2022-2023学年山东省临沂市平邑县第一中学东校区高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省临沂市平邑县第一中学东校区高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.

【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.

故选：A.

2．已知函数的图像在点处的切线方程是，那么（ ）

A． B．1 C． D．3

【答案】D

【分析】利用切线方程求得，根据导数的几何意义可求得，即可求得答案.

【详解】由题意函数的图像在点处的切线方程是，

则， ，

故，

故选：D

3．已知，则导数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求得，进而可计算得出的值.

【详解】，，因此，.

故选：D.

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（    ）

A．1 B．－1 C．2 D．

【答案】A

【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.

【详解】＝＝＝1.

故选：A.

5．数列的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据分子和分母的数学特征进行判断即可.

【详解】原数列可变形为，

所以，

故选：C

6．抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得抛物线的焦点坐标．

【详解】将抛物线的化为标准方程为，，开口向上，焦点在轴的正半轴上，

所以焦点坐标为．

故选：C．

7．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为

A．相切

B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心

D．相离

【答案】B

【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．

解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1

则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，

把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．

所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．

故选B

【解析】直线与圆的位置关系．

8．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（       ）

A．10 B．15 C．20 D．25

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义求解即可

【详解】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知

∴

故选：C

9．若两直线与平行，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．0

【答案】A

【分析】根据两直线平行的充要条件可得，即可求的值.

【详解】由题意知：，整理得，

∴，

故选：A

10．直线恒过定点（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由时，可得到定点坐标.

【详解】当，即时，，直线恒过定点.

故选：B.

11．已知曲线上一点，在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义可求出结果.

【详解】由得，则切线的斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

故选：A

二、多选题

12．下列求导过程正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据基本初等函数的导函数判断可得选项.

【详解】解：由，得A错误；

由，得B正确；

由，得C正确；

由，得D错误．

故选：BC.

13．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用向量坐标运算法则求解即可．

【详解】因为向量，，

所以，故A正确；

，故B错误；

，故C错误；

，故D正确．

故选：AD

14．（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（    ）

A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列

C． D．

【答案】BD

【分析】根据已知条件判断的关系，结合等比数列的知识求得，从而确定正确选项.

【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列，

，即.

所以BD选项正确.

故选：BD

15．已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（    ）

A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率

C．椭圆的短轴长为4 D．的面积的最大值是4

【答案】BCD

【分析】由题意可得，即可判断A，B，C；当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断.

【详解】解：因椭圆方程为，

所以，

所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为，

故A错误，B,C正确；

对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2,

此时的面积取最大为,故正确.

故选：BCD.

三、填空题

16．正项等比数列中，，则的值是________.

【答案】20

【分析】根据等比数列的性质求解即可.

【详解】在等比数列中，，

，

故答案为:20.

17．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.写出一个焦点在轴上，对称中心为坐标原点的“黄金椭圆”的标准方程__________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由题可设，根据离心率结合条件即得.

【详解】由题可设，

令，由题可知，

所以，，

所以“黄金椭圆”的标准方程可为.

故答案为：.

18．已知抛物线的焦点坐标为，则的值为___________.

【答案】

【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得值.

【详解】因为抛物线，

所以抛物线的焦点坐标为，

又因为抛物线的焦点坐标为，

所以，则.

故答案为：.

19．设函数，，则实数a＝______．

【答案】2

【分析】先对求导，再利用即可求解.

【详解】由题可得，

所以，

解得．

故答案为：.

四、解答题

20．如图，在三棱柱中，点D是AB的中点．

(1)求证：∥平面．

(2)若平面ABC，，求证：平面．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)连接，交于点，连接，用中位线证明即可；

(2)证明CD⊥AB，CD⊥即可.

【详解】（1）连接，交于点，连接

∵是三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴是的中点.

∵点是的中点，∴是的中位线，∴，

又平面，平面，∴∥平面.

（2）∵平面，平面，∴，

∵，，∴，

∵，平面，

∴平面.

21．已知是等差数列的前n项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．

【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.

【分析】（1）利用公式，进行求解；

（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.

【详解】（1）由题意可知：，当时，，

当时，，

当时，显然成立，∴数列的通项公式；

（2），

由，则时，取得最大值28，

∴当为4时，取得最大值，最大值28．

【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.

22．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.

（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；

（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）因为在抛物线上，可得，由抛物线的性质即可求出结果；

（2）由抛物线的定义可知，根据点斜式可求直线的方程为 ，利用点到直线距离公式求出高，进而求出面积.

【详解】（1）∵在抛物线上，，

∴点的坐标为，抛物线的准线方程为；

（2）设 的坐标分别为，则，

，∴直线的方程为 ，

点到直线的距离，

.

【点睛】本题主要考查了抛物线的基本概念，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.