数学八年级下册第12章 二次根式12.1 二次根式当堂检测题

这是一份数学八年级下册第12章 二次根式12.1 二次根式当堂检测题，共20页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19902" 【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】 PAGEREF _Tc19902 \h 1
\l "_Tc15001" 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc15001 \h 1
\l "_Tc22687" 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】 PAGEREF _Tc22687 \h 2
\l "_Tc26490" 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】 PAGEREF _Tc26490 \h 2
\l "_Tc31760" 【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】 PAGEREF _Tc31760 \h 3
\l "_Tc18191" 【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】 PAGEREF _Tc18191 \h 3
\l "_Tc10049" 【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 PAGEREF _Tc10049 \h 4
\l "_Tc28876" 【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 PAGEREF _Tc28876 \h 4
\l "_Tc3254" 【题型9 复杂的复合型二次根式化简】 PAGEREF _Tc3254 \h 5
【知识点1 二次根式的定义】
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a叫做被开方数.
【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】
【例1】（2022春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）
3，m，x2+1，34，−m2−1，a3（a≥0），2a+1（a＜12）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式1-1】（2022春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．−2B．−2C．32D．x
【变式1-2】（2022春•宜城市期末）在式子2，33，x2+1，x+y中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022春•凤庆县期末）下列各式：5、a2，−3，38，x−1(x⩾1)，x2+2x+1中，一定是二次根式的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】
【例2】（2022春•莱州市期末）若12n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．1B．3C．6D．12
【变式2-1】（2022春•昭阳区校级月考）若80n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】（2022春•信州区校级月考）当x＝ −12 时，代数式3−2x+1有最大值，其最大值是 ．
【变式2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知a为实数，则代数式27−12a+2a2的最小值为（ ）
A．0B．3C．33D．9
【知识点2 二次根式有意义的条件】
（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥0.
【知识点3 判断二次根式有意义的条件】
如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】
【例3】（2022春•来凤县期末）若代数式15x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x≠5D．x＜5
【变式3-1】（2022春•泰山区期末）若式子a+1a−2有意义，则a的取值范围为（ ）
A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞﹣1
【变式3-2】（2022春•泰山区期末）若(3x−4)2=4−3x，则x的取值范围是 ．
【变式3-3】（2022春•睢县期中）若4x6−|x|有意义，则x的取值范围为 ．
【题型4 根据二次根式有意义条件求值】
【例4】（2022春•海淀区校级期末）已知a，b都是实数，b=1−2a+4a−2−2，则ab的值为 ．
【变式4-1】（2022春•西湖区校级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式a2=|a|后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式a+a2−2a+1的结果为2a﹣1
B．a+a2−2a+1的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为0.6
C．当a+a2−2a+1的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
D．若a2−2a+1=(a−1)2，则字母a必须满足a≥1
【变式4-2】（2022春•海安市校级月考）若x，y是实数，且y＜x−1+1−x+12，求|1−y|y−1的值为 ．
【变式4-3】（2022•勃利县期末）已知a满足|2017﹣a|+a−2018=a，则a﹣20172的值是 ．
【知识点4 二次根式的性质】
性质1：a2=a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：a2=a=a（a≥0）−a（a<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】
【例5】（2022春•平山县期末）二次根式(−2)2的值是（ ）
A．﹣2B．2或﹣2C．4D．2
【变式5-1】（2022春•金东区期中）下列计算正确的是（ ）
A．9=±3B．22+32=5C．4=2D．(−3)2=−3
