2022-2023学年江苏省盐城市响水县灌江高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城市响水县灌江高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据补集的定义计算可得；

【详解】解：∵全集，集合，∴．

故选：B．

2．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零，分母不等于零，即可得解.

【详解】解：由函数，

得，解得且，

所以函数的定义域是.

故选：A.

3．已知命题p：∃n∈N，n2>3，则﹁p为（    ）

A．∀n∈N，n2≤3 B．∃x∈N，n2≤3

C．∀n∈N，n2>3 D．∃n∈N，n2＝3

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定形式，即可判断选项.

【详解】根据特称命题的否定形式，可知，.

故选：A

4．列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的地，假设列车匀速前进，后从地到达地，则列车与地距离（单位：与行驶时间（单位：）的函数图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】当列车到达地时，距离，求出列车到达地的时间即可得出答案.

【详解】由题可知列车的运行速度为，

列车到达地的时间为，

故当时，.

故选：C.

5．已知：，：，则是的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．既不充分也不必要 D．充分必要

【答案】B

【分析】求出命题对应的的取值范围，根据集合包含关系即可求出.

【详解】由可得，即，解得或，所以命题对应的的取值范围为，

因为，

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

6．已知函数，若，则实数a的值为（    ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

【答案】B

【分析】首先求出的解析式，再根据指数对数恒等式得到，即可得到方程，解得即可；

【详解】解：根据题意，，

则有，若，即，解可得，

故选：B．

7．已知，，则用，表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将指数式化为对数式，再根据换底公式以及对数的运算性质可得结果.

【详解】因为，所以，

所以

.

故选：B

【点睛】关键点点睛：根据换底公式以及对数的运算性质求解是解题关键.

8．若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合基本不等式，求得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】由题意，两个正实数x，y满足，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

又由恒成立，可得，即，

解得，即实数m的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中利用基本不等式求得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

二、多选题

9．给出下列四个对应，其中构成函数的是

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】本题可通过每一个自变量是否有唯一的数字与之对应来判断是否可以构成函数.

【详解】A项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，A正确；

B项：自变量没有对应的数字，不能构成函数，B错误；

C项：自变量同时对应了两个数字，不能构成函数，C错误；

D项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，D正确，

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义，需考虑是否满足定义域中的每一个元素是否通过这个对应关系都有唯一的一个元素与之对应，是中档题.

10．设集合，，，则下列关系中正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】化简集合，算出，逐个选项进行判断即可得到答案.

【详解】，，

中的元素为点集，

故，，

故选：BC

11．已知集合，若，则实数的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题得，再对分两种情况讨论，结合集合的关系得解.

【详解】因为，所以.

由得，

当时，方程无实数解，所以，满足已知；

当时，，令或2，所以或.

综合得或或.

故选：ABD

【点睛】易错点睛：本题容易漏掉. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.

12．已知函数满足，则关于函数正确的说法是（    ）

A．不等式的解集为 B．值域为且

C． D．的定义域为

【答案】ABC

【分析】换元法求得且且即知D正误，解分式不等式判断A，根据分式型函数的性质求值域并求的值.

【详解】令则，故，即且且，D错误；

所以，即，故，得，A正确；

由且且，则值域为且，B正确；

，C正确.

故选：ABC

三、填空题

13．命题“，”的否定是___________.

【答案】，

【分析】根据含量词的命题的否定规律求命题“，”的否定.

【详解】命题“，”的否定是“，”，

故答案为：，.

14．已知，则=_________.

【答案】

【解析】由指数运算求得，由此可得答案.

【详解】因为，所以.

故答案为：.

15．已知正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】

【分析】由题意可得，，由基本不等式性质可得的最小值.

【详解】解：由，可得，

可得，

故的最小值为

【点睛】本题主要考查基本不等式，注意灵活运用其性质进行求解.

16．已知实数满足，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】设，求出，再根据不等式的性质即可得解.

【详解】解：设，

则，解得，

所以，

因为，

所以，

又因，

所以，

即的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）求值：；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）2.

【分析】（1）由指数幂的运算性质与对数的运算性质求解即可；

（2）由指数与对数的互化和对数的运算性质求解即可

【详解】解：（1）原式；

（2），则，

∴，

∴．

18．已知集合，集合．现有三个条件：条件①；条件②；条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：

(1)若，求；

(2)若______，求的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．

【答案】(1)；

(2)选择条件，答案见解析.

【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，再求出其补集，再利用交集的定义计算作答.

（2）选择条件①，③，利用交集、并集的结果转化为集合的包含关系，再讨论求解作答；

选择条件②，利用集合的包含关系，讨论求解作答.

【详解】（1）集合，或，

当时，，则.

（2）选择条件①：，则，

若，则，解得，

若，则，解得，

综上得：，

所以的取值范围是.

选择条件②：，由（1）知，或，

若，则，解得 ，

若，则或，解得或，

综上得：或，

所以的取值范围是或.

选择条件③：，则，

于是得：，解得，

所以的取值范围是.

19．已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为B．

(1)当m＝2时，求；

(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求对数复合函数定义域、解一元二次不等式求出集合A和B，利用集合的并补运算求．

（2）解含参一元二次不等式求集合B，根据充分条件有A⊆B，列不等式求m的范围即可．

【详解】（1）由题设得：，即函数的定义域A＝，则，

当m＝2时，不等式得：，即B＝[3,4]，

所以＝．

（2）由得： x＝m2或x＝，

又，即，

综上，的解集为B＝，

若x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，即，得：，

所以实数m的取值范围是．

20．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.

(1)当时，求海报纸的面积；

(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

【答案】(1)

(2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．

【分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；

（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．

【详解】（1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，

则梯形长的底边，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

，，

故海报面积为．

（2）直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，

，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

海报宽，海报长，

故，

当且仅当，即，

故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．

21．已知函数.

(1)将函数写出分段函数的形式，并画出图象.

(2)利用图象回答：当为何值时，方程有一解？有两解？有三解？

【答案】(1)，图象答案见解析

(2)当或时，有一解；当或时，有两解；当时，有三解

【分析】（1）要根据绝对值的定义，利用零点分段法，分当时和当时两种情况，化简函数的解析式，最后可将函数写出分段函数的形式，进而根据分段函数图象分段画的原则，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

（2）根据（1）中函数的图象，结合函数值，可得方程有一解，有两解和有三解时，的取值范围．

【详解】（1）当时，

当时，

综上.

其函数图象如图所示：

（2）由（1）中函数的图象可得：且，

当或时，方程有一解.

当或时，方程有两解.

当时，方程有三解.

22．已知函数.

(1)求与，与；

(2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系吗？证明你的发现；

(3)求的值．

【答案】(1)，，，.

(2)，证明见解析.

(3).

【分析】（1）将解析式化简为代入数值计算即可；

（2）通过（1）化简的函数解析式求出的解析式，相加化简即可；

（3）根据（2）的结论，分析原式中一共有多少项数，进行求和即可.

【详解】（1）解　(1)由，

所以，

 ；

，

.

（2）由(1)中求得的结果发现.

证明如下：

.

（3）由(2)知，

所以.