初中数学苏科版八年级下册12.1 二次根式精品课后测评

专题12.2   二次根式（提高篇）专项练习

一、单选题

1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（　　）

A． B． C． D．

3．若a2+b2＝4ab，a>b>0，则＝（　　）

A． B．3 C．﹣ D．﹣3

4．下列运算正确的是（    ）

A．（﹣2a2b﹣1）2＝ B．（a＋b）2＝a2＋b2

C．﹣3＝﹣2 D．＋＝

5．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S＝（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为（    ）

A． B． C． D．

6．若二次根式有意义，且+（a﹣2）x+9是一个完全平方式，则满足条件的a值为（　　）

A．±8 B．±4 C．8 D．﹣4

7．如图．从一个大正方形中裁去面积为m2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（   ）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

8．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ）

A． B． C． D．

9．关于代数式，有以下几种说法，

①当时，则的值为-4.

②若值为2，则.

③若，则存在最小值且最小值为0.

在上述说法中正确的是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．①②③

10．当时，的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．3

二、填空题

11．计算（4+3）（4﹣3）＝___．

12．已知k是的小数部分，则_________．

13．已知，则________．

14．已知，，则的值是______．

15．若，则_______．

16．已知，那么可化简为_______________

17．若实数满足，则的值是_________

18．已知，则的值是_____．

19．如果式子有意义，则的取值范围是：____________．

20．我们定义为不超过a的最大整数．例如：．若，则a的取值范围是______________________．

21．化简＝__．

22．若，，是实数，且，则________．

23．，，，，，其中n为正整数，则的值是__________．

三、解答题

24．计算：

（1）；                    （2）；

（3）；            （4）．

25．先化简再求值：（）•，其中a＝2+，b＝2﹣．

26．（1）由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64，则出这个魔方的棱长是_______．

（2）图1正方形的边长等于魔方的棱长，求出阴影部分的面积及其边长．

（3）把正方形放到数轴上，如图2，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为______．

27．若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|．

例如：＝＝|++|＝请解决下列问题：

（1）求的值．

（2）设S＝++…+，求S的整数部分．

（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围．

28．（阅读材料）

小慧同学数学写作片段

乘法公式“大家族”

学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，

；

；

；

．

……

（解题运用）

（1）在实数范围内因式分解：___________；

（2）设满足等式，求的值；

（3）若正数满足等式，求代数式的值．

参考答案

1．B

【分析】

最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．

【详解】

解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意；

B. 是最简二次根式，符合题意；

C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；

D. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意．

故选：B．

【点拨】

本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式．

2．D

【分析】

根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零,进行分析即可．

【详解】

解：A、当m＜0时，无意义，故此选项不符合题意；

B、当m＜﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；

C、当m＝﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；

D、m是任意实数，都有意义，故此选项符合题意；

故选：D．

【点拨】

本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二式有意义的基本条件是解题的关键．

3．C

【分析】

由a2+b2＝4ab可得，，再由a>b>0，可得b -a<0，a+b>0，根据二次根式的性质可得b –a= ，a+b=，整体代入后化简即可求解．

【详解】

∵a2+b2＝4ab，

∴，，

∵a＞b＞0，

∴b -a<0，a+b>0，ab>0，

∴b –a= ，a+b=，

∴＝．

故选C．

【点拨】

本题考查了完全平方公式的变形及二次根式的性质，正确求得b –a= 及a+b=是解决问题的关键．

4．A

【分析】

直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算法则分别计算得出答案．

【详解】

解：A、（﹣2a2b﹣1）2＝，故此选项正确；

B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；

C、﹣3＝﹣2，故此选项错误；

D、＝﹣＝，故此选项错误；

故选：A．

【点拨】

此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

5．B

【分析】

根据已知条件的公式计算即可；

【详解】

根据题意可知：a＝，b＝，c＝，

∴S＝，

＝，

，

，

，

∴，

∴；

故答案选B．

【点拨】

本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．

6．D

【分析】

根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出a的范围，根据完全平方式求出a，根据题意判断，得到答案．

【详解】

解：∵二次根式有意义，

∴6﹣2a≥0，

解得，a≤3，

∵+（a﹣2）x+9是一个完全平方式，

∴a﹣2＝±6，

解得，a＝8，或a＝﹣4，

∵a≤3，

∴a＝﹣4，

故选：D．

【点拨】

本题考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，熟练掌握有意义的条件，准确理解完全平方式的意义是解题的关键．

7．D

【分析】

直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．

【详解】

解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，

∴大正方形边长为：，

∴大正方形面积为（5）2=50，

∴留下的阴影部分面积和为：50-8-18=24（cm2）

故选：D．

【点拨】

此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．

8．B

【分析】

首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．

【详解】

∴a的小数部分为，

∴b的小数部分为，

∴，

故选：B．

【点拨】

该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．

9．C

【分析】

①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．

【详解】

解：①当时，
．
故①正确；
②若值为2，
则，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴=

=

=≥0．
∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．

【点拨】

本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．

10．A

【分析】

根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．

【详解】

解：原式=

将代入得，

原式

.

故选：A.

