解：如图，设P（x，y），过P作PD⊥x轴于D，过A作AC⊥PD于C，

∵PD⊥x轴，AC⊥PD，x轴⊥y轴，
∴∠AOB=∠ODC=∠C=90°，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∵OA=4，OB=3，将△AOB沿AB折叠，O的落点为P，
∴PA=OA=4，PB=OB=3，∠APB=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠BPD=∠PAC，
∴△ACP∽△PDB
∴，即，
解得：x=，y=，
∵双曲线y=过点P，
∴k=×=．
故答案为：
【点拨】本题考查了坐标与图形，轴对称性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
13．或
【分析】分三种情况讨论：①，②，③，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．
解：过D点作，
①当时，如图3，有，，

，
，
，
，
，
，
，
，即；
②当时，如图4，

在中，，
，
，
，
，
，即；
③当时，，
，
，即，
，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
，
综上所述，所求D点坐标为或．
【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用分类讨论思想解决问题．
14．3
【解析】连接AC，作BB′⊥PQ交OA于B′，连接PB′，易得到B′是B的对应点，根据同角的余角相等得到∠ABB′＝∠PQB，设P（4，），Q（，2），则PA＝，CQ＝，PB＝2﹣，BQ＝4﹣，根据三角函数的定义得到tan∠BQP＝tan∠ACB，求得∠BQP＝∠ACB，即可得到∠ACB＝∠ABB′，根据三角函数的定义求得AB′＝1，根据勾股定理得到关于k的方程，解方程即可求得k的值．
解：如图，连接AC，作BB′⊥PQ交OA于B′，连接PB′，
∵将矩形OABC沿直线PQ折叠，若点B的对应点恰好落在OA上，
∴B′是B的对应点，
∵∠ABB′+∠QBB′＝90°＝∠PQB+∠QBB′，
∴∠ABB′＝∠PQB，
∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝2，
∴BC＝OA＝4，AB＝OC＝2，
∴B（4，2），
设P（4，），Q（，2），
∴PA＝，CQ＝，
∴PB＝2﹣，BQ＝4﹣，
∴tan∠PQB＝＝＝，
∵tan∠ACB＝＝＝，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABB′，
∴tan∠ABB′＝，
∴＝，
∴＝＝＝1，
在Rt△APB′中，PB′2＝PA+PB′2，
∴（2﹣）2＝（）2+12，
解得k＝3，
故答案为3．

【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及勾股定理的方程思想和锐角三角函数的运用，解题的关键是设出对应的点坐标，然后利用数形结合的思想去列方程求解k的值．
15．
【分析】首先根据翻折变换的性质，可得AD=AB=10，DE=BE；然后设点E的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CE的长度，进而求出k的值，再把F点的纵坐标代入解析式可求得F点的坐标，即可求得BF的长．
解：∵△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，
∴AD=AB=10，DE=BE，
∵AO=8，AD=10，
∴OD==6，
∴CD=10-6=4，
设点E的坐标是（10，b），
则CE=b，DE=10-b，
∵CD2+CE2=DE2，
∴42+b2=（8-b）2，
解得b=3，
∴点E的坐标是（10，3），
设反比例函数y=，
∴k=10×3=30，
∴反比例函数解析式为y=，
∵F点纵坐标为8，
∴8=，解得x=，即AF=，
∴BF=AB-AF=10-=，
故答案为．
【点拨】（1）此题主要考查了翻折变换（折叠问题），要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
（2）此题还考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
16．##
【分析】先根据抛物线解析式求出点A，B，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论．
解：令，则，
解得，，
，，
，，
令，则，
，
，
，
为中点，
，
由沿折叠所得，
，
在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当，，在同一直线上时，最小，

过点作，垂足为，
，，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标．
17．且
【分析】先根据折叠得出AE、ED的长度，再根据两三角形相似得出点E的坐标，再根据直线AD的解析式得出抛物线对称轴与AD的交点，将抛物线写成顶点式，由题意得出a的范围．
解：由折叠可知：BD=ED，AB=AE
∵在矩形OABC中，A(0， 6).D(10， 1)
∴AE=AB=10，BD=ED=5，∠B=∠E=90°
过点E作EF垂直于y轴于G，交BC的延长线于点F

