2022-2023学年江苏省盐城市响水县清源高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城市响水县清源高级中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．如果， ，那么直线不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】直线变换为，确定，，得到直线不经过的象限.

【详解】由可得，，

因为，，故，.

故直线不经过第四象限.

故选：D

2．已知两条平行直线，间的距离为，则（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】B

【分析】由直线的平行关系，可求出a的值，再利用平行直线的距离公式，求出b的值，即可求解.

【详解】因为，所以，

即，

因为直线与间的距离为，解得或，

所以，

故选：B.

3．记等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．24 B．36 C．48 D．64

【答案】C

【分析】根据等差数列前项和公式及等差数列性质求解即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：C

4．与圆关于直线对称的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设圆心关于直线对称的点的坐标为，利用垂直以及中点在对称轴上，求得，的值，可得对称圆的方程．

【详解】解：设圆心关于直线对称的点的坐标为，

所以，解得，故对称圆的圆心为，对称圆的半径和原来的圆一样，

故对称圆的方程为；

故选：C．

5．已知函数​，则​（    ）

A．​ B．1 C．​ D．5

【答案】B

【分析】利用导数运算求得.

【详解】，

令得.

故选：B

6．已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等差数列的前项和的特点和条件可设，，然后算出、即可得答案.

【详解】因为=，所以可设，，，

所以，，

所以，

故选：A.

7．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从而进一步解出答案.

【详解】依题意得, 以线段 为直径的圆的方程为 ,

双曲线 的一条渐近线的方程为 .

由 以及

解得 或

不妨取 , 则 .

因为 ,

所以 ,

又 ,

所以 ,

所以 ,

所以该双曲线的离心率 .

故选：D.

8．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】构造新函数，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，可得结果.

【详解】令，则

由，所以

故函数为上的单调递增，所以

故

即

故选：B

【点睛】本题主要考查利用函数单调性比较式子大小，难点在于构造函数，属中档题.

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

B．直线必过定点

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为

【答案】ACD

【分析】当在两坐标轴上的截距相等且等于0时可判断A；由含参直线方程过定点的求法计算可判断B；由可判断C；计算出端点处的斜率结合图形可判断D

【详解】对于A：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，

可设直线方程为，又直线过点，则，即，

此时直线方程为，故A错误；

对于B：直线可变形为，由解得，

即直线必过定点，故B正确；

对于C：当倾斜角时，无意义，故C错误；

对于D：直线即，经过定点，

当直线经过点时，斜率为，

当直线经过点时，斜率为，

由于线段与轴相交，故实数的取值范围为或，故D错误；

故选：ACD

10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，则下列结论正确的是（    ）

A．以为直径的圆与抛物线的准线相切

B．

C．

D．若直线的倾斜角为，且，则

【答案】ACD

【分析】根据抛物线焦点弦性质，抛物线定义，数形结合思想解决即可.

【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程是，

由题意知，直线的斜率一定存在，

设其方程为，联立

消去得，

设线段的中点，

所以，

所以点到准线的距离，

所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，故A正确；

由韦达定理，得，故B错误；，

所以

，故C正确；

若直线的倾斜角为，且，则点在点左侧，

如图，直线与准线交于点，分别表示点到准线的距离，

则，设，则，

又，

所以，所以，故D正确.

故选:ACD.

11．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ）

A．为递减数列 B．

C．是数列中的最大项 D．

【答案】ACD

【分析】根据题意，求得的范围，再根据等比数列的性质，对每个选项进行分析，即可判断和选择.

【详解】因为数列为等比数列，且，，故，该数列为正项等比数列；

若，显然不满足题意，舍去；若，则，不满足，舍去；

若，则该数列为单调减数列，由，

故可得，或，，

显然，不满足题意，故舍去，则，

对A：因为，故数列为单调减数列，A正确；

对B：，即，即，故B错误；

对C：因为单调递减，且，故的最大值为，C正确；

对D：，故D正确；

故选：ACD.

12．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（    ）

A．在上是“弱减函数”

B．在上是“弱减函数”

C．若在上是“弱减函数”，则

D．若在上是“弱减函数”，则

【答案】BCD

【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.

【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；

对于B，，在上，函数单调递减，

，，∴在单调递增，故B正确；

对于C，若在单调递减，由，得，

∴，在单调递增，故C正确；

对于D，在上单调递减，

在上恒成立，

令，，令，

，

∴在上单调递减，，

∴，∴在上单调递减，，

∴，

在上单调递增，

在上恒成立，

∴，

令，，

∴在上单调递增，，

∴，

综上：，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．在数列中，，且，则__________.

【答案】4

【分析】利用递推公式累加即可求解.