【变式5-2】（2022春•乐清市期末）当a＝5时，二次根式4+a的值是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【变式5-3】（2022春•辛集市期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．25=±5B．−(5)2=5C．1614=412D．3(18)2=14
【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】
【例6】（2022•泗水县二模）已知y=(x−3)2−x+4，当x分别取正整数1，2，3，4，5，…，2022时，所对应y值的总和是（ ）
A．2026B．2027C．2028D．2029
【变式6-1】（2022秋•南昌期末）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．
已知m为实数，化简：−−m3−m−1m
解：原式=−m−m−m⋅1m−m
=(−m−1)−m．
【变式6-2】（2022春•凤凰县月考）若式子4−4a+a2与a2−8a+16的和为2，则a的取值范围是 ．
【变式6-3】（2022•绵阳模拟）等式x2(x+1)=−xx+1成立的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】
【例7】（2022春•黄骅市期中）已知a，b，c在数轴上的位置如下图：化简代数式a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|的值为
【变式7-1】（2022•宁波）已知：a＜0，化简4−(a+1a)2−4+(a−1a)2= ．
【变式7-2】（2022•广饶县期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值a2−(c−a+b)2+|b+c|−3b3= ．
【变式7-3】（2022春•禹州市校级月考）已知1＜x＜3，求1−2x+x2+x2−8x+16的值．
【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例8】（2022•建湖县一模）2、6、m是某三角形三边的长，则(m−4)2−(m−8)2等于（ ）
A．2m﹣12B．12﹣2mC．12D．﹣4
【变式8-1】（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x−yx2= ．
【变式8-2】（2022•徐汇区校级月考）如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：(a−b+c)2+(b−c−a)2= ．
【变式8-3】（2022春•靖江市期末）已知：m是5的小数部分，求m2+1m2−2的值．
【题型9 复杂的复合型二次根式化简】
【例9】（2022•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=20192+2020+2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【变式9-1】（2022•兴平市期中）像4−23，96−63...这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：4−23=3−23+1=(3)2−2×3+12=(3−1)2=3−1；再如：5+26=3+26+2=(3)2+2×6+(2)2=(3+2)2=3+2．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：11+230= ，24−615= ；
（2）若a+65=（m+5n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式9-2】（2022•阜阳校级自主招生）已知x=a2−6a+23，其中实数﹣4≤a≤10，则x+5−4x+1+x+10−6x+1的值为 ．
【变式9-3】（2022春•郧西县期末）像4−23，48−45⋯这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：4−23=3−23+1=(3)2−23×1+12=(3−1)2=3−1．再如：5+26=3+26+2=(3)2+2×3×2+(2)2=(3+2)2=3+2．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：10+221；
（2）化简：14−83．
（3）若a+65=（m+5n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
专题12.1 二次根式【九大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19902" 【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】 PAGEREF _Tc19902 \h 1
\l "_Tc15001" 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc15001 \h 2
\l "_Tc22687" 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】 PAGEREF _Tc22687 \h 4
\l "_Tc26490" 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】 PAGEREF _Tc26490 \h 4
\l "_Tc31760" 【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】 PAGEREF _Tc31760 \h 6
\l "_Tc18191" 【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】 PAGEREF _Tc18191 \h 7
\l "_Tc10049" 【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 PAGEREF _Tc10049 \h 9
\l "_Tc28876" 【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 PAGEREF _Tc28876 \h 10
\l "_Tc3254" 【题型9 复杂的复合型二次根式化简】 PAGEREF _Tc3254 \h 12
【知识点1 二次根式的定义】
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a叫做被开方数.
