专题3.18 函数中的折叠问题（巩固篇）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用）

这是一份专题3.18 函数中的折叠问题（巩固篇）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精选精练（全国通用），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题3.18 函数中的折叠问题（巩固篇）
一、单选题
1．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标（　　）

A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
2．如图，已知点的坐标为，过点作轴的垂线交轴于点，连接，现将沿折叠，点落在第一象限的处，则直线与轴的交点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点是y轴上一点．把坐标平面沿直线折叠，使点B刚好落在x轴上，则a值为（    ）.
A． B． C． D．
4．如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A(8，0)，∠C＝60°，点P为OA上的一点，且点P(3，0)，Q是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线PQ折叠，O的对应点，当的长度最小时，则点Q的坐标为（　　）

A．(﹣1，4) B．(﹣2，4) C．(﹣3，4) D．(0，4)
5．如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ）

A． B．C． D．
6．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3
7．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则k的值为（）

A．9 B．12 C．18 D．24
9．如图，以矩形的长作轴，以宽作轴建立平面直角坐标系，，现作反比例函数交于点，交于点，沿折叠，点落在的点处，，则的值是（    ）

A．8 B．12 C．15 D．16
10．如图，矩形的两条边，分别落在轴、轴上，点坐标为，点坐标为，点在线段上，沿直线将矩形折叠，使点与轴上的点重合，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴分别相交于两点，将沿过点的直线折叠，使点落在x轴负半轴上的点处，，折痕所在直线交y轴正半轴于点C．把直线AB向左平移，使之经过点，则平移后直线的函数关系式是_____．

12．如图，在直角坐标系中有一矩形，在轴上，且，平行于轴，且，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，是轴上一动点，则的最小值为______．

13．如图，抛物线交轴于、两点(在的左侧)，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是_____．

14．在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x−2)经过原点O,与x轴的另一个交点为A．将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,过点B(0,1)作直线l平行于x轴，当图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时，x的取值范围是____.

15．将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点在边上，连接，把沿折叠，使点恰好落在边上点处，反比例函数的图像经过点，则的值为______．

17．如图，把面积为1的正方形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点B、C在x轴上，A、D和B、C关于y轴对称将C点折叠到y轴上的C′处，折痕为BP，现有一反比例函数的图象经过P点，则该反比例函数的解析式为____________________．

18．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，OA=8，点D为对角线OB的中点，若反比例函数在第一象限内的图象与矩形的边BC交于点F，与矩形边AB交于点E，反比例函数图象经过点D，且tan∠BOA=，设直线EF的表达式为y=k2x+b．将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕与x轴正半轴交于点H，与y轴正半轴交于点G，直接写出线段OG的长_______．

三、解答题
19．如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为．
(1) 求证：为等腰三角形；
(2) 求的函数表达式
(3) 求折痕的长．







20．如图，矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是，矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与、x轴分别交于点D、F．
(1) 直接写出线段的长；
(2) 求直线解析式；
(3) 若点N在直线BD上，在x轴上是否存在点M，使以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出一个满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．




21．已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．
(1) 求抛物线解析式及顶点坐标；
(2) 当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值；
(3) 将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由．






22．矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E(8,m)，AB＝4．

(1) 如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
(2) 如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．









23．如图，二次函数与轴交于，两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．
(1) 求二次函数的表达式；
(2) ①求证：；
②求的最小值；





24．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
(1) 当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________；
(2) 连接EF，求∠FEC的正切值；
(3) 如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．









参考答案
1．C
【分析】即求A点关于OB的对称点的坐标．通过解方程组求解．
解：∵tan∠BOC=，∴OC=2BC．
∵OC2+BC2=OB2=5，∴BC=1，OC=2．
所以A（1，0），B（1，2）．
直线OB方程：y﹣2=2（x﹣1），A′和A关于OB对称，假设A′（x0，y0），AA'中点为M（x，y），则x=，y=．
∵M（x，y）在直线OB： y﹣2=2（x﹣1）上，∴﹣2=2（﹣1），即y0=2（x0+1）．
∵x02+y02=OA'2=OA2=1，∴x02+4（x0+1）2=1，∴5x02+8x0+3=0．
解得：x0=﹣1或者x0=﹣，
当x0=﹣1时，y0=0，不合题意，舍去；
当x0=﹣时，y0=．
所以A（﹣）．
故选C．
【点拨】主要考查了坐标与图形的性质，矩形的性质和翻折变换，三角函数的运用以及一次函数的应用．要熟练掌握才会灵活运用．
2．D
【分析】根据对称性得到∠BAO=∠CAO，由AB∥y轴得∠COA=∠BAO，可推出CA=CO，再根据勾股定理即可求得OC，进而求出直线AD解析式即可得结论．
解：根据翻折可知：
∠BAO=∠CAO，∠ABO=∠AB'O=90°，AB'=AB=9，OB'=OB=3．
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∴∠BAO=∠COA，
∴∠CAO=∠COA，
∴CA=CO，
设CA=x，则CO=x，CB'=9﹣x，
在Rt△OCB'中，根据勾股定理，得
OC2=OB'2+B'C2，即x2=32+(9﹣x)2，
解得：x=5，
∴OC=5，
∴C(0，5)，
设直线AD解析式为y=kx+b，
将A(﹣3，9)，C(0，5)代入，得
b=5，﹣3k+5=9，
解得：k，
∴直线AD解析式为yx+5，
当y=0时，x，
∴D点的坐标为(，0)．
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、翻折变换、勾股定理，解决本题的关键是根据勾股定理求得OC的长．
3．A
【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（12，0），（0，5），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=a，DA=OA=12，则DB=13-12=1，BC=5-a，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到a的方程，解方程求出n即可．
解：过C作CD⊥AB于D，如图，

