青海省西宁市六校联考2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份青海省西宁市六校联考2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题5分，共12题，小计60分）
1. 经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为（ ）
A. 0B. －6C. 6D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据点A(2,3)，B(－1，x)求得直线l1与斜率，再令斜率为－1求解.
【详解】直线l1的斜率k1＝＝，
由题意可知＝－1，
∴x＝6.
故选：C
2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果．
【详解】解：由题意可得直线的斜率为，
则过点且垂直于直线的直线斜率为，
直线方程为，
化为一般式为．
故选：A．
3. 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合已知条件可知，正三棱锥为正方体的一部分，然后利用三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】由题意可知，正三棱锥为正方体的一部分，如下图所示：
则所求的正三棱锥为，且，
由正方体性质可知，，
所以，
从而.
故选：C.
4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图判断出立体图形并根据圆锥侧面积公式即可求解.
【详解】根据题意，该几何体为圆锥，
圆锥的底面半径为1，高为3，
则该几何体的侧面积是
故选：B.
5. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】若△AF1B的周长为4,
由椭圆的定义可知,,
,,
，
所以方程为，故选A.
考点：椭圆方程及性质
6. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
7. 设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知，根据题意，分别设出为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离，根据题意，且根据即可求得，然后直接求解球的体积即可.
【详解】由已知，A、B、C、D在同一平面内，且，
所以四边形为正方形，
设为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离，
根据球心到该平面的距离是球半径的一半，可知，，
而正方形边长为，所以，
由，解得，
所以.
故选：A.
8. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
9. 若直线与圆有两个不同的交点，则a的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题，直线与圆相交，则直线到圆心距离小于圆半径.
【详解】由题，圆心坐标为，半径为1，直线与圆相交.则圆心到直线距离，得，即，解得.
故选：B
10. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.
11. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据渐近线方程得到，根据共焦点得到，解得答案.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则.
椭圆与双曲线有公共焦点，则双曲线的焦距，即，
则，解得，，则双曲线C的方程为.
故选：B.
（理）
12. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
（文）
13. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
二、填空题（每题5分，共4题，小计20分）
14. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________.
【答案】x+y=3或y=2x
【解析】
【详解】试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，
把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，
把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x-y=0．
综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0
考点：直线方程
15. 若一个圆锥轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】设母线为，底面半径为，即可得到且，从而求出、，再根据侧面积公式计算可得.
【详解】解：由题意圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，设母线为，底面半径为，则，且，
，，，
所以圆锥的侧面积．
故答案为：．
16. 若圆C过三个点，，，则圆C方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆的方程为，根据圆过点，，，代入求解.
【详解】解：设圆的方程为，
因为圆过点，，，
所以，解得，
所以圆的方程为，
即.
故答案为：
17. 已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④m，n是两条异面直线，若，则．
上面的命题中，真命题的序号是____________．（写出所有真命题的序号）
【答案】③④
【解析】
【分析】利用平面与平面平行的判定和性质可判断各命题的真假．
【详解】若，则m与n平行或异面，故①错误；
，但m与n不一定相交，不一定成立，故②错误；
若，则，又由，则，故③正确；
m，n是两条异面直线，若，则过m的平面与平面相交于直线，有，过n的平面与平面相交于直线，有，m，n异面，一定相交，，如图所示，
由面面平行的判定可知，故④正确；
故答案为：③④
三、解答题（共六题，小计70分）
18. 已知的三个顶点分别为．求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题可得AC中点坐标，结合中线过B点，可得答案；
（2）由两点间距离公式可得边长，由点到直线距离公式可得高.
【小问1详解】
设AC边上中点为D，则，即，
故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，故为：，即．
【小问2详解】
边AC所在直线的方程为：，
且，
点B到直线AC的距离为：，
故的面积：
19. 已知圆：（）与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用直线与圆相切可得到关于的方程，求解即可；
（2）分类讨论直线的斜率存在与否两种情况，结合圆的弦长公式即可得解.
【小问1详解】
∵直线与圆：相切，
∴圆心到直线的距离等于圆的半径，即，∴．
∴圆的方程为．
【小问2详解】
∵直线截圆所得弦长为，∴圆心到直线的距离．
当直线的斜率不存在时，即，符合；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，∴，解得，
∴直线的方程为，即，
故直线的方程为或．
20. 已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接AC，通过证明，利用线面垂直的判定可得答；
（2）通过证明面可得答案.
【小问1详解】
连接AC，由已知F、G分别为和的中点，
，又面ABCD，面ABCD，
平面；
【小问2详解】
底面是正方形，
，
又底面，面ABCD，
，面，面，
面，又面，
.
21. （1）已知抛物线的焦点为，设过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，求线段的长．
（2）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，求双曲线C的离心率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）联立方程，利用抛物线的焦点弦长度公式和韦达定理计算弦长；
（2）利用双曲线的定义得到，，然后利用余弦定理得到的关系，进而求得离心率.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
直线的斜率为，则直线的方程为，
设点、，联立可得，，
由韦达定理可得，因此，.
（2）因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
22. 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证：
（1）底面；
（2）平面平面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可；
（2）首先证明出四边形为矩形，从而得到，，再利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的性质定理得到，再次证明平面，从而，最后利用三角形中位线性质和面面垂直的判定定理即可证明.
【小问1详解】
因为平面底面，，
平面底面，平面，
所以底面.
【小问2详解】
，，为中点，
，则四边形平行四边形，
，所以四边形为矩形，
，.
底面，平面，.
又平面，且，
平面，平面，.
和分别是和的中点，，.
又，，平面，
平面，平面，
平面平面.
（理）
23. 已知椭圆的离心率为.
（1）证明：；
（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.
①求直线的方程；
②求椭圆的标准方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）由可证得结论成立；
（2）①设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
②将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，可求出的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】（1），，因此，；
（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，
当在椭圆的内部时，，可得.
设点、，则，所以，，
由已知可得，两式作差得，
所以，
所以，直线方程为，即.
所以，直线的方程为；
②联立，消去可得.
，
由韦达定理可得，，
又，而，，
，
解得合乎题意，故，
因此，椭圆的方程为.
（文）
24. 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，再结合即可求得答案；
（2）联立直线、椭圆方程可得两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.
【详解】（1）椭圆经过点，所以，
因离心率为，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由得，解得，
所以，或，
可得，，或者，，
所以.