∵∠AEG+∠DEF=90°，∠AEG+∠GAE=90°
∴ ∠GAE=∠DEF，又∠AGE=∠F=90°
∴ △AGE ∽△EFD
∴
设GE=x，则EF=10-x，DF=x
由勾股定理得：DE2=DF2+EF2

x=10(舍去）或x=6
∴E(6，-2)
∵抛物线的对称轴是x= =6
设直线AD的解析式为y=kx+b.
将A(0， 6)、D(10， 1)代入得：
解得
∴直线AD的解析式为：y= x+6
将x=6代入 得：y=3
∴直线x=6与直线AD的交点坐标为（6，3）
由
因为抛物线顶点在△AED中，
所以-2<-2a+1<3
解得： ，且a≠0
【点拨】本题考查折叠（轴对称）、二次函数顶点式、相似三角形、一次函数，是综合性较强的题目．了解相似三角形的模型是重点．
18．
【分析】先判断出得出ME，EN，进而求得CN，即可求得E的坐标，根据待定系数法求得直线AD和AE的解析式，作直线交AD于G，交AE于H，求得G、H的坐标，最后求得a的取值范围．
解：如图，过点E作轴于M，交BC延长线于N，

，
∴，
，
①，
设，，
∵由折叠的性质，且B点坐标为，
∴AB=AE=OC=10，BC=OA=7，BD=DE=BC-CD=5，
，，
代入①得，②，
根据勾股定理得，，即③，
由②③得，（舍），，，
，，
点B的坐标为，，
，，
，
，
．
设直线AD的解析式为，
代入得，，解得，
直线AD为，
设直线AE的解析式为，
代入得，，解得，
直线AE为，
，
∴抛物线的对称轴为，
把分别代入直线AD和直线AE的解析式得，，，
，，
又抛物线的顶点落在的内部，
此抛物线的顶点必在GH上．
，
．
故答案为．
【点拨】本题考查了二次函数的综合知识，是一道有关折叠的问题，主要考查二次函数、矩形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19．(1)，；(2)存在，点坐标为；(3)折痕的解析式为．
【分析】（1）利用直线解析式，容易求得、的坐标；
（2）作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则点即为所求，可求得点坐标，则容易求得点坐标；
（3）可设，由折叠的性质可得到，，在中，由勾股定理可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式．
解：（1））在中，令可得，令可求得，
，；
（2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，

则，即点即为满足条件的点，
，
，
在中，当时，可得，
点坐标为；
（3）如图2，

设，则，
，
，
由折叠的性质可得，，，
，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
，，
设直线解析式为，
，解得，
折痕的解析式为．
【点拨】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、待定系数法、方程思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中确定出点的位置是解题的关键，在（3）中求得点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
20．(1)(2)(3)存在，或或
【分析】（1）由翻折可知：，推出，，，设，在中，根据，构建方程求出即可解决问题；
（2）分两种情况当时，当时，分别求解即可解决问题；
（3）点有三种情况分别求解即可；
（1）解：如图，

的坐标，则，
在中，，则，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，解得，
故点；
（2）解：过点作于点，则，则，则，
∴，解得，故点的横坐标为，即，
正比例函数经过点


，即
，
①当点在段时，即，如下图，过点作于点，  

；
又，

②当点在段时，如下图，过点作于点，


又，

综上，；
（3）解：存在，理由：
如下图，

由（2）知，点，当时，则点，
而点，设点
①当为边时，
点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点，
即且，解得
或，
故点的坐标为或；
②当为对角线时，
由中点公式得：且，解得，
综上点的坐标为或或．
【点拨】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，平行四边形的性质，三角形相似、面积的计算等，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．
21．(1)，；(2)①有，；②．
【分析】（1）先求解的坐标，再求解反比例函数的解析式，再求解的坐标，可得为中位线，从而可得结论；
（2）①连接、，证明，可得，由，关于对称，可得点D在过点A且与垂直的直线上．可得，则当时取最小值时，有最小值，从而可得答案；②当点在x轴上时，证明，求解，则点坐标为，可得直线解析式为：，直线解析式为：，可得及中点坐标为，同理可得：直线BC解析式为：，设解析式为：，可得解析式为：，可得点F的坐标为，从而可得答案．
（1）解： 点E为中点，
，
，
将代入，得，
点F的坐标为，
∴，分别为，的中点，
∴．
（2）①连接、，，
∴，

将代入得，，
将代入得，，
，
，又，
，
，
，
∵，关于对称，
，
，
∴点D在过点A且与垂直的直线上．
，
当时取最小值时，有最小值，

如图，此时，点D在线段上．
，
又，
，
，即，
∴，
有最小值为．
②当点在x轴上时，同理可得：，
而，
∴，
，即
，点坐标为，
设直线解析式为：，代入，，
得，解得，
∴直线解析式为：，

如图，当平分时，
∴，
∴直线与轴的交点坐标为：，
∴同理可得：直线解析式为：，

联立得，解得，

∴中点坐标为，
同理可得：直线BC解析式为：，
∴设解析式为：，代入得，
解得，
∴解析式为：，
当时，，
∴点F的坐标为，
．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的解析式，矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用一次函数的性质解题是解本题的关键．
22．(1)，；(2)；(3)，，，．
【分析】（1）先求解，，可得，，从而可得，如图，取的中点,连接,而，再证明为等边三角形，可得答案；
（2）先证明，,可得,求解，可得为，过作交x轴于Q，设， 可得.，从而可得答案；
（3）由为，设，而,可得,再分三种情况讨论即可.
（1）解：∵点的坐标为，的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
如图，取的中点,连接,而，

