2022-2023学年山东省临沂市临沂第三中学（北校）高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省临沂市临沂第三中学（北校）高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分析出直线与轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.

【详解】由题意可知，直线与轴垂直，该直线的倾斜角为.

故选：B.

【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题．

2．在等比数列中，且，则（    ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【分析】利用等比数列性质，若，则，即可计算出的值.

【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若，则；

所以，因为，所以.

故选：C.

3．如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的基本定理，用，，表示向量．

【详解】因为是的中点，是的中点，

，．

故选：B

4．如图，直线是曲线在处的切线，则=

A． B．3 C．4 D．5

【答案】A

【详解】由图可知

又直线过，

即

故选

5．在等比数列中，，，则和的等比中项为（    ）

A．10 B．8 C． D．

【答案】C

【分析】根据等比中项的定义可得结果.

【详解】根据等比中项的定义可得和的等比中项为.

故选：C

6．已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到的距离为（    ）

A．10 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】首先求出，再根据点到的距离计算可得.

【详解】解：因为、，

所以，

又平面的一个法向量，

所以点到的距离.

故选：C

7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论错误的是（    ）

A．离心率 B．的最大值为

C．的面积的最大值为 D．的最小值为

【答案】C

【分析】根据椭圆方程求出、、，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的性质判断B，设，则，根据的有界性求出面积的最大值，即可判断C，根据向量模的坐标表示及二次函数的性质判断D.

【详解】解：椭圆，则，，所以，则离心率，故A正确；

由椭圆性质：到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点，可得的最大值为，故B正确；

由，，设，

则，因为，所以，

当且仅当在上、下顶点时取最大值，故C错误；

因为，，

所以，

所以，

即的最小值为，当且仅当在上、下顶点时取最小值，故D正确；

故选：C

8．已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，，即，有两个不同的交点，恒过定点，是圆心为，半径为2的圆的上半部分，画出它们的图像，利用数形结合法即可求出的取值范围．

【详解】解：设，，即，有两个不同的交点，

恒过定点，是圆心为，半径为2的圆的上半部分，

它们的图像如图所示：

当过点时，它们有两个交点，此时，

当与上半部分圆相切时，有一个交点，此时，

由图形可知，若，有两个不同的交点，则，

即实数的取值范围是为.

故选：B．

二、多选题

9．已知等差数列的前n项和为，且，，，则（    ）

A．数列是递增数列 B．

C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14

【答案】BCD

【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果.

【详解】等差数列中，，，，

，公差，数列是递减数列，A错误

，

，B正确.

，数列是递减数列，

当时，最大,C正确.

,

,.

当时，n的最大值为14,D正确.

故选:BCD.

10．下列求导运算正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ACD

【分析】利用导数的运算求解判断.

【详解】A. 因为，所以，故正确；

B.因为，所以，故错误；

C. 因为，所以，故正确；

D. 因为，所以，故正确.

故选：ACD

11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）

A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则

B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则

C．两个不同的平面的法向量分别是，，则

D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则

【答案】AC

【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．

【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，

则，所以，即，故A正确；

对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是，

则，所以，即或，故B错误；

对于C，两个不同的平面的法向量分别是，

则，所以，故C正确；

对于D，直线l的方向向量，平面a的法向量是，

则，所以，即，故D错误．

故选：AC

12．已知为坐标原点，，是抛物线上的两点，为其焦点，．若到抛物线的准线的距离为，则下列说法正确的是（    ）

A．若直线过点，则直线，的斜率之积恒为

B．的周长的最小值为

C．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为

D．若，则直线的斜率为

【答案】ABD

【分析】根据到准线的距离为，求出，可得焦点和准线方程，设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和斜率公式，即可判断A；利用抛物线的定义可求出周长的最小值，即可判断B；利用外接圆与抛物线的准线相切，求出圆心的横坐标和圆的半径，可得圆的面积，即可判断C；由，可知直线过焦点，设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和向量的线性关系，求出点坐标，可求得直线斜率，从而判断D．

【详解】解：抛物线的焦点为，准线为，

因为到准线的距离为，所以，

所以抛物线，

所以，准线为，

对于A，若直线过点，设直线，

联立，消去得，

设，，

则，，

所以，故A正确；

对于B，过作，垂足为，

则，

所以周长的最小值为，故B正确；

对于C，因为为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为．

因为外接圆与抛物线的准线相切，

所以圆的半径为，

所以圆的面积为，故C错误；

对于D，由，可知直线过焦点，

设直线，

联立，消去得，

设，，

则，，①

又，可得，②

①②联立，解得，

所以，

所以直线的斜率为，故D正确；

故选：ABD．

三、填空题

13．一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是______．

【答案】

【分析】根据题意结合两圆的位置关系分析可得，再结合双曲线的定义求方程.

