专题3.17 函数中的折叠问题（基础篇）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用）

这是一份专题3.17 函数中的折叠问题（基础篇）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题3.17 函数中的折叠问题（基础篇）
一、单选题
1．如图，直线分别交轴、轴于、两点，在轴的负半轴上有一点，若将沿直线折叠得到，点在轴上，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
2．将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，，点是边上一动点，过点的反比例函数与边交于点．若将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上． 则反比例函数的解析式是（    ）

A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处．若点D的坐标为．则点E的坐标为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（   ）

A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，将沿直线折叠，使得点落在点处，与交于点，则点的纵坐标为（　　）

A． B． C． D．4
7．如图，长方形 AOBC 中，点 A 的坐标为（0，8)，点 D 的纵坐标为 3，若将矩形沿直线 AD 折叠，则顶点 C 恰好落在边 OB 上的 E 处，那么图中阴影部分的面积为(   )

A．30 B．32 C．34 D．36
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是OB上一点，将沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为____________．

10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为______．

11．如图，长方形 ABCO 的边 AO，CO 正好落在坐标轴上，且 AB=4，OA=2，点 D 是线段 OC 上一点，点 E 为线段 AB 上一点，沿 DE 折叠，使点 B 与点 O 重合，点 C 落到 C＇处，则此时点 D 的坐标为___．

12．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为_________________．

13．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若，，则点E的坐标是______．

14．如图，在矩形OABC中，BC=2AB，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，点C坐标为(0，a)，连接AC，将矩形OABC沿AC折叠，点B的对应点为点B′，CB′交x轴于点D，则点D的坐标为_______（用含a的式子表示）．

15．将抛物线向上平移一个单位后，又沿轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是__________．
16．点在双曲线上，将双曲线沿y轴折叠得到双曲线，将线段绕点O旋转，点A刚好落在双曲线上的点处，则m和n的数量关系是_________．
17．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，已知AD=3，当点F为线段OC的三等分点时，点E的坐标为_____．

三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，，点B的坐标为．将沿AC折叠得到，点B落在点D的位置，交y轴于点E，
(1) 求点D的坐标．
(2) 求经过点A、D的直线的解析式．

19．如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接，且．
（1）求所在直线的解析式；
（2）将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积；
（3）若过一定点M的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则点M的坐标为________．



20．如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，
（1）点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式．





21．如图，梯形中，，，．，，其中．作于点，将沿直线折叠，点落在处，交于点．
（1）用含有的代数式表示的长；
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）当为何值时，有最大值，并求出这个最大值．




22．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=－+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．




23．如图，直线 AB 与 x 轴、y  轴分别交于点A、点B ，OA：OB：AB=3：4：5，且线段 OA 是方程的解， M 是线段 OB 上一点，若将 ∆ABM 沿直线AM  折叠，点B 恰好落在x 轴上的点P 处．
（1）求点 P 的坐标；
（2）在y  轴上是否存在点 N ，使 ∆APN  是以PN  为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点N  的坐标，若不存在，请说明理由．






24．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，与直线交于点．

（1）点的坐标是  ，点的坐标是  ，点的坐标是  ；
（2）将沿轴折叠后，点的对应点为，试判断点是否在直线上，并说明理由；
（3）求的面积．








25．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，与直线交于点．
（1）点的坐标是________，点的坐标是________，点的坐标是________；
（2）将沿轴折叠后，点的对应点为，试判断点是否在直线上，并说明理由；
（3）求的面积．




