高考物理一轮复习【专题练习】 专题43 用单摆测定重力加速度

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高考物理一轮复习策略
首先，要学会听课：
1、有准备的去听，也就是说听课前要先预习，找出不懂的知识、发现问题，带着知识点和问题去听课会有解惑的快乐，也更听得进去，容易掌握;
2、参与交流和互动，不要只是把自己摆在“听”的旁观者，而是“听”的参与者。
3、听要结合写和思考。
4、如果你因为种种原因，出现了那些似懂非懂、不懂的知识，课上或者课后一定要花时间去弄懂。
其次，要学会记忆：
1、要学会整合知识点。把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡片，会让你的大脑、思维条理清醒，方便记忆、温习、掌握。
2、合理用脑。
3、借助高效工具。学习思维导图，思维导图是一种将放射性思考具体化的方法，也是高效整理，促进理解和记忆的方法。最后，要学会总结：
一是要总结考试成绩，通过总结学会正确地看待分数。
1.摸透主干知识 2.能力驾驭高考 3.科技领跑生活

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训
专题43 用单摆测定重力加速度
特训目标
特训内容
目标1
经典实验方案（1T—6T）
目标2
创新实验方案（7T—12T）
【特训典例】
一、 经典实验方案
1．在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
（1）下面叙述正确的是______（选填选项前的字母）。
A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线
B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球
C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，选A方式悬挂
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，用此时间除以50作为单摆振动的周期
A． B． C．
（2）利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为______cm。

（3）若测出单摆的周期T、摆线长l、摆球直径d，则当地的重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
（4）某同学用一个铁锁代替小球做实验。只改变摆线的长度，测量了摆线长度分别为l1和l2时单摆的周期T1和T2，则可得重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。
（5）另一位同学在利用图甲获得摆长l时，每次都在小球最低点b取数，然后测量了多组实验数据做出了T2-l图像，那么他最有可能得到的图像是______。
A． B．       C．       D．
（6）在一个实验小组中，得到的T2-l图像是一条倾斜直线。小组成员小牛同学算出图像斜率k，利用，求出g；小爱同学量出直线与横轴l之间的夹角θ，然后利用，求出g。请问两位同学的处理方案，哪一位更合理______，并说明另一位同学方案的不合理原因。______
【答案】     AB  91.60（91.50-91.70）               C     小牛     小爱同学用
求斜率是错误的。因为在T2-l图像中，横轴和纵轴的单位长度不一定相同，所以小爱同学方案不合理。
【详解】（1）[1] A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线，A正确；
B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球，B正确；
C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，为了使摆长不变，选C方式悬挂，C错误；
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，相邻两次经过平衡位置的时间是半个周期，正确的方法是用此时间除以25作为单摆振动的周期，D错误。故选AB。
（2）[2]利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为91.60cm。
（3）[3]根据单摆的周期公式解得
（4）[4]设摆线下端到锁的重心的距离为x，根据单摆的周期公式得；
解得
（5）[5]设球半径为r，根据单摆的周期公式得解得 他最有可能得到的图像是C。
（6）[6]小牛同学的方案更合理；
[7]小爱同学用 求斜率是错误的。因为在T2-l图像中，横轴和纵轴的单位长度不一定相同，所以小爱同学方案不合理。
2．某同学利用单摆测定当地的重力加速度。

（1）实验室有多种足够长的细线可用来制作单摆，由于材质不同，这些线的质量、弹性各不相同，为更好的完成实验，该同学应选择怎样的线材？请分析说明。_____________________
（2）该同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T，画出L-T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图丙所示。则当地重力加速度的表达式g=________。处理完数据后，该同学发现在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样________（选填“影响”或“不影响”）重力加速度的计算。
（3）该同学在实验时有以下操作：
A．摆线偏离竖直方向的最大摆角小于5°
B．当小球通过平衡位置时开始计时
C．摆球未在竖直面内摆动，摆成了圆锥摆
D．计时开始后测得摆球第n次经过平衡位置所用的时间t，记录单摆的周期为T=2t/n
以上操作你认为_______存在问题，试分析说明该操作对测量结果有何影响_________________。
【答案】     摆线应选无弹性的材质，分析见解析          不影响     C     见解析
【详解】（1）[1]实验中摆球摆动过程中摆长不能改变，所以摆线选用无弹性的材质。
（2）[2]根据单摆的周期公式，可得整理可得即L-T2图线斜率代表，有
又联立，可得
[3]在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，L-T2图线斜率不变，这样不影响重力加速度的计算。
（3）[4]摆球应在竖直平面内摆动，且从最低点开始计时，若测得n次经过最低点的时间为t，则周期为
所以C选项的操作有问题。故ABD正确；C错误。故选C。
[5]该操作不方便测量周期T，另外其中，测量值偏小。
3．用如图甲所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。