【详解】由题意可得，

所以，，……，，

累加得，

所以，

故答案为：4

14．入射光线沿直线射向直线，被反射后的光线所在直线的方程是_____．

【答案】

【分析】在入射光线上取点，它关于直线的对称在反射光线上，再求得入射光线与直线的交点坐标，由两点求斜率后得直线方程．

【详解】在入射光线上取点，则关于的对称点在反射光线上，

又由得，

，

所以反射光线所在直线方程为，即．

故答案为：．

15．若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=______.

【答案】或##或

【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可.

【详解】解：∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

∴切线方程为：,

∵切线过原点，

∴,整理得：,

∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，

∴,解得或,

∴或,

故答案为：或

16．已知直线：与，轴的交点分别为，，且直线：与直线：相交于点，则面积的最大值是______.

【答案】

【分析】由条件确定点的轨迹，由此可求点到直线的距离的最大值，结合三角形面积公式求面积的最大值.

【详解】因为，所以直线：与直线：垂直，

又直线方程可化为，所以直线过点，

因为直线方程可化为，所以直线过点，

所以，故点的轨迹为以为直径的圆，又线段的中点的坐标为，，所以点的轨迹方程为，

因为到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值为，

由方程取可得，取可得，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，

所以面积的最大值为，即，

故答案为：.

四、解答题

17．已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l.

(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；

(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．

【答案】(1)x＝4或3x＋4y-8＝0.

(2)

【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；

（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.

【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2

当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；

当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，

则圆心到直线的距离为即，解得，

所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0.

综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0.

（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0，

圆心到直线l的距离

故所求弦长为：.

18．数列是递增的等差数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过等差数列的通项公式得到关于的方程组，解出即可.

（2）分和，讨论，结合等差数列前项和的公式即可得到答案.

【详解】（1）设递增的等差数列的公差，

因为，，所以，

解得，或（舍去），所以.

（2）设，则.

由，即，解得.

当，时，.

当，时，

.

故.

19．已知函数．

(1)求函数的单调区间与极值；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值是，极小值是

(2)最大值为，最小值为．

【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；

（2）根据极值和端点值即可确定最值.

【详解】（1）．

令，得或；令，得，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是．

所以的极大值是，的极小值是．

（2）因为，

由（1）知，在区间上，有极小值，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为．

20．已知数列的前n项和满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由与的关系即可求得数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求数列的前n项和.

【详解】（1）当，，故，

因为，当时，,

两式相减得：，即，

故数列为等比数列，公比，

所以．

（2），

故，

故，

令①，

②，

①-②得

即，

故．

21．已知函数 .

(1)讨论函数 的单调性；

(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）由导数法即可求；

（2）分别讨论，由的单调性及零点存在定理判断零点即可.

【详解】（1），

时，恒成立，在上是增函数；

时，时，是减函数，时，是增函数，

综上， 时，在上是增函数，时，在上是减函数， 在上是增函数；

（2）i. 时，由 (1)得在上是增函数，，故只有一个零点；

ii. 时，由(1)得.

①当时，，只有一个零点，符合题意；

②当时，，故在有一个零点，

又在上是增函数，

设，，，

∴在单调递增，，

∴在单调递增，，

设，由知，当，，单调递减；当，，单调递增，

∴，即，

故在有一个零点，不合题意；

③当时，，故有一个零点，

又在上是减函数，，由②得，

故在有一个零点，不合题意.

综上，的取值范围是.

【点睛】方法点睛：1. 零点个数可根据函数单调性及零点存在定理判断；

2. 对于含参函数，难点在于找到合适的自变量满足零点存在定理，本题中可根据函数形式，构造函数说明时，及；时，及.

22．已知椭圆的左右顶点为A、B，直线l：.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.

(1)记直线AM，AN的斜率分别为、，求的值；

(2)证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.

【答案】(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）首先设出点的坐标，根据，利用斜率公式表示；

（2）当直线PQ的斜率存在时，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，从而得到与的关系，计算定点坐标，并验证当直线的斜率不存在时，也过此定点.

【详解】（1）由已知可得MN为圆G的直径，所以，则，

根据题意不妨设，， 则，所以，所以.

（2）证明：当直线PQ的斜率存在时，

设直线PQ的方程为，，，

联立，得，所以，，

，

所以，

所以，

即，或，

当时，直线l的方程为，过定点，

当时，直线l的方程为，过定点，舍去.    

当直线PQ斜率不存在时，，，，

直线方程是与椭圆方程联立得，同理得，此时直线PQ的方程是，过定点，

综上可知，直线PQ过定点，该定点坐标是.