2022-2023学年青海省西宁市第十四中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年青海省西宁市第十四中学高一上学期期末考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 设，则， 设，，则“”是“”的， 下列函数中最小正周期为的是， 函数的零点所在的区间是， 已知，则， 函数的图象大致为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（共60分，每小题5分）
1. 已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
2. （ ）
A. B. C. D. —
【答案】C
【解析】
【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
3. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用作差法即得.
【详解】因为
恒成立，
所以．
故选：A
4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案.
【详解】是奇函数，不满足题意；
的定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意；
是非奇非偶函数，不满足题意；
是偶函数，且在区间上单调递增，满足题意；
故选：D
5. 设，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的含义，结合特殊值说明即可.
【详解】设，，显然有，但是不成立；
若，因为，所以有成立.
所以，“”是“”的必要而不充分条件.
故选：C.
6. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式即可求出.
【详解】设扇形的圆心角为，
则，即，解得.
故选：C.
7. 下列函数中最小正周期为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依次计算4个选项的周期即可.
【详解】对于A，为把轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为，正确；
对于B，的最小正周期为，错误；
对于C，的最小正周期为，错误；
对于D，最小正周期为，错误.
故选：A.
8. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反.
【详解】解：∵，
，
则，
∴函数的零点所在区间是 ，
当，且时，
，
，
，
ACD中函数在区间端点的函数值均同号，
根据零点存在性定理，B为正确答案.
故选：B.
【点睛】本题考查函数的零点存在性定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号.
9. 已知，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
10. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性排除选项和，再利用特殊值即可排除选项，进而求解.
【详解】由题意可知：函数的定义域为，
又因为，
所以函数为上的奇函数，故排除选项和；
又因为当时，函数，故排除选项，
故选：.
11. 已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ）
A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】D
【解析】
【分析】先将转化为，再根据三角函数图像变换知识得出正确选项.
【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.
故选：D.
12. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
二、填空题（共20分，每小题5分）
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
故答案：
14. 函数（且）恒过定点为 _________.
【答案】
【解析】
【分析】根据，直接求定点.
【详解】由函数，可知当时，.
所以函数恒过点.
故答案为：
15. 已知，则______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】首先根据诱导公式求出，再利用同角三角函数关系式求出的值，从而可求出的值.
【详解】因为，所以，所以或，
当时，，；
当时，，.
故答案：或.
16. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________ .
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，对任意的，恒成立.
①当时，则有，合乎题意；
②当时，由题意可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题（共70分，17题10分，18-22题各12分）
17. 已知.
（1）若为第三象限角，求的值
（2）求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，再结合且为第三象限角即可求解；
(2)结合（1）的结论和二倍角的余弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
则，因为且为第三象限角，
所以，.
【小问2详解】
由（1）可知：，
所以.
18. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．
已知集合．
（1）若，求；
（2）若________，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）化简集合，根据集合的运算直接计算即可得到结果.
（2）根据条件分集合为空集与集合不为空集分别讨论计算，即可得到结果.
【小问1详解】
，
当时，，所以或
所以或
【小问2详解】
由(1)知，
若选①：由，得
当，即时，，符合题意；
当时，，解得.
综上所述，实数的取值范围是
若选②：当时，，即；
当时，或
解得或不存在.
综上所述，实数的取值范围是
19. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.
【解析】
【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.
又，所以.
所以宽的最大值为16米.
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
20. 已知函数且点在函数的图像上.
（1）求，并在如图直角坐标系中画出函数的图像；
（2）求不等式的解集；
（3）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】（1），图像见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由得出，进而画出图像；
（2）由对数函数的单调性解不等式得出解集；
（3）由函数的图像与函数的图像有两个不同的交点，结合图像得出实数m的取值范围．
【小问1详解】
点在函数的图像上，，

，
函数的图像如图所示：
【小问2详解】
不等式等价于或，
解得或，
不等式的解集为
【小问3详解】
方程有两个不相等的实数根，
函数的图像与函数的图像有两个不同的交点．
结合图像可得，故实数m的取值范围为 .
21. 函数的部分图象如图：
（1）求解析式；
（2）写出函数在上的单调递减区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象求得，从而求得解析式.
（2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间.
【小问1详解】
由图象知，所以，又过点，
令，由于，故所以.
【小问2详解】
由，
可得，
当时，
故函数在上的单调递减区间为.
22. 已知定义域为 的函数是奇函数.
（1）求 的值;
（2）用定义证明 在上为减函数;
（3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求的范围.
【答案】（1），.
（2）证明见解析. （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.
（2）根据函数单调性的定义即可证明结论.
（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.
【小问1详解】
为上的奇函数，，可得
又 , ,解之得,
经检验当 且时， ，
满足是奇函数,
故，.
【小问2详解】
由（1）得 ，
任取实数 ，且，
则 ，
，可得，且，故，
，即，
所以函数在上为减函数;
【小问3详解】
根据 （1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数.
不等式 恒成立，
即恒成立，
也就是:对任意的都成立，
即对任意的都成立，
，当时取得最小值为，
，即的范围是.