【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】
【例1】（2022春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）
3，m，x2+1，34，−m2−1，a3（a≥0），2a+1（a＜12）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解：3一定是二次根式；
当m＜0时，m不是二次根式；
对于任意的数x，x2+1＞0，则x2+1一定是二次根式；
34是三次方根，不是二次根式；
﹣m2﹣1＜0，则−m2−1不是二次根式；
a3是二次根式；
当a＜12时，2a+1可能小于0，不是二次根式．
故选：A．
【变式1-1】（2022春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．−2B．−2C．32D．x
【分析】根据二次根式的定义，形如a（a≥0）的式子是二次根式，即可解答．
【解答】解：A、−2无意义，故A不符合题意；
B、−2是二次根式，故B符合题意；
C、32不是二次根式，故C不符合题意；
D、x（x≥0）是二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2022春•宜城市期末）在式子2，33，x2+1，x+y中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次根式的定义，形如a（a≥0）的式子是二次根式，即可解答．
【解答】解：在式子2，33，x2+1，x+y中，二次根式有2，x2+1，
共有2个，
故选：B．
【变式1-3】（2022春•凤庆县期末）下列各式：5、a2，−3，38，x−1(x⩾1)，x2+2x+1中，一定是二次根式的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】利用二次根式的定义对每个式子进行判断即可．
【解答】解：∵式子a（a≥0）是二次根式，
∴5，a2，x−1（x≥1），x2+2x+1是二次根式，−3无意义，38是三次根式，
∴一定是二次根式的有：5，a2，x−1（x≥1），x2+2x+1，
故选：B．
【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】
【例2】（2022春•莱州市期末）若12n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．1B．3C．6D．12
【分析】根据12＝22×3，若12n是整数，则12n一定是一个完全平方数，据此即可求得n的值．
【解答】解：∵12＝22×3，
∴12n是整数的正整数n的最小值是3．
故选：B．
【变式2-1】（2022春•昭阳区校级月考）若80n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先化简80，然后根据二次根式的定义判断即可．
【解答】解：∵80=45，
∴正整数n的最小值是：5．
故选：D．
【变式2-2】（2022春•信州区校级月考）当x＝ −12 时，代数式3−2x+1有最大值，其最大值是 3 ．
【分析】根据二次根式的非负性分析求值．
【解答】解：∵2x+1≥0，
∴−2x+1≤0，
∴3−2x+1≤3，
∴当2x+1＝0时，即x=−12，
3−2x+1有最大值为3，
故答案为：−12；3．
【变式2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知a为实数，则代数式27−12a+2a2的最小值为（ ）
A．0B．3C．33D．9
【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
【解答】解：∵原式=27−12a+2a2
=2(a2−6a+9)+9
=2(a−3)2+9
∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时
代数式27−12a+2a2的值最小，为9即3
故选：B．
【知识点2 二次根式有意义的条件】
（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥0.
【知识点3 判断二次根式有意义的条件】
如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】
【例3】（2022春•来凤县期末）若代数式15x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x≠5D．x＜5
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵15x﹣1≥0，
∴x≥5．
故选：B．
【变式3-1】（2022春•泰山区期末）若式子a+1a−2有意义，则a的取值范围为（ ）
A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞﹣1
【分析】既要使二次根式a+1有意义，即a+1≥0，又要使分式有意义，即a﹣2≠0即可．
【解答】解：由题意得，
a+1≥0且a﹣2≠0，
即a≥﹣1且a≠2，
故选：C．
【变式3-2】（2022春•泰山区期末）若(3x−4)2=4−3x，则x的取值范围是 x≤43 ．
【分析】根据二次根式的性质列出不等式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：4﹣3x≥0，
∴x≤43，
故答案为：x≤43．