对于直线，
当x=0，得y=5,
当y=0，x=12，
∴A（12，0），B（0，5），即OA=12，OB=5，
∴AB= ，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=a，则BC=5-a，
∴DA=OA=12，
∴DB=13-12=1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，
∴a2+12=（5-a）2，
解得a=,
故选：A．
【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
4．C
【分析】连接BP，设BC交y轴于T，首先求出PB的长，由题意，当点O′落在BP上时，BO′的值最小，此时∠OPQ＝∠QPB，证明BQ＝BP＝7，可得结论；
解：如图，连接BP，设BC交y轴于T．

∵A（8，0），四边形OABC是菱形，
∴OA＝OC＝BC＝8，
∵∠C＝60°，∠OTC＝90°，
∴CTOC＝4，OT，
∴B（4，4），
∵P（3，0），
∴PB，
∵OP＝PO′＝3，
∴当点O′落在BP上时，BO′的值最小，此时∠OPQ＝∠QPB，
∵BC∥OA，
∴∠BQP＝∠OPQ，
∴∠BPQ＝∠BQP，
∴BQ＝BP＝7，
∴CQ＝BC﹣BQ＝8﹣7＝1，
∴Q（﹣3，4）；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形对称变化，翻折变换，等边三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
5．D
【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可．
解：∵，
∴，
由题意知：，
∴，
由折叠的性质可得：，
当点P与AB中点重合时，则有，
当点P在AB中点的左侧时，即，
∴与重叠部分的面积为；
当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示：

由折叠性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴与重叠部分的面积为；
综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．
6．A
【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．
解：抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，
即y＝﹣x2+2x+3，
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．
7．C
解：由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC1，
∴∠BPE=∠C1PE，
∴∠BPE+∠CPD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CPD+∠PDC=90°，
∴∠BPE=∠PDC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△PCD∽△EBP，
∴，
即，
∴y=x（5﹣x）=﹣（x﹣）2+，
∴函数图象为C选项图象．
故选C．
【点拨】考点：动点问题的函数图象、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质
8．B
【分析】过作于F，交于E，设，则，通过证明，得到，解方程组求得m、n的值，即可得到的坐标，代入即可求得k的值．
解：过作于F，交于E，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
由折叠得：，，
∵，点D是边上靠近点A的三等分点，
∴，，，
∴，
易得四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质等知识，求得的坐标是解题的关键．
9．B
【分析】根据OG=3GC且OC=8可求得GC的长，根据折叠的性质得BE=EG，设CE=x，则BE=EG=4-x，在Rt中根据勾股定理可求得CE的长，从而求得点E的坐标，即可求得答案．
解：∵OG=3GC，OC=8，
∴GC=2，
根据折叠的性质得BE=EG，
设CE=x，则BE=EG=4-x，
∵四边形是矩形，
∴，
在Rt中，，即，
解得：，
∴点E的坐标为(8，)，
将(8，)代入，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，还考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理求得点E的坐标是解题的关键．
10．A
【分析】设 确定再求解 再利用勾股定理列方程求解即可．
解： 矩形， A点坐标为，点坐标为，