参考答案
1．A
【分析】根据题意易得点，则根据勾股定理可得AB=10，设点，则有，AC=AB=10，OC=16，然后利用勾股定理可求解．
解：令x=0时，则有y=8，令y=0时，则有，解得x=6，
∴点，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，，
∵将沿直线折叠得到，
∴AB=AC=10，BD=DC，
∴OC=16，
设点，则有，，
在Rt△DOC中，，即，
解得：，
∴点；
故选A．
【点拨】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质及勾股定理、折叠的性质是解题的关键．
2．D
【分析】关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可．
解：根据题意，得
翻折后抛物线的解析式的解析式为：．
即．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换．总结：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数．关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数．关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数．
3．C
【分析】设,求得DC=,AE=，得到DB=6-,BE=4-,根据三角函数的定义得到tan∠BAC= tan∠BED，根据平行线的判定定理得到DE∥AC,连接BF，根据折叠的性质得到BH=FH，根据平行线分线段成比例得到AE=BE=2，于是得到结论.
解：
∵四边形OABC是矩形，OA=6,OC=4,
∴BC=OA=6,AB=OC=4,
∴,
设,
∴DC=,AE=,
∴DB=6-,BE=4-,
∴tan∠BED==,
∵tan∠BAC=,
∴tan∠BAC= tan∠BED，
∴∠BED=∠BAC,
∴DE∥AC,
连接BF,
∵将△DBE沿DE折叠，点B的对应点F正好落在对角线AC上,
∴BH=FH，
∴AE=BE=2,
∴,
∴k=12.
∴反比例函数的解析式.
故选C.
【点拨】本题主要考查反比例函数的图像性质，结合了矩形的性质和翻转折叠的知识点.
4．A
【分析】先根据点D的坐标得到，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
解：∵四边形是长方形，点D的坐标为，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．A
【分析】根据折叠的性质可得，，再求出，可得，然后在中，由勾股定理，即可求解．
解：根据题意得：，，
∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴点．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
6．A
【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出，进而可得出，设点的坐标为，则，，利用勾股定理即可求出值，再根据点的坐标，过点作轴于点，利用，可以求出的长，进而可以解决问题．
解：，，，，
四边形为矩形，
．
，
，
．
设点的坐标为，则，，
在中，，，，
，
，
点的坐标为．
，
，
如图，过点作轴于点，

由翻折得：，，
，
，
，
，
即点的纵坐标为．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了矩形的判定和性质，图形的折叠，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，图形的折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
7．A
【分析】根据A、D的纵坐标即可求得CD的长，根据勾股定理即可求得BE的长，然后在直角△OAE中，利用勾股定理即可得到方程求得AC的长，则根据即可求解．
解：设AC=x，则AC=AE=OB=x，
∵点A的坐标为（0，8），
∴OA=BC=8，
∵点D的纵坐标为3，
∴CD=DE=BC-BD=8-3=5，
在直角△BDE中，BE==4，
则OE=x-4，
在直角△AOE中，，即，
解得：x=10，
则=AC•CD=×10×5=25，
=10×8=80，
则=80-25-25=30．
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，以及折叠的性质，勾股定理，正确求得AC的长是关键．
8．B
【分析】根据折叠的性质可得，，再求出AB=5，可得，然后在中，由勾股定理，即可求解．
解：根据题意得：，，
∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴OA=3，OB=4，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴点．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
9．(5，)
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=3，然后设EC=x，则EF=DE=4-x，CF=5-3=2，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(5，4)，
∴AD=OC=5，DC=AO=4，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=5，DE=EF，
在Rt△AOF中，OF= =3，
∴FC=5−3=2，
设EC=x，则DE=EF=4−x，
在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，
即(4−x)2=x2+22，
解得x=，即EC的长为，
∴点E的坐标为(5，)．
故答案为：(5，)．
【点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，根据题意求出EC的长为，是解题的关键．
10．12
【分析】过作EF⊥OC于F，交AB于E，设，OF=m，，通过证明，得到 ，解方程组求得m与n的值，即可得到的坐标进而得到反比例函数中k的值．
解：如图所示

过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，由折叠性质以及正方形性质可得：，




，
设A′（m，n），
∴OF=m，A′F=n．
∵ 正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，
∴ ，A′E=5−n．

即
解得：m=3，n=4．
∴
∴ 反比例函数中k=xy（k≠0）=12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得的坐标是解决本题的关键．
11．（2.5，0）
【分析】由折叠的性质可得BE=OE，∠BED=∠OED，然后可得OE=OD，设BE=OE=x，则AE=4-x，进而根据勾股定理可建立方程求解x，最后问题可求解．
解：∵AB∥OC，
∴∠BED=∠EDO，
由折叠的性质可得BE=OE，∠BED=∠OED，
∴∠EDO=∠OED，
∴OE=OD，
设BE=OE=x，则AE=4-x，
∴在Rt△AEO中，由勾股定理得：，
解得：，
∴OE=OD=2.5，
∴点 D 的坐标为（2.5，0）；
故答案为（2.5，0）．
【点拨】本题主要考查坐标与图形、矩形的性质、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握坐标与图形、矩形的性质、勾股定理及折叠的性质是解题的关键．
12．（12，0）或（3，0）##（ 3，0）或（-12，0）
【分析】分两种情况讨论：当A点落在y轴坐标轴上A'处时，在Rt△A'CO中，（8m）2=162+m2，求出m；当A点落在y轴负半轴上A'处时，在Rt△A'CO中，（8m）2=42+m2，求出m；即可求解．
解：∵，
∴A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=10，
设C（m，0），
如图1，当A点落在y轴坐标轴上A'处时，连结AA'，A'C，