【变式3-3】（2022春•睢县期中）若4x6−|x|有意义，则x的取值范围为 x≥0且x≠6 ．
【分析】应从两方面考虑x的取值范围：分母不为0和二次根式有意义．
【解答】解：由4x6−|x|有意义，则6﹣|x|≠0且4x≥0，
解得x≥0且x≠6．
【题型4 根据二次根式有意义条件求值】
【例4】（2022春•海淀区校级期末）已知a，b都是实数，b=1−2a+4a−2−2，则ab的值为 4 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，
1−2a≥04a−2≥0，
解得：a=12，
则b＝﹣2，
故ab的值为（12）﹣2＝4．
故答案为：4．
【变式4-1】（2022春•西湖区校级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式a2=|a|后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式a+a2−2a+1的结果为2a﹣1
B．a+a2−2a+1的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为0.6
C．当a+a2−2a+1的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
D．若a2−2a+1=(a−1)2，则字母a必须满足a≥1
【分析】根据二次根式的性质，得到a2−2a+1=|a﹣1|=a−1(a＞1)0(a=1)1−a(a＜1)，然后逐个选项进行判断即可．
【解答】解：a2−2a+1=|a﹣1|=a−1(a＞1)0(a=1)1−a(a＜1)，
当a＞1时，a+a2−2a+1=a+a﹣1＝2a﹣1，
当a＝1时，a+a2−2a+1=a+a﹣1＝2a﹣1＝1，
当a＜1时，a+a2−2a+1=a﹣a+1＝1，
因此A选项、C选项、D选项均正确，只有B选项不正确，
故选：B．
【变式4-2】（2022春•海安市校级月考）若x，y是实数，且y＜x−1+1−x+12，求|1−y|y−1的值为 ﹣1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x−1≥01−x≥0，解不等式组可得x＝1，进而可得y＜12，再根据绝对值的性质可得1﹣y＞0，然后化简约分即可．
【解答】解：由题意得：x−1≥01−x≥0，
解得：x＝1，
则y＜12，
|1−y|y−1=1−yy−1=−1，
故答案为：﹣1．
【变式4-3】（2022•勃利县期末）已知a满足|2017﹣a|+a−2018=a，则a﹣20172的值是 2018 ．
【分析】先依据二次根式有意义得到a≥2018，进而化简原式求出答案．
【解答】解：∵|2017﹣a|+a−2018=a，
∴a﹣2018≥0，
故a≥2018，
则原式可变为：a﹣2017+a−2018=a，
故a﹣2018＝20172，
则a﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
【知识点4 二次根式的性质】
性质1：a2=a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：a2=a=a（a≥0）−a（a<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】
【例5】（2022春•平山县期末）二次根式(−2)2的值是（ ）
A．﹣2B．2或﹣2C．4D．2
【分析】根据算术平方根的意义，可得答案．
【解答】解：(−2)2=2，故D正确，
故选：D．
【变式5-1】（2022春•金东区期中）下列计算正确的是（ ）
A．9=±3B．22+32=5C．4=2D．(−3)2=−3
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．
B、原式=4+9=13，故B不符合题意．
C、原式＝2，故C符合题意．
D、原式＝3，故D不符合题意．
故选：C．
【变式5-2】（2022春•乐清市期末）当a＝5时，二次根式4+a的值是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【分析】把a＝5代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：当a＝5时，二次根式4+a=4+5=9=3，
故选：A．
【变式5-3】（2022春•辛集市期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．25=±5B．−(5)2=5C．1614=412D．3(18)2=14
【分析】根据算术平方根的定义，二次根式有意义的条件，立方根的定义可进行判断．
【解答】解：A．∵52＝25，
∴25=5，A不符合题意；
B．∵−(5)2=−5＜0，
∴−(5)2无意义，B不符合题意；
C.1614=654=652≠412，C不符合题意；
D.3(18)2=3164=14，D符合题意，
故选：D．
【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】
【例6】（2022•泗水县二模）已知y=(x−3)2−x+4，当x分别取正整数1，2，3，4，5，…，2022时，所对应y值的总和是（ ）
A．2026B．2027C．2028D．2029
【分析】根据二次根式的性质得出当x﹣3≥0时，y＝1；当x﹣3＜0时，y＝7﹣2x，分别求出x＝1，x＝2时，y的值，再求出答案即可．
【解答】解：y=(x−3)2−x+4＝|x﹣3|﹣x+4，
当x﹣3≥0，即x≥3时，y＝x﹣3﹣x+4＝1；