（1）为了减小测量误差，下列说法正确的是__________（选填字母代号）；
A．将钢球换成塑料球
B．当摆球经过平衡位置时开始计时
C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g
（2）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是__________（选填字母代号）；
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B．把摆线的长度记为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次

（3）某同学利用质量分布不均匀的球体作摆球测定当地重力加速度，摆球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出图线如图乙所示，然后在图线上选取A、B两个点，坐标分别为，如图所示。由图可计算出重力加速度g=_______。
【答案】     B     BC##CB    
【详解】（1）[1]
A．实验中为了减小阻力的影响，应选择密度大的材质小球，故A错误；
B．为了减小测量误差，应从摆球经过平衡位置时开始计时，故B正确；
C．小球做单摆运动应满足摆角小于，故C错误；
D．应记录多次全振动的时间求出平均值作为周期，再根据公式计算重力加速度g，故D错误。故选B。
（2）[2]
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长，则 偏大，由可知g偏大，故A不符合题意；
B．把摆线的长度记为摆长，则 偏小，由可知g偏小，故B符合题意；
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动，则实际摆长变大，计算所用的摆长偏小，则由可知g偏小，故C符合题意；
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次，则T偏小，由可知g偏大，故D不符合题意。
故选BC。
（3）[3]若摆球重心在球心以上x处，则得由图像可得
解得

4．某研究性学习小组在进行“用单摆测量重力加速度”的实验中（实验装置如图甲所示），已知单摆在摆动过程中的最大偏角小于。在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第次经过最低点所用的时间为。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端）为，再用螺旋测微器测得摆球的直径为（读数如图乙所示）。

①从图乙可知，摆球的直径为_________。
②小组某同学认为单摆周期为，你认为是否正确_________。（A．正确；B．不正确）
③用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式_________。
④在测量时，由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，如图所示，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比_________（填偏大、偏小、不变），说明理由___________。

【答案】          B          偏大     见详解
【详解】①[1]从图乙可知，摆球的直径为
②[2]由题意可知，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第次经过最低点所用的时间为，则单摆全振动的次数为则单摆的周期为故选B。
③[3]根据单摆的周期公式可得由题意可知，单摆的摆长为整理得
④[4][5]以表示摆长，θ表示摆线与竖直方向的夹角，m表示摆球的质量，T表示摆球做圆周运动的周期，如图所示

由牛顿第二定律有解得与单摆的周期公式比较可知，测得的周期偏小，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比偏大。
5．某同学在“用单摆测重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
（1）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图甲所示，摆球直径为________cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长l0，通过计算得到摆长L；


（2）用停表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期T＝________s（结果保留三位有效数字）；
（3）测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2－L图象如图丙，造成图线不过坐标原点的原因可能是________；
A．摆球的振幅过小          B．将l0计为摆长L
C．将（l0＋d）计为摆长L          D．摆球质量过大
（4）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度.他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度ΔL，再测出其振动周期T2.用该同学测出的物理量表示重力加速度为g＝________。
【答案】     2.06     2.25     B    
【详解】（1）[1]由题图甲可知，游标卡尺示数为20 mm＋0.1×6 mm＝20.6 mm＝2.06 cm。
（2）[2]由题图乙可知，停表示数为t＝1 min＋7.4 s＝67.4 s，单摆的周期
（3）[3]题图丙图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1 cm，可能是测摆长时漏掉了摆球的半径，故选B。
（4）[4]根据题意，由单摆周期公式可得；联立可得
6．用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。

