2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高二上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线l，m的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．垂直D．异面
【答案】A
【分析】根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行，理解判断．
【详解】根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行．
故选：A．
2．已知等边的直观图的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由原图和直观图面积之间的关系即可得结果.
【详解】因为直观图的面积为，
所以，解得，
故选：D.
3．设命题则命题 p 的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题得，
命题 p 的否定为.
故选：B.
4．若且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】若，满足，此时，排除充分性，
若，满足，此时，排除必要性，
故选：D
5．已知抛物线上一点到其焦点的距离为2，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义即可求得答案.
【详解】由题意，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，∴.
故选：A.
6．已知椭圆的长轴长为10，离心率为，则椭圆的短轴长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据已知求出，再求出即得解.
【详解】由题意，得，，所以，所以，
所以椭圆的短轴长为8.
故选：D.
7．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.
【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.
故选：C.
8．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.
【详解】，，
因为点到的准线的距离为，所以，得．
故选：C
9．如图，在矩形ABCD中，，，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A-BCD正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A-BCD的侧视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正视图和俯视图得到该几何体的直观图，然后确定侧视图即可.
【详解】由正视图和俯视图得到该几何体的直观图如下图所示：
所以该几何体的侧视图是等腰直角三角形，选项D符合，
故选：D
10．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据截面是面积为16的正方形可求底面圆的半径以及圆柱的高，进而可求圆柱的侧面积.
【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD，
面积为16，故边长，
即底面半径，侧棱长为，
则圆柱的侧面积是，
故选：B.
11．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）
A．x-2y-1=0B．x-2y+1=0C．2x+y-2=0D．x+2y-1=0
【答案】A
【分析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.
【详解】设与直线平行的直线方程为，
将点代入直线方程可得，解得．
则所求直线方程为．故A正确．
【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为．
12．已知斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，若C，D恰好是线段的两个三等分点，则椭圆E的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，由三等分点可用表示，表示，一方面由两点坐标得直线斜率，另一方面用点差法求得直线斜率，从而得的关系式，求得离心率．
【详解】如图，设，，∵C，D分别是线段的两个三等分点，∴，，则，
得，
利用点差法，由两式相减得，
整理得到，即，所以.
故选：C．
13．若曲线的切线方程为，则（ ）
A．-1B．1C．-3D．3
【答案】C
【分析】先切点为，利用斜率相等，切点即在直线上，又在曲线上，即可求解.
【详解】解：设切点为，又，则有，解得：，
故选：C
二、填空题
14．平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面______．
【答案】垂直
【分析】根据平面与平面垂直的性质定理可得.
【详解】平面与平面垂直的性质定理为：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直，
故答案为：垂直.
15．圆与的交点坐标为______.
【答案】和
【分析】联立两圆的方程即可求解.
【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或，
所以交点坐标为
故答案为：和
16．已知圆，过点作圆O的切线，则切线方程为___________.
【答案】或
【分析】首先判断点圆位置关系，再设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程求参数k，即可写出切线方程.
【详解】由题设，，故在圆外，
根据圆及，知：过作圆O的切线斜率一定存在，
∴可设切线为，联立圆的方程，
整理得，
∴，解得或.
∴切线方程为或.
故答案为：或.
17．已知长方体外接球的体积为，，则矩形面积的最大值为__________．
【答案】
【分析】先根据条件分析出外接球的半径，然后根据长方体外接球的半径与棱长的关系，求解出的值，利用基本不等式可求解出的最大值，从而矩形面积的最大值可求.
【详解】设长方体的外接球的半径为，
又长方体外接球的体积为，所以，所以，
又因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以，
所以，所以，
所以，取等号时，
所以矩形面积的最大值为，
故答案为：.
【点睛】结论点睛：长方体、正方体的外接球的半径和棱长的关系：
（1）已知长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的半径；
（2）已知正方体的棱长为，则正方体外接球的半径为.
三、解答题
18．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：（1）EH∥平面BCD；
（2）BD∥平面EFGH.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）推导出EH∥BD，由此能证明EH∥平面BCD；
（2）由BD∥EH，由此能证明BD∥平面EFGH.
【详解】（1）∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD.
∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴EH∥平面BCD；
（2）∵FG为△CBD的中位线，
∴FG∥BD，
∴FG∥EH，
∴E、F、G、H四点共面，
∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.
19．已知圆，圆.
(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
(2)若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
【答案】(1)圆C与圆M相交，理由见解析
(2)或
【分析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；
（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.
【详解】（1）把圆M的方程化成标准方程，得，
圆心为，半径.
圆C的圆心为，半径，
因为，
所以圆C与圆M相交，
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设其方程为，
由题意得，解得，
故直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
20．已知函数．
(1)求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
(2)求函数f（x）的单调区间与极值；
【答案】(1)1
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.
【分析】（1）求导，求出即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值.
【详解】（1）因为，所以，因此曲线y = f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；
（2）令，解得：x = 0或2．
所以 f（x）在，内是减函数，在内是增函数．
因此函数f（x）在x = 0处取得极小值f（0），且f（0）= 0，函数f（x）在x = 2处取得极大值，且f（2）=；
综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.
21．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的边长为，则，
，，
由于，所以平面.
22．（1）设抛物线上第一象限的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，求抛物线方程；
（2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程．
【答案】①；②．
【分析】（1）设，根据抛物线上第一象限的点到轴的距离为，求得M的坐标，再利用抛物线的定义求解；
（2）设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，再由双曲线过点求解.
【详解】（1）设，
因为抛物线上第一象限的点到轴的距离为，
所以，
则，
解得，
又因为点与焦点的距离为4，
由抛物线的定义得，
解得，
所以抛物线方程是；
（2）设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，
因为双曲线过点，
所以，
所以所求双曲线标准方程是．
23．在长方体中，已知,求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】
【分析】连接，由可得，是异面直线与所成的角，利用余弦定理可得结果.
【详解】连接A1D，∵A1D∥B1C,
∴∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成的角
连接BD,在△A1DB中, A1=A1D=5,BD=4
cs∠BA1D=
=
∴异面直线A1B与B1C所成角的余弦值是.
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.
24．设椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点为椭圆上一点.拋物线的焦点与点关于直线对称.
(1)求椭圆及抛物线的方程；
(2)直线与椭圆交于，与拋物线交于（异于原点），若，求四边形的面积.
【答案】(1)椭圆方程为，抛物线的方程为
(2)
【分析】（1）根据题意求出即可得出椭圆方程，根据对称求出即可得出抛物线方程；
（2）联立直线与曲线方程，表示出弦长，根据已知求出，即可求出面积.
【详解】（1）由题可得，解得，所以椭圆方程为，
易得点关于直线对称点为,所以，即，所以抛物线的方程为.
（2）联立方程得，设，
则，
设，联立方程，得，
所以，
因为，所以，解得，
因为，所以，故直线方程为，所以，
点到直线的距离为，点到直线的距离为，
所以四边形的面积.
x
0
2
－
0
+
0
－
↘
极小值
↗
极大值
↘