【详解】圆N：的圆心，半径，

∵，

∴点在圆N外，则圆P包含圆N，

设圆P的半径为，

由题意可得：，即，可得，

故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，

可得，则，

故动圆圆心P的轨迹方程是.

故答案为：.

14．如图所示，二面角为，，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，若，，，则的长度为___________.

【答案】

【分析】根据向量线性运算可知，结合向量数量积的运算律可求得，由此可得长.

【详解】，，，

，

.

故答案为：.

15．已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______．

【答案】或

【分析】根据导数的几何意义可求出结果.

【详解】设切点为，

因为，所以，

所以切线的斜率为，

所以切线方程为，

因为切线过，所以，解得或，

所以切线方程为或.

故答案为：或

四、双空题

16．已知数列的前n项和为，且，若点在直线x－y＋2＝0上，则______；______．

【答案】         

【分析】根据题意得，再根据等差数列的求和公式可得，利用裂项可求出.

【详解】因为点在直线x－y＋2＝0上，

所以，即，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以.

由，

得

.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知函数在处的切线方程为.

(1)求的解析式；

(2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；

（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.

【详解】（1）∵函数，

∴的定义域为，，

∴在处切线的斜率为，

由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，

∴的解析式为；

（2）由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，

所以切点到直线的距离最小，最小值为，

故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.

18．已知数列的前项和为，且，，数列是公差不为的等差数列，满足，且，，成等比数列．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据，作差得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，求出，即可得到的通项公式；

（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.

【详解】（1）解：因为，，

当时，，

当时，，所以，即，

又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，

设等差数列的公差为，因为，，成等比数列则，

又，

所以，解得或（舍去），

所以.

（2）解：由（1）可得，

所以，

所以，

所以

，

所以.

19．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为．

(1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程；

(2)若O是坐标原点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解；

（2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可

【详解】（1）由题意，双曲线渐近线方程为：，

所以，

所以双曲线E的标准方程为：．

故双曲线

故双曲线的右焦点为，

所以，，

所以．

（2）由题意联立，

得，

又

所以．

因为直线过抛物线的焦点，所以．

O到直线的距离，

．

20．四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，是的中点，，，．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）证明：四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，因此以为原点，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系．

所以，，，，，

设平面的一个法向量为，

，即，

因为，所以，

又因为平面，所以平面．

（2）解：设直线与平面所成角为，

因为，平面的一个法向量为，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为．

21．已知圆的圆心在直线上，且过点，．

(1)求圆的方程；

(2)过点作圆的切线，求切线的方程；

(3)过点作圆的割线，交圆于，两点，当时，求的直线方程．

【答案】(1)

(2)或

(3)或

【分析】（1）依题意设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为，即可得到方程组，解得、，即可得到圆的方程；

（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，得到方程，求出的值，即可得解；

（3）依题意可得直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，圆心到直线的距离，即可得到方程，解得即可.

【详解】（1）解：依题意设圆心坐标为，半径为，

则圆的方程为，

所以，解得，

所以.

（2）解：当切线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意；

当切线的斜率存在时，设直线方程，即．

则，解得．

切线方程为，即．

综上可得切线方程为：或．

（3）解：依题意可得直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，

因为，所以圆心到直线的距离，

即，解得或，

所以直线的方程为或.

22．已知椭圆C：的离心率，短轴长为2．

(1)求椭圆C标准方程；

(2)设直线l不经过椭圆C上顶点P且与椭圆C相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的斜率和为－1．证明：直线l过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的几何性质列式求出，可得椭圆C标准方程；

（2）当直线与轴垂直时，经计算不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线：，与椭圆方程联立，设，，得到和，再根据斜率之和为，得到，代入可得直线所过定点.

【详解】（1）依题意可得，解得，

所以椭圆C标准方程为.

（2）设直线与直线的斜率的斜率分别为和，

若直线与轴垂直，设，则且，

则，，因为，

则，解得，不符合题意；

所以直线的斜率存在，设直线：，

联立，消去并整理得，

则，得，

设，，

则，，

所以

，

所以，得，代入，得，

所以当时，直线：过定点.