（1）测出悬点到小球球心的距离（摆长）及单摆完成次全振动所用的时间，则重力加速度= g___________（用L、n、t表示）。
（2）用多组实验数据做出图像，也可以求出重力加速度g，已知三位同学做出的图线的示意图如图中的、、所示，其中和平行，和都过原点，图线对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线，下列分机正确的是___________（选填选项前的字母）
A．出现图线的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线对应的g值小于图线对应的g值
（3）某同学在家里测重力加速度。他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示，由于家里只有一根量程为的刻度尺，于是他在细线上的点做了一个标记，使得悬点到点间的细线长度小于刻度尺量程。保持该标记以下的细线长度不变，通过改变、间细线长度以改变摆长。实验中，当、间细线的长度分别为和时，测得相应单摆的周期为、。由此可得重力加速度g =______（用、、、表示）。
【答案】          B    
【详解】（1）[1]单摆的周期根据得
（2）[2] 由单摆的周期公式有得根据数学知识可知，图象的斜率
当地的重力加速度
A．由图2所示图象可知，对图线a，当L为零时T不为零，所测摆长偏小，可能是把摆线长度作为摆长，即把悬点到摆球上端的距离作为摆长，故A错误；
B．实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k偏小。故B正确；
C．由图可知，图线c对应的斜率k偏小小于图线b对应的斜率，故图线c对应的g值大于图线b对应的g值，故C错误。故选B。
（3）[3] 由单摆的周期公式有设A点到锁头的重心之间的距离为l0，第一次
第二次联立解得
二、 创新实验方案
7．某同学利用单摆测定当地重力加速度，实验装置如图甲所示，实验时使摆球在垂直于纸面的平面内摆动，为了将人工记录改为自动记录，在摆球运动最低点的右侧放一激光光源，在其左侧放一个与自动记录仪相连的光敏电阻。他用刻度尺测量细绳的悬点到均匀小球的顶端的距离当作摆长，测得摆长为L1时，仪器显示的光敏电阻R随时间t变化的图线如图乙所示。
①从图像乙可以看出，摆长为L1时振动周期为___________；
②若保持悬点到小球顶端距离不变，换用直径为原来2倍的另一均匀小球进行实验，则图乙中的t1将___________（填“变大”、“不变”或“变小”）；

③通过改变摆线长度，测得6组L和对应的周期T，画出T2—L图线如图丙，由该直线的斜率可求出重力加速度。与摆线长度加上小球半径作为摆长相比，此法求得的重力加速度___________（填“偏大”、“偏小”或“相同”）。
【答案】     2t1     变大     相同
【详解】①[1]]单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置，单摆会挡住细激光束，从R—t图线可知周期为T2= 2t1。
②[2]摆长等于摆线的长度加上小球的半轻，根据单摆的周期公式，
则保持悬点到小球顶端距离不变，换用直径为原来2倍的另一均匀小球进行实验，则图乙中的t1将变大。
③[3]由整理有可知图线斜率得若用摆线长度加上小球半径作为摆长有整理有可知图线斜率得可知g与摆长无关，则由该直线的斜率可求出重力加速度，与摆线长度加上小球半径作为摆长相比，此法求得的重力加速度相同。
8．“利用单摆测重力加速度”的实验中：
（1）某同学尝试用DIS测量周期。如图所示，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方。图中磁传感器的引出端A接到数据采集器上。使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最低点。若测得连续N（N从“0”开始计数）个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为___________（地磁场和磁传感器的影响可忽略）。

（2）由于器材所限，无法测量磁性小球的直径，对实验进行了如下调整：让单摆在不同摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度大小的测量值。请你写出该测量值的表达式_____。
（3）通过实验获得以下数据：
摆线长l(cm)
48.00
58.00
78.00
108.00
周期T2(s2)
2.00
2.40
3.20
4.40

当时，___________m；重力加速度___________m/s2（小数点后保留两位）。
【答案】               1.03     9.86
【详解】（1）[1]根据题意可知，小球经过两次最低点为一个周期，则小球运动的周期为
（2）[2]设小球的半径为，根据单摆的周期公式可得根据题意有，联立解得
（3）[3][4]设小球的半径为，根据单摆的周期公式可得整理得代入表中数据解得，当时，代入上式中，可得摆线长为
9．某学习小组的同学在实验室用如图1所示的装置研究单摆。将单摆挂在力传感器的下端，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像如图2所示。