∵A与A'关于BC对称，
∴AC=A'C，AB=A'B=10，
∴OA'=16，
∴AC=8m，AC=A'C=8m，
在Rt△A'CO中，（8m）2=162+m2，
∴m=12，
∴C（12，0）；
如图2，当A点落在y轴负半轴上A'处时，连结AA'，A'C，

由对称可得，AC=A'C=8m，A'B=AB=10，
∴OA'=4，
在Rt△A'CO中，（8m）2=42+m2，
∴m=3，
∴C（3，0）；
综上所述：C点坐标为（12，0）或（3，0），
故答案为：（12，0）或（3，0）．
【点拨】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，灵活应用轴对称的性质，勾股定理解题是关键．
13．
【分析】设，根据题意可得在中，在中勾股定理分别求得的值，进而即可求得点的坐标．
解：

四边形是长方形

根据折叠的性质可得
设，根据题意可得


在中，
即
解得

在中，
即
解得

点在第二象限

故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理，坐标与图形，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
14．（，0）
【分析】首先证明△ACD是等腰三角形，在直角△OCD中利用勾股定理即可求得OD的长，即可求得D的坐标．
解：∵矩形OABC中，BC∥OA，
∴∠BCA=∠CAO，
根据折叠的性质得∠BCA=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAO，
∴CD=AD，
∵点C坐标为(0，a)，且BC=2AB，
∴OC=AB=a，BC=OA=2a，
设CD=AD=x，则OD=2a-x，
在直角△OCD中，OC2+OD2=CD2，则a2+(2a-x)2=x2，
解得：x=，
则OD==，则D的坐标是（，0）．
故答案为：（，0）．
【点拨】本题考查了折叠的性质和勾股定理的应用，熟练掌握性质和定理是关键．
15．
【分析】先确定抛物线的二次项系数，顶点坐标为（0，3），向上平移一个单位后顶点坐标为（0，4），翻折后二次项系数，顶点坐标变为（0，-4），然后根据顶点式写出新抛物线的解析式．
解：抛物线的顶点坐标为（0，3），点（0，3）向上平移一个单位所得对应点的坐标为（0，4），点（0，4）关于x轴的对称点的坐标为（0，-4），
∵原抛物线，则开口向上，
∴翻折之后，新抛物线开口向下，，
∴新抛物线的解析式为：，
故答案为：．
【点拨】此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，翻折后开口方向改变，但是大小没变，因此二次项系数改变的只是符号，正确掌握平移的规律并运用解题是关键．
16．m=n或mn=8
【分析】分两种情况讨论：①当点A与点D关于y轴对称时，A（a，m），D（d，n）易得m、n的关系；
②当A绕点O逆时针旋转90°时，得到D'，D'在，作D'H⊥y轴，△ABO≌△D'HO，找出D'坐标，代入即可.
解：如图所示，①当点A与点D关于y轴对称时，A（a，m），D（d，n），
∴m=n
②当A绕点O逆时针旋转90°时，得到D'，D'在上，作D'H⊥y轴，△ABO≌△D'HO，∴OB=OH，AB=D'H，∵A（a，m），∴D'（-m，a）即D'（-m，n）
∵D'在上，∴mn=8
综上所述，满足条件的m，n的关系式是m=n或mn=8.