设
结合对折可得：

而
由勾股定理可得：
解得：

故选A
【点拨】本题考查的是坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，熟练的利用轴对称的性质确定相等的边是解本题的关键．
11．
【分析】先求得的坐标，然后由勾股定理求出，再由折叠的性质得出，求得，在中，根据勾股定理，列出方程，解方程即可求得点的坐标，即可求得平移后的解析式．
解：∵直线，与轴分别相交于两点，
令，解得，令，解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，
，
即，
解得，
∴，
∴平移后的直线的解析式为．
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，求得点的坐标是解题的关键．
12．
【分析】根据矩形的性质得到BC＝AD＝5，CD＝AB＝4，∠BAD＝∠C＝∠ABC＝90°，根据折叠的性质得到DE＝AD＝5，∠DEO＝∠BAD＝90°，OE＝AO，根据勾股定理得到CE，求得BE＝2，根据勾股定理得到OA，作点A关于x轴的对称点A′，连接DA′交x轴于P，则PA＋PD的值最小，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝4，∠BAD＝∠C＝∠ABC＝90°，
∵将矩形ABCD沿OD折叠，使得点A落在BC边上的点E处，
∴DE＝AD＝5，∠DEO＝∠BAD＝90°，OE＝AO，
∴，
∴BE＝2，
∵，
∴，
∴OA＝，
作点A关于x轴的对称点A′，连接DA′交x轴于P，则PA＋PD的值最小，
则OA′＝OA＝2.5，
∴AA′＝5，
∴PA＋PD的最小值＝
故答案为：．

【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理，正确地找到点P的位置是解题的关键．
13．##
【分析】先根据抛物线解析式求出点，，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论．
解：令，则，
解得，，
，，
，，
令，则，
，
，
，
为中点，
，
由沿折叠所得，
，
在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当，，在同一直线上时，最小，

过点作，垂足为，
，，
，
，
又，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标．
14．12+.
【分析】先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象计算可得对应取值范围.
解：由题意可得抛物线：y=(x−2)，
对称轴是：直线x=2,由对称性得：A(4,0),
沿x轴折叠后所得抛物线为：y=−(x−2)；
如图，由题意得：
当y=1时, (x−2)=1，
解得：x=2+ ,x =2−，
∴C(2−,1),F(2+,1)，
当y=1时,−(x−2)=1，
解得：x=3,x=1，
∴D(1,1),E(3,1)，
由图象得：图象G在直线l上方的部分,当12+时，函数y随x增大而增大；
故答案为12+.
【点拨】此题考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于结合函数图象进行解答.
15．0＜b＜
【分析】画出图象，利用图象法解决即可．
解：将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线为y＝﹣x2+4x（0≤x≤4）
画出函数如图，

由图象可知，
当直线y＝x+b经过原点时有两个公共点，此时b＝0，
解，整理得x2﹣3x+b＝0，
若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，
则△＝9﹣4b＞0，
解得
所以，当0＜b＜时，直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，
故答案为．
【点拨】本题考查了二次函数图像的折叠问题，解决本题的关键是能够根据题意画出二次函数折叠后的图像，掌握二次函数与一元二次方程的关系.
16．30
【分析】首先根据翻折变换的性质，可得DE=BD；然后设点D的坐标是，在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．
解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点
∴AE=AB=， DE=BD，
∴OE=
设点D的坐标是， 则CD=b，，
∵，
∴
解得：
∴点D的坐标是，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴
故答案为：
【点拨】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，反比例函数图像上点的坐标特点，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．
17．y=．
解：依题意知BC'=BC=1，OB=，
∴C'的纵坐标为，∠OBC′=60°，
∴△C'BC为等边三角形，
所以∠PBC=30°
∴PC=BCtan30°=
∴P（，）
设该反比例函数的解析式为y=，
则k=xy=
∴y=．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
18．
【分析】利用正切的定义计算出AB得到B点坐标为（8，4），则可得到D（4，2），然后利用待定系数法确定反比例函数表达式；利用反比例函数图象上点的坐标特征确定F（2，4），连接GF，如图，设OG＝t，则CG＝4−t，利用折叠的性质得到GF＝OG＝t，则利用勾股定理得到22＋（4−t）2＝t2，然后解方程求出t得到OG的长．
解：在Rt△AOB中，∵tan∠BOA＝＝，
∴AB＝OA＝×8＝4，
∴B点坐标为（8，4），
∵点D为对角线OB的中点，
∴D（4，2），
把D（4，2）代入y＝，得k1＝4×2＝8，
∴反比例函数表达式为；
当y＝4时，＝4，解得x＝2，则F（2，4），
∴CF=2，
连接GF，如图，

设OG＝t，则CG＝4−t，
∵将矩形折叠，使点O与点F重合，
∴GF＝OG＝t，
在Rt△CGF中，22＋（4−t）2＝t2，解得t＝，
即OG的长为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、折叠的性质和矩形的性质；会运用待定系数法求反比例函数解析式；会运用三角函数的定义和勾股定理进行几何计算．
19．(1) 见分析 (2) (3)
【分析】（1）利用折叠的性质及平行线的性质推出即可；
（2）由矩形的性质得到设点E的坐标为，在中，勾股定理得，即，求出点E的坐标，再同理得到点F的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式；
（3）过点E作于点H，利用勾股定理求出折痕的长．
解：（1）证明：由折叠得，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）点B的坐标为，四边形为矩形，
∴
设点E的坐标为，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
同理可得，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为
（3）过点E作于点H，