∴，
∴为等边三角形，
∴.
（2）解：∵折叠，，
∴，，
∴，,
∴,
∴，
设为，
∴，解得：，
∴为，
过作交x轴于Q，
设，代入，
∴，
解得：，
得.
令，则
∴

（3）解：∵为，设，
而，
∴，
当时，
，
解得：，
∴，
当时，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
当时，
∴，解得：，
∴或，
综上：，，，．
【点拨】本题考查的是坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，轴对称的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，含的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，勾股定理的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，本题的综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高.
23．(1)； (2)见分析；(3)最小值为
【分析】（1）根据二次函数的解析式可求出函数图象与x轴的交点，以及二次函数图象的顶点坐标；
（2）由翻折得：，进而由对称得：，则，进而，根据，可证；
（3）根据，可得，进而根据，则，则的最小值就是的最小值，根据，可知，则当时，最小，的值最小，故当时，的最小值为；
（1）解：根据二次函数的解析式可知，
当时，，
解得：，，
故点坐标为：，
顶点横坐标为：，
将代入中得：，
故，
故答案为：；；
（2）证明：如图1，

由翻折得：，
由对称得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
∵，
∴，
∴当时，最小，的值最小，
当时，的最小值为．
【点拨】本题考查二次函数的图象与解析式的性质，相似三角形的证明，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
24．(1)y＝x2﹣2x (2)①见分析；② (3)
【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式；
（2）①根据两角相等可证明两三角形相似；
②根据，得，则，即的最小值就是的最小值，所以当时，有最小值是；
（3）根据面积的关系可得：时，相似比为，可得，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得和的长，最后再证明，可得的长，利用待定系数法可得的解析式，最后联立方程可得结论．
（1）解：∵二次函数与x轴交于O，A两点，
∴二次函数的解析式为：；
（2）①证明：如图1，

由翻折得：，
由对称得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
②解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
，
∴C，
∴，
∴当时，最小，的值最小，
当时，的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，连接，过点作于G，延长交于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，

由翻折得：，
∵，，
∴，
，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（舍），，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴Q，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴，
，
解得：，
∴直线与二次函数的交点横坐标是．
【点拨】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图像及性质，数形结合是解本题的关键．
25．(1) 见详解 (2) (3) ，
【分析】（1）先确定出点E的纵坐标为3，点F的横坐标为，即，，再求出，进而得出，判断出，即可得出结论；
（2）当点D落在上时，连接交于H，判断出，得出
，则，求出，设，则，，根据勾股定理求出，再根据，得出，即可求出答案；
（3）连接，，于，进而判断出点D落在上时，最小，判断出，求出，过点作轴于G，得出，进而得出，求出，，即可求出答案．
解：（1）∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴点E的纵坐标为3，点F的横坐标为，
又∵点E，F在时，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）在（1）中已证明，
根据折叠的性质可知：，
∴，
即点D的轨迹在过A点且垂直于的直线上，
如图中，当点D落在上时，连接交于H，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴，
根据点D的轨迹在过A点且垂直于的直线上，
可知：要使点D落在矩形内部，
则有：，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴折叠后当点D落在矩形内（不包括边界），k的取值范围为：；
（3）如图3，连接，，

由（1）知，，
由折叠知，，
∴ 于，
∴点D是过点A垂直于的射线上的点，
∴根据垂线段最短可知：点在的位置时，最小，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即，
∴ ，
过点作轴于G，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
即的最小值为，
此时的点D的坐标为．
【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，找出分界点是解（2）的关键，判断出点D在BC上时，CD最小是解（3）的关键．
26．（1），；（2）
【分析】（1）根据题意由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；
（2）根据题意设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标，进而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．
解：（1）∵反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点E（4，1），
∴k=4×1=4，
∴反比例函数的表达式为．
又∵点D（m，2）在反比例函数的图象上，
∴2m=4，解得：m=2．
（2）如图，设OG=x，则CG=OC-OG=2-x，

∵点D（2，2），
∴CD=2．
在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2-x，CD=2，DG=OG=x，
∴CD2+CG2=DG2，即4+（2-x）2=x2，
解得：x=2，
∴点G（0，2）．
∴点F的坐标为（2，0）．
设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，
∴则有，解得．
∴折痕FG所在直线的函数关系式为．
【点拨】本题考查一次函数的性质以及反比例函数的性质，待定系数法，矩形的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．