【点拨】本题考查一次函数的图象和性质、直角三角形的边角关系，分类讨论是解题的关键．
17．（3，）或（3，）．
【分析】设CE=x，分两种情况讨论：①当CF=1时，OF=2；②当CF=2时，OF=1，在Rt△CEF中，依据勾股定理可得CE2+CF2=EF2，据此可得方程，即可得到CE的长，进而得出点E的坐标．
解：∵AD=OC=3=AF，而点F为线段OC的三等分点，
∴CF=1或2，
设CE=x，当CF=1时，OF=2，
在Rt△AOF中，AO=，
∴CD=，DE=-x=EF，
∵Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，
∴x2+12=（-x）2，
解得x=，
即CE=，
∴E（3，）；
②当CF=2时，OF=1，
在Rt△AOF中，AO=，
∴CD=2，DE=2-x=EF，
∵Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，
∴x2+22=（2-x）2，
解得x=，
即CE=，
∴E（3，）；
故答案为：（3，）或（3，）．
【点拨】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
18．(1)(2)经过点A、D的直线的解析式为：
【分析】（1）过点D作，根据点B的坐标为得，，根据，将沿AC折叠得到得，，即可得，利用AAS证明，得，设，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，即可得，，根据三角形的面积得，计算得，在中，根据勾股定理得，即可得，根据点D在第二象限内，即可得；
（2）根据轴，点B的坐标为得A的坐标为：，设经过点A、D的直线的解析式为，将，代入，进行计算即可得．
（1）解：如图所示，过点D作，

∵点B的坐标为，
∴，，
∵，将沿AC折叠得到，
∴，，
∴，
在和中，

∴（AAS），
∴，
设，则，，
在中，根据勾股定理得，，




∴，，
∵，
∴，
，
在中，，
∴，
∵点D在第二象限内，
∴点D的坐标为；
（2）解：∵轴，点B的坐标为，
∴点A的坐标为：，
设经过点A、D的直线的解析式为，将，代入，得

，得，

，
将代入①中，得，
即经过点A、D的直线的解析式为：．
【点拨】本题考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的性质，一次函数解析式，解题的关键是理解题意，掌握并灵活运用这些知识点．
19．（1）；（2）10；（3）（4，2）．
【分析】（1）首先根据勾股定理求出OC=4，OA=8，然后利用待定系数法求解所在直线的解析式即可；
（2）首先由折叠的性质得到AE=CE，然后在Rt△OCE中，根据勾股定理求出AE=CE=5，然后根据等腰三角形的性质求出CF=CE=5，最后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据矩形的中心对称性质可得点M为矩形ABCD对角线的交点，然后根据中点坐标公式求解即可．
解：（1）∵OA=2CO，
设OC=x，则OA=2x
在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2，
∴x2+（2x）2=（4）2
解得x=4（x=﹣4舍去）
∴OC=4，OA=8
∴A（8，0），C（0，4）
设直线AC解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AC解析式为y=﹣x+4；
（2）由折叠得AE=CE，

设AE=CE=y，则OE=8﹣y，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，
∴（8﹣y）2+42=y2
解得y=5
∴AE=CE=5
在矩形OABC中，
∵BCOA，
∴∠CFE=∠AEF，
由折叠得∠AEF=∠CEF，
∴∠CFE=∠CEF
∴CF=CE=5
∴S△CEF=CF•OC=×5×4=10
即重叠部分的面积为10；
（3）∵矩形是一个中心对称图形，对称中心是对角线的交点，
∴任何一个经过对角线交点的直线都把矩形的面积平分，
所以点M即为矩形ABCD对角线的交点，即M点为AC的中点，
∵A（8，0），C（0，4），
∴M点坐标为（4，2）．
【点拨】此题考查了矩形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数表达式等知识，，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数表达式．
20．（1）（0，3），（2）y＝﹣x+3．
【分析】（1）由解析式求出B（0，8），A（6，0）；由勾股定理和折叠的性质，可求得AB′与OB′的长，BM＝B′M，然后设MO＝x，由在Rt△OMB′中，OM2+OB′2＝B′M2，求出M的坐标；
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b，再把A、M坐标代入就能求出解析式．
解：（1）当x＝0时，y＝8，即B（0，8），当y＝0时，，解得x＝6，即A（6，0）；
∴OA＝6，OB＝8，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝10，
由折叠的性质，得：AB＝AB′＝10，
∴OB′＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
设MO＝x，则MB＝MB′＝8﹣x，
在Rt△OMB′中，OM2+OB′2＝B′M2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴M点坐标为（0，3），
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b，把（0，3）；（6，0），
代入得，解得，
直线AM的解析式为y＝﹣x+3．
【点拨】此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，解答本题的关键是求出OM的长度．
21．（1）；（2）；（3）当时，有最大值，最大值为150
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质解题；
（2）由等腰直角三角形的性质及三角形面积公式解题；
（3）将函数关系配方成顶点式，结合二次函数图象与性质解题．
解：（1）由题意，得，，
∴．
（2）∵，，
∴．∴，
∴；
（3）；
∵，，∴当时，有最大值，最大值为150．
【点拨】本题考查二次函数与几何综合，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．（1）见分析；（2）见分析；（3）（﹣4，0）或（12，0）
试题分析：由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得∠EDO=∠DBA，可证明△ABD∽△ODE；由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标．
解：（1）证明：∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠BCE=90°，∵∠BAD=90°，
∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，
∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，
∴△ABD∽△ODE；
（2） 证明：∵，
∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，
∴CE=DE=5x，∴AB=OC=CE+OE=8x，
又∵△ABD∽△ODE，
∴，
∴DA=6x，∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，即，解得x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，
∴抛物线解析式为y=﹣+3，
当x=10时，代入可得y=，
∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF=
∴BF=DF，
又M为Rt△BDE斜边上的中点，
∴MD=MB，
∴MF为线段BD的垂直平分线，
∴MF⊥BD；
（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=﹣+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，
令y=0，可得0=﹣+3，解得x=﹣4或x=12，∴M（﹣4，0），N（12，0），
过D作DG⊥BC于点G，如图所示，

