2022-2023学年山东省临沂市临沂第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省临沂市临沂第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知空间向量，，，若，则（    ）

A．2 B． C．14 D．

【答案】C

【分析】利用空间向量平行的性质即可.

【详解】因为空间向量，，，

如果，则，

所以，

解得，

所以，

故选：C.

2．设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到，结合正切函数的图象及，数形结合得到直线l的倾斜角的取值范围.

【详解】由题意得：，

因为，且，，

画出的图象如下：

所以

故选：D

3．抛物线的准线方程为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.

【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，

又准线方程是，所以，

所以.

故选：C

4．已知等比数列的前项积满足，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等比数列通项的性质，由可求得，再由可求值

【详解】等比数列的前项积，，，

.

故选：C

5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ）

A．​ B．​

C．​ D．​

【答案】B

【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可.

【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，

则焦点到渐近线的距离，

所以，即双曲线方程为：.

故选：B

6．若等差数列的前项和为，则“，”是“”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断，由时，即可说明不必要性.

【详解】由，可得单调递增，且公差大于0，

故，，

即，，即，因此，

当时，此时单调递减，则不可能满足，，

因此“，”是“”的充分不必要条件，

故选：C

7．设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意画出图像,将转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当共线时,取最小值为,算出结果即可.

【详解】解:由题知圆:,

为抛物线焦点,为抛物线准线,

则过点向作垂线垂足为,如图所示:

则,

根据抛物线定义可知,

,

=,

若求的最小值,只需求的最小值即可,

连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,

此时最小,为,

,

,

.

故选:B

8．已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】由椭圆和双曲线的定义以及余弦定理解得，再由“1”的代换和基本不等式求得结果.

【详解】设P为第一象限的交点，

则由椭圆和双曲线的定义可知，

∴在△中由余弦定理得：

即：

∴，即：

∴

当且仅当，即时，取得最小值为3.

故选：B.

二、多选题

9．对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（    ）

A．若，则，的夹角是钝角

B．若，，则

C．若，则

D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底

【答案】BD

【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.

【详解】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；

B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；

C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；

D：假设，，是共面向量，

所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，

故选：BD

10．已知曲线.（    ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

【答案】ACD

【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.

【详解】对于A，若，则可化为，

因为，所以，

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，

此时曲线表示双曲线，

由可得，故C正确；

对于D，若，则可化为，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

11．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【分析】根据由累加法可得，进而结合选项可判断A.B.C,

根据裂项相消法则可判断D.

【详解】由题意得，，，，…，，

以上个式子累加可得，

又满足上式，所以，

由已知，，，，，

得,故正确;

因为,则,故错误;

由通项公式得,故正确；

由，

得，

故D正确.

故选：.

12．在棱长为2的正方体ABCD—中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（    ）

A．CN与QM异面 B．三棱锥的体积跟λ的取值无关

C．不存在λ使得 D．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为

【答案】BD

【分析】证明可判断A；由等积法可判断B；建立坐标利用向量数量积可判断C；求出截面梯形的面积可判断D

【详解】连AC，CQ，则M，N分别为AC，AQ的中点，MN为的中位线.

∴，则CN，QM共面，A错.

为定值，B对.

如图建系，，则

，

，C错.

截面如图所示，图形ACFQ，过Q作AC的垂线 垂足为G.

，

∴，D对.    

故选：BD

三、填空题

13．已知两直线，，若，则实数______．

【答案】或

【分析】根据，再解方程即可得答案．

【详解】解：因为，，且，

所以，，即，解得或；

所以，实数或

故答案为：或

14．已知数列满足，，则_______.

【答案】2

【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.

【详解】求不动点，设，令得：，化简得：，

显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规律即可，由题意，，所以，，，，，，

从而是以6为周期的周期数列，故.

故答案为：2

15．已知平面的一个法向量，点在平面内，若点在平面内，则___________

【答案】

【分析】利用向量垂直列方程，化简求得

【详解】根据题意可得，

因为平面的一个法向量，

所以，解得，

故答案为：

16．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P是双曲线右支上的一点，与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是______.

【答案】3

【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的离心率

【详解】设的内切圆在边上的切点分别为，

则，

又由，可得，则，

则，

又，则，即，

由，可得，即，

则双曲线的离心率，

故答案为：3

四、解答题

17．如图所示，平行六面体的底面是菱形，，，，，，设，，．

(1)试用，，表示，；

(2)求MN的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将 当作基底，按照向量线性运算的规则计算即可；

（2）运用向量求模的方法计算.

【详解】（1）

如图，连接AM，AN， ，

，

，  ， ；

（2）由条件得： ，

，

，

；

综上，，，  .

18．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．

(1)求直线的一般式方程；

(2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；

（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．

【详解】（1）解：由题意知，解得，

直线和的交点为；

设直线的斜率为，与直线垂直，；

直线的方程为，化为一般形式为；

（2）解：设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为

，由垂径定理得，

解得，

圆的标准方程为．

19．已知各项均为正数的数列，其前项和为，．

(1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式；

(2)若数列为等比数列，，求满足时的最小值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得公差，即可写出通项公式；

（2）根据等比数列的基本量，求得，再求解不等式即可.

【详解】（1）设数列为公差为的等差数列，由，，

可得，解得，

故.

（2）数列为公比为的等比数列，由，，

可得，即，

则，

由，即可得：，

则，故的最小值为7．

20．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.

（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；

（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；

（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），

可得、、、、

、、、、.

（Ⅰ）依题意，，，

从而，所以；

（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，

，．

设为平面的法向量，

则，即，

不妨设，可得．

，

．

所以，二面角的正弦值为；

（Ⅲ）依题意，．

由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

21．已知数列满足且，且.

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列的前项和为，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将已知条件与两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；

（2）利用裂项相消求和法求出即可证明.

【详解】（1）解：因为，所以，

两式相减得，

当时，， 又，所以，

所以，

所以是首项为2，公比为2的等比数列，

所以；

（2）证明：，

所以， 由，得，

所以，

综上，.

22．如图，椭圆经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得 ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）存在

【详解】 ① ②

②代入①得

【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力.