（1）如图3，用游标卡尺测量摆球的直径，测出的摆球直径为_______。
（2）小组成员在实验过程中有下列说法，其中正确的是_______和_______（填正确答案标号）。
A．对于摆球的选择，可以是铁球，也可以是塑料球
B．单摆偏离平衡位置的角度最好控制在以内
C．由图2可知，单摆的周期为
D．如果用悬线的长度作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
（3）为减小实验误差，多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制图像如图4所示。由图可知重力加速度大小为_____（用图中字母表示）。

【答案】     16.4     B     C    
【详解】（1）[1] 游标卡尺读数是主尺读数（mm的整数倍）加上游标尺的读数（mm的小数位），由图可读出为
（2）[2] [3] A．单摆在摆动过程中。阻力要尽量小甚至忽略不计，所以摆球选铁球；故A错误；
B．单摆摆动时，对摆角的大小有要求，摆角的大小不超过5°，B正确；
C．F最大值为摆球经过最低点的时刻，相邻两次时间间隔为则，C正确；
D．由单摆的周期公式可推出重力加速度的计算式用悬线的长度作为摆长，则摆长偏小，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏小，D错误。故选B和C。
（3）[4] 图像的斜率为由周期公式变形得所以
变形得
10．如图1所示，可以采用双线摆和光电计数器测定当地的重力加速度，已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时，然后每当小球经过O点时，计数器都计数一次，当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，由此可知：
  
(1)双线摆的振动周期T=_____，双线摆的摆长L=_____。
(2)在实验中，测量了几种不同摆长情况下单摆的振动周期，并以L为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-L图象，如图2所示，若已知图线的斜率为k，则利用此图象求得重力加速度g=_____。（用k表示）
(3)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图3所示，则该摆球的直径为_____cm。
【答案】          或          0.97
【详解】(1)[1]振动的周期数为 ，因此振动周期为。
[2]摆动的过程相当于绕水平部分的中点摆动，因此摆长
(2)[3]根据单摆的振动周期公式整理得可得因此
(3)[4]摆球直径
11．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度的大小。
(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。


A．由于没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期
T和l的数据，作出l－T2图象，如图乙所示。
①实验得到的l－T2图象是________；
②小球的直径是________ cm；
B．在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值________。(填“偏大”“偏小”或“不变”)
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图丙所示，将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丁所示的v－t图线。
A．由图丁可知，该单摆的周期T＝________ s；
B．更换摆线长度l后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2－l图线(l为摆线长)，并根据图线拟合得到方程T2＝4.04l＋0.024。由此可以得出当地的重力加速度g＝________ m/s2。(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)
【答案】     c     1.2     偏小     2.0     9.76
【详解】(1)①[1]由单摆的周期公式T＝2π得l＝T2＋由数学关系得斜率k＝
纵截距b＝因l－T2图象的纵截距为正，则图象应为c。
②[2][3]由图象c的纵截距可得d＝2b＝2×0.6 cm＝1.2 cm绳子松动导致摆长变长，但测量值偏小，由
T＝2π得g＝则重力加速度的测量值偏小。
(2)[4][5]根据简谐运动的图线知，单摆的周期T＝2.0 s根据T＝2π得T2＝l＋
则k＝＝4.04解得g＝9.76 m/s2

12．某实验小组要探究单摆做简谐运动的周期与“等效重力加速度”的关系，他们借鉴伽利略研究小球自由落体运动规律时，用斜面“冲淡”重力的思路，设计了如图甲所示的实验装置，摩擦力可以忽略的平板通过铰链与水平木板相连，改变垫块位置可以改变平板的倾角；在平板上侧垂直固定一钉子做为单摆悬点，长约1m的轻质细线一端系一小球，另一端栓在钉子上做成一个斜面上的单摆。

（1）平板倾角为时，单摆周期公式中的等效重力加速度与重力加速度g的关系是___________；
（2）某次周期测量中，秒表示数如图乙，其读数为___________s；

（3）改变平板倾角，测出倾角及在该倾角下单摆的周期T，当地重力加速度。把测得的多组T、数据在坐标系中描点连线，得到如图丙所示图线，根据图线可得摆长为___________m。（保留3位有效数字）

【答案】          83.3     0.976
【详解】（1）[1]对单摆进行受力分析，可得平板倾角为时，单摆周期公式中的等效重力加速度与重力加速度g的关系是
（2）[2]因为秒表示数如图乙，可得其读数为
（3）[3]由单摆周期公式可得由图线可知代入数据，可得m。