当x﹣3＜0，即x＜3时，y＝3﹣x﹣x+4＝7﹣2x，
当x＝1时，y＝5，
当x＝2时，y＝3，
所以当x分别取正整数1，2，3，4，5，…，2022时，所对应y值的总和5+3+1+1+1+1+•••+1
＝9+2019×1
＝9+2019
＝2028，
故选：C．
【变式6-1】（2022秋•南昌期末）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．
已知m为实数，化简：−−m3−m−1m
解：原式=−m−m−m⋅1m−m
=(−m−1)−m．
【分析】根据二次根式的性质，m−1m成立，则m为负数，由此可先判断已知解答是错误的，再化简解答即可．
【解答】解：不正确，
根据题意，m−1m成立，则m为负数，
−−m3−m−1m
＝m−m+−m2m
＝m−m+−m
＝（m+1）−m．
【变式6-2】（2022春•凤凰县月考）若式子4−4a+a2与a2−8a+16的和为2，则a的取值范围是 2≤a≤4 ．
【分析】根据二次根式的性质，得出a﹣2≥0且a﹣4≤0，进而确定a的取值范围．
【解答】解：∵4−4a+a2+a2−8a+16
=(a−2)2+(a−4)2
＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＞4时，原式＝a﹣2+a﹣4＝2a﹣6，因此不符合题意；
当2≤a≤4时，原式＝a﹣2+4﹣a＝2，因此符合题意；
当a＜2时，原式＝2﹣a+4﹣a＝6﹣2a，因此不符合题意；
∴2≤a≤4，
故答案为：2≤a≤4．
【变式6-3】（2022•绵阳模拟）等式x2(x+1)=−xx+1成立的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【解答】解：由题意可知：x≤0x+1≥0，
解得：﹣1≤x≤0，
故选：A．
【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】
【例7】（2022春•黄骅市期中）已知a，b，c在数轴上的位置如下图：化简代数式a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|的值为 ﹣a
【分析】首先根据数轴确定a、b、c的符号，再由二次根式的性质及有理数的加减法法则确定各个绝对值里面的式子的符号，然后去掉绝对值符号，从而对所求代数式进行化简．
【解答】解：根据数轴可以得到：b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
∴a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|，
＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|，
＝﹣a+（a+b）+（c﹣a）﹣（b+c），
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c，
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
【变式7-1】（2022•宁波）已知：a＜0，化简4−(a+1a)2−4+(a−1a)2= ．
【分析】根据二次根式的性质化简．
【解答】解：∵原式=4−(a2+2+1a2)−4+(a2−2+1a2)=−(a−1a)2−(a+1a)2
又∵二次根式内的数为非负数
∴a−1a=0
∴a＝1或﹣1
∵a＜0
∴a＝﹣1
∴原式＝0﹣2＝﹣2．
【变式7-2】（2022•广饶县期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值a2−(c−a+b)2+|b+c|−3b3= ﹣b ．
【分析】根据数轴得出＜b＜0＜c，|c|＞|a|＞|b|，根据二次根式的性质得出|a|﹣|c﹣a+b|+|b+c|﹣b，去掉绝对值符号后合并即可．
【解答】解：∵从数轴可知：a＜b＜0＜c，|c|＞|a|＞|b|，
∴原式＝|a|﹣|c﹣a+b|+|b+c|﹣b
＝﹣a﹣c+a﹣b+b+c﹣b
＝﹣b，
故答案为：﹣b．
【变式7-3】（2022春•禹州市校级月考）已知1＜x＜3，求1−2x+x2+x2−8x+16的值．
【分析】利用x的取值范围，结合完全平方公式将原式开平方求出答案．
【解答】解：∵1＜x＜3，
∴1−2x+x2+x2−8x+16
=(x−1)2+(x−4)2
＝x﹣1+4﹣x
＝3．
【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例8】（2022•建湖县一模）2、6、m是某三角形三边的长，则(m−4)2−(m−8)2等于（ ）
A．2m﹣12B．12﹣2mC．12D．﹣4
【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而化简二次根式得出答案．
【解答】解：∵2、6、m是某三角形三边的长，
∴4＜m＜8，
∴m﹣4＞0，m﹣8＜0，
∴(m−4)2−(m−8)2
＝m﹣4﹣（8﹣m）
＝m﹣4﹣8+m
＝2m﹣12．
故选：A．
【变式8-1】（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x−yx2= −y ．
【分析】根据题意可知，y＜0，然后对二次根式进行化简，根据xy＜0，去绝对值号．
【解答】解：∵二次根式x−yx2，
∴y＜0，
∵xy＜0，
∴x＞0，
∴x−yx2=x−y|x|=x−yx=−y，
故答案为：−y．