【点拨】

本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．

11．-2

【分析】

根据平方差公式进行计算即可得到答案．

【详解】

解：

故答案为：-2．

【点拨】

本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和平方差公式的运用．

12．

【分析】

先估算出k的值，再代入化简即可．

【详解】

解：∵

∴

∴

故答案为：

【点拨】

本题考查无理数的估算、二次根式的化简，掌握二次根式的运算法则是得出正确答案的前提．

13．2

【分析】

根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，求出x，代入求出y，即可求解．

【详解】

解：由题意得： ，解得x＝

∴＝－1

∴

故答案为2．

【点拨】

本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂等知识，根据二次根式有意义的条件求出x、y的值是解题关键．

14．100

【分析】

先计算，即可得到的值．

【详解】

∵，

∴

∴=

故答案为：100．

【点拨】

此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．

15．．

【分析】

根据根据二次根式的被开方数是非负数知，易得，代入求值即可．

【详解】

解：∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴

故答案是：．

【点拨】

考查了二次根式的意义和性质，熟悉相关性质是解题的关键．

16．

【分析】

由，可得＜，再化简即可得到答案．

【详解】

解： ，,

，

原式＝．

故答案为：

【点拨】

本题考查的是二次根式的化简，掌握利用二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．

17．

【分析】

把已知条件化为两个完全平方式，可知两个非负数相加为0，则每个式子都为0，从而列方程求出x和y，代入即可解答．

【详解】

解：∵

∴

∴

∴

∴．

故答案为：．

【点拨】

本题主要考查了非负数的性质以及二次根式的混合运算，两非负数之和等于0，则两数均为0，求得x、y值．本题中把变形得是解题的关键．

18．31

【分析】

先对x，y分母有理化，再代入求值，即可．

【详解】

∵，

∴=

=

=

=31，

故答案是：31．

【点拨】

本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的分母有理化，是解题的关键．

19．且

【分析】

根据分式有意义可得，根据二次根式有意义的条件可得，求解即可．

【详解】

解：由题意得：，且，

解得：且，

故答案为：且．

【点拨】

本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．

20．

【分析】

结合定义内容及二次根式成立的条件确定a的取值范围．

【详解】

解：由题意可得，解得

故答案为：．

【点拨】

本题考查二次根式的大小比较及二次根式成立的条件，准确理解题意，列出不等式组正确计算是解题关键．

21．

【分析】

先利用完全平方公式得到4﹣2＝（﹣1）2，则原式可化为简为，再利用2+＝，则原式可化简为，然后就计算二次根式的除法运算．

【详解】

解：∵4﹣2＝（﹣1）2，

∴＝，

∵2+＝＝，

∴原式＝

＝

＝．

故答案为．

【知识点】

本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算，适当的把有关式子变成完全平方的形式是解题关键．

22．21

【分析】

结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．

【详解】

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴．

【点拨】

本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．

23．

【分析】

根据题目条件，先求出，，，的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式进行化简与计算，即可求解．

【详解】

解：，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为．

【点拨】

本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出，，，的值的规律，再用裂项法求出结果．

24．（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】

（1）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；

（2）直接化简二次根式进而计算得出答案；

（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；

（4）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．

【详解】

解：（1）；

（2）

；

（3）

；

（4）

．

【点拨】

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

25．

【分析】

根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．

【详解】

解：（）•，

＝[]•，

＝（）•，

＝，

＝，

当a＝2+，b＝2﹣时，原式＝＝＝＝．

【点拨】

本题考查了分式的化简求值和二次根式的运算，解题关键是熟练运用分式的运算法则和二次根式运算法则进行计算．

26．（1）4；（2）阴影部分的面积是8，边长是；（3）-1-

【分析】

（1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长．

（2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．

（3）根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数．

【详解】

解：（1）=4，

答：这个魔方的棱长为4．

（2）∵魔方的棱长为4，

∴小立方体的棱长为2，

∴阴影部分面积为：×2×2×4=8，

边长为：=；

答：阴影部分的面积是8，边长是；

（3）D在数轴上表示的数为-1-，

故答案为：-1-．

【点拨】

本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长．

27．（1）；（2）2019；（3）0＜x≤

【分析】

（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；

（2）将原式进行化简，再确定整数部分；

（3）将原式化简为||+||，再根据||+||取最小值时，确定x的取值范围．

【详解】

解：（1）＝＝|++|＝；

（2）S＝++…+，

＝++…+，

＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|，

＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣，

＝2019+，

故整数部分为2019；

（3）由题意得，

+|﹣﹣|，

＝|++|+|﹣﹣|，

＝||+||，

又y+z＝3yz，

原式＝||+||，

因为||+||取最小值，

所以﹣3≤≤3，而x＞0，

因此，0＜x≤，

答：x的取值范围为0＜x≤．

【点拨】

本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算．

28．（1）；（2）12；（3）．

【分析】

（1）根据公式即可完成多项式的因式分解；

（2）利用公式法将多项式转化为，求得即可计算出结果；

（3）利用公式可将分解为，并再根据完全平方公式将分解结果转化为，再由已知可推出，将其代入化简后的代数式即可得出计算结果．

【详解】

解：（1），

故答案为：．

（2）

，

则，

∴

∴．

（3）

．

∵，

∴，

∴，

∴原式．

【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，掌握因式分解的基本方法，牢记因式分解的相关公式且准确灵活运用公式是解题的关键．