∵，，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键．
20．(1) (2) (3) 存在，
【分析】（1）由点的坐标的特点可得，由矩形的性质可得，再利用勾股定理即可求出的长；
（2）设，由矩形的性质得出，由折叠的性质得出，根据全等三角形的性质得出，，再结合勾股定理求出D点坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（3）过点E作轴与点G，过点E作，交轴于点M，过点M作，交直线于点N，此时，四边形是平行四边形，，通过证明，利用相似三角形的性质可求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式即可求解．
解：（1）∵在矩形中，点B的坐标是，
∴，，
；
（2）∵四边形是矩形，
∴，，
设，
，
∵矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，
，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，
设直线解析式为，
把代入，得，
解得，
∴直线解析式为；
（3）过点E作轴与点G，过点E作，交轴于点M，过点M作，交直线于点N，
此时，四边形是平行四边形，，








，
∵直线解析式为，
∴设直线解析式为，
把点代入，得
解得，
直线解析式为，
当时，，
．
【点拨】本题主要考查了四边形综合问题，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的问题利用勾股定理构造直角三角形进行求解，分情况讨论平行四边形的边及对角线的情况．
21．(1)； (2)秒 (3)能，秒或秒或秒
【分析】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线，待定系数求解析式即可求解；
（2）设．三点，，构成以为为斜边的直角三角形，勾股定理得出，．继而得出直线的解析式为，当时，，得出，进而即可求解；
（3）分三种情况讨论，①点在轴正半轴上；②点在y轴负半轴上，③点在轴负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解．
（1）解：由题意得，
解得，
抛物线的解析式为；
，
顶点的坐标为；
（2）如图1，

设．
三点，，构成以为斜边的直角三角形，
，
即，
整理，得，
解得，舍去，
．
设直线的解析式为，则，
解得，
．
当时，，
，
秒；
（3）分三种情况：
①若点在轴正半轴上，如图2，

可得，
即，
解得；
②若点在y轴负半轴上，如图3，连接交OB于E．

可得，
，
，
，
，
，
．
在与中，
，
，
，
；
③若点在轴负半轴上，如图

可得，
即，
解得；
综上所述，所有满足条件的的值为秒或秒或秒．
【点拨】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1) ①y② (2) 20
【分析】(1 )①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；
②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF的长，设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，利用勾股定理列方程，从而解决问题；
(2 )利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF＝2m，再利用矩形面积减去△OCF和△BEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值．
（1）解：①∵BE＝3AE，AB＝4，
∴AE＝1，BE＝3，
∴E(8，1)，
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数表达式为y；
②当y＝4时，x＝2，
∴F(2,4)，
∴CF＝2，
设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，
由勾股定理得，
，
解得x，
∴OG；
（2）解：∵点E、F在反比例函数的图象上，
∴CF×4＝8m，
∴CF＝2m，
∴四边形OAEF的面积为8×4
=-+4m+16＝﹣+20，
∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．
【点拨】本题考查待系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形，二次函数的最值，熟练掌握用待系数法求反比例函数解析式、勾股定理、二次函数的性质是解题的关键．
23．(1) (2) ①证明见分析；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先证明，得到，由折叠的性质可知，则，再由，即可证明；②由折叠的性质可得，由相似三角形的性质得到，则，进而推出当时，最小，求出，则，求出，即可得到答案．
（1）解：∵二次函数与轴交于，两点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）证明：①∵点C是二次函数的顶点，O、A关于二次函数对称轴对称，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
又∵，
∴；
②由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴要使最小，即要使最小，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，
∵二次函数解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1)(2，3) (2) (3)
【分析】（1）求出点F的坐标，进而求出反比例函数的表达式，即可求解；
（2）由CF=BC-BF，CE=AC-AE，求出CF、CE，即可求解；
（3）证明△EHG∽△GBF，即可求解．
（1）解：∵OB=4，OA=3，
∴点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3），
点F运动到边BC的中点时，点F（4，），
将点F的坐标代入y=并解得：k=6，
故反比例函数的表达式为：y=，
当y=3时，x==2，故E(2，3)，
故答案为：(2，3)；
（2）解：∵F点的横坐标为4，点F在反比例函数上，
∴F（4，），
∴CF=BC-BF=3-=，
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE=AC-AE=4-=
在Rt△CEF中，tan∠EFC==；
（3）解：如图，由（2）知，CF=，CE=，
=，
过点E作EH⊥OB于H，

∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴，
∴，
∴BG=．
【点拨】本题考查的反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，综合性强，难度适中．