【变式8-2】（2022•徐汇区校级月考）如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：(a−b+c)2+(b−c−a)2= 2a﹣2b+2c ．
【分析】直接利用三角形三边关系得出a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵a，b，c为三角形ABC的三边长，
∴a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴原式＝a﹣b+c﹣（b﹣c﹣a）
＝a﹣b+c﹣b+c+a
＝2a﹣2b+2c．
故答案为：2a﹣2b+2c．
【变式8-3】（2022春•靖江市期末）已知：m是5的小数部分，求m2+1m2−2的值．
【分析】先估算得到m=5−2，则1m=15−2=5+2，即1m＞m，利用完全平方公式得到原式=(m−1m)2，再根据二次根式的性质得到原式＝|m−1m|，去绝对值得原式＝﹣m+1m，然后把m和1m的值代入计算即可．
【解答】解：∵m是5的小数部分，
∴m=5−2，
原式=(m−1m)2=|m−1m|
∵m=5−2，
∴1m=15−2=5+2，即1m＞m，
∴原式＝﹣（m−1m）
＝﹣m+1m
＝﹣（5−2）+5+2
＝4．
【题型9 复杂的复合型二次根式化简】
【例9】（2022•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=20192+2020+2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【分析】先化简各式，然后再进行比较即可．
【解答】解：a＝2021×2022﹣20212
＝2021×（2022﹣2021）
＝2021×1
＝2021；
b＝1013×1008﹣1012×1007
＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007
＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007
＝1012+1007+1
＝2020；
c=20192+2020+2021
=(2020−1)2+2020+2021
=20202−2×2020+1+2020+2021
=20202+2；
∴2020＜20202+2＜2021，
∴b＜c＜a，
故选：D．
【变式9-1】（2022•兴平市期中）像4−23，96−63...这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：4−23=3−23+1=(3)2−2×3+12=(3−1)2=3−1；再如：5+26=3+26+2=(3)2+2×6+(2)2=(3+2)2=3+2．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：11+230= 5+6 ，24−615= 15−3 ；
（2）若a+65=（m+5n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．
（2）变形已知等式，建立a，m，n的方程组求解．
【解答】解（1）
11+230=5+230+6=(5)2+25×6+(6)2=(5+6)2=5+6．
24−615=15−615+9=(15)2−2×3×15+32=(15−3)2=15−3．
（2）∵(m+5n)2=m2+5n2+25mn=a+65．
∴m2+5n2=amn=3．
∵m，n，a均为正整数．
∴m=1n=3或m=3n=1．
∴a＝1+45＝46或a＝9+5＝14．
a＝46或14．
【变式9-2】（2022•阜阳校级自主招生）已知x=a2−6a+23，其中实数﹣4≤a≤10，则x+5−4x+1+x+10−6x+1的值为 1 ．
【分析】先把x+1当成一个整体，利用完全平方公式开方出来，再根据x的值判断x+1的取值范围，去绝对值计算．
【解答】解：x+5−4x+1+x+10−6x+1
=(x+1)2−4x+1+4+(x+1)2−6x+1+9
=(x+1−2)2+(x+1−3)2
＝|x+1−2|+|x+1−3|
∵x=a2−6a+23=(a−3)2+14，﹣4≤a≤10，
∴14≤x≤37，2＜x+1＜3
∴原式=x+1−2+3−x+1=1．
【变式9-3】（2022春•郧西县期末）像4−23，48−45⋯这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：4−23=3−23+1=(3)2−23×1+12=(3−1)2=3−1．再如：5+26=3+26+2=(3)2+2×3×2+(2)2=(3+2)2=3+2．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：10+221；
（2）化简：14−83．
（3）若a+65=（m+5n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【分析】（1）利用题中新方法，结合完全平方公式求解；
（2）利用题中新方法，结合完全平方公式求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【解答】解：（1）10+221=(3)2+2×3×7+(7)2=(3+7)2=3+7；
（2）14−83=(22)2−2×22×6+(6)2=(22−6)2=22−6；
（3）∵a+65=（m+5n）2＝m2+5n2+25mn，
∴a＝m2+5n2且25mn＝65，
∴a＝m2+5n2且mn＝3，
∵a，m，n为正整数，∴当m＝1，n＝3时a＝46；
当m＝3，n＝1时，a＝14．
所以a的值为：14或46．