则DG=DM=DN=8，∴点M、N即为满足条件的Q点，
∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．
考点：二次函数综合题
23．（1）点P的坐标为(−2，0)；（2）存在，点N  的坐标(0，4)或(0，-4)．
【分析】（1）解方程求得OA、OB、AB的长，利用折叠的性质即可求解；
（2）设点N  的坐标(0，a)，由题意得AN=AP=5，利用勾股定理即可求解．
解：（1）解方程，
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴ OA=3，
∵OA：OB：AB=3：4：5，
∴OB=4，AB=5，
根据折叠的性质知：AP= AB=5，
∴OP=AP-OA=5-3=2，
∴点P的坐标为(−2，0)；
（2）存在，理由如下：
设点N  的坐标(0，a)，
 ∵∆APN  是以PN  为底的等腰三角形，
∴AN=AP=5，即,
∴,
解得：，
∴点N  的坐标(0，4)或(0，-4)．
【点拨】本题考查了解分式方程，坐标与图形的性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（1）；；；（2）点在直线上，理由详见分析；（3）
【分析】（1）直线l1：y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，令y＝0，求得x＝−3，令x＝0，求得y＝3，得到A、B的坐标将直线l1：y＝x＋3和直线l2：y＝−x联立组成有关x、y的方程组，解方程就能求出两直线的交点P坐标；
（2）求得P′的坐标，代入y＝−x＋4即可判断；
（3）求得Q、R、C点的坐标，再过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据割补法即可求得．
解：（1）∵直线l1：y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令y＝0，求得x＝−3，令x＝0，求得y＝3，
∴A（−3，0）、B（0，3），
∵直线l1与直线l2：y＝−x交于点P．
∴解得
，
∴P（−2，1），
故答案为：（−3，0），（0，3），（−2，1）；
（2）点在直线上，理由如下：
因为，且将沿轴折叠后，点与点关于轴对称，
所以，
当时，代入得，
所以点在直线上．
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，

由得
所以，
由得
所以，
对于，令得，
所以，
∴= ，
，
，
所以．
【点拨】本题考查了两条直线相交问题，解题的关键是熟知两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
25．（1），，；（2）见分析；（3）
【分析】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，令，求得，令，求得，得到、的坐标将直线和直线联立组成有关、的方程组，解方程就能求出两直线的交点坐标；
（2）求得的坐标，代入即可判断；
（3）求得、、点的坐标，然后根据即可求得．
解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
令，求得，令，求得，
、，
直线与直线交于点．
解得，
，
故答案为：，，；
（2）点在直线上
，且将沿轴折叠后，点与点关于轴对称，
，
当时，代入得，
点在直线上；
（3）分别过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，
由 得，
，，
由  得
，
对于，则得，
，，
，
，
，
．

【点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即 k值相同．