吉林省长春市农安县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份吉林省长春市农安县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
1、点到直线的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
2、若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3、在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
4、若椭圆上一点到焦点的距离为为的中点，是坐标原点，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5、已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
6、由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7、在直三棱柱中，是的中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8、已知点在双曲线上，线段的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选择项中，有多项符和题目要求。全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9、以下命题正确的是（ ）
A．直线的方向向量为，直线的方向向量，则
B．直线的方向向量，平面的法向量，则
C．两个不同平面的法向量分别为，则
D．平面经过三点，向量是平面的法向量，则
10、已知方程表示的曲线为．则以下四个判断正确的为（ ）
A．当时，曲线表示椭圆
B．当或时，曲线表示双曲线
C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
11、若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线渐近线上的点到距离的最小值为4B．离心率为
C．双曲线上的点到距离的最小值为2D．过的最短的弦长为
12、设圆：的圆心为为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．B．四点共圆
C．D．直线的方程为：
第П卷（共90分）
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13、两圆与的公切线有______条．
14、双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为______．
15、椭圆的左、右顶点分别为为椭圆上任意一点，则直线和直线的斜率之积等于______．
16、如图，在长方体中，，点为的中点，则点到平面的距离为______．
四、解答题：共6小题，共70分。
17、已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明．
18、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
（1）斜率是，经过点；
（2）经过点，平行于轴；
（3）在轴和轴上的截距分别是；
（4）经过两点．
19、已知圆过平面内三点，
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
20、已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式．
（1）求线段的长度；
（2）求顶点的轨迹方程．
21、如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，分别是棱的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．
22、已知椭圆过点，且长轴长等于4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值．
农安县高二年级2023年秋季期中调研
数学答案
1、答案：C
解析：由点到直线的距离公式得．
2、答案：B
解析：设直线的倾斜角为，因为直线的一个方向向量为，
所以，
因为，所以，
故选：B．
3、答案：C
解析：根据向量共面定理，，若不共线，且，共面，则其充要条件是，
由此可得A，B，D不正确，
选项C：，所以四点共面，
故选：C．
4、答案：B
解析：因为椭圆，所以，设椭圆的另一个焦点为，
则，而是的中位线，
所以．
5、答案：D
解析：如图，设，则，且三个向量两两的夹角为．，
．
6、答案：B
解析：因为，所以下焦点坐标为，渐近线方程为，即．
则下焦点到的距离，
又因为，解得，即．
所以渐近线方程为．
7、答案：A
解析：设，则，所以，，
因为，所以，解得，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
8、答案：D
解析：设，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为3，故直线的方程为：，联立，解得．由韦达定理得：，则．故选：D．
9、答案：CD
解析：
10、答案：BCD
解析：由，得，满足，此时方程表示圆，故A选项错误；
由双曲线的定义可知，当，即或时，方程表示双曲线，故B选项正确；
由椭圆的定义可知，当椭圆的焦点在轴上时，满足，解得，故C选项正确；
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则解得，故D选项正确．
故选BCD．
11、答案：AC
解析：由题意知，，即，因为，所以右焦点为，双曲线的渐近线方程，
A．最小值为由向双曲线的渐近线作垂线，即垂线段的长度，
，故A正确，
B．，故B错误；
C．当双曲线上的点为其右顶点时，距离最小值为2，故C正确；
D．过点且斜率为0的直线与双曲线交点为，此时最短弦，故D错误．
12、答案：ABD
解析：
13、答案：3
解析：圆圆心坐标为，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为4，则两圆的圆心距为，
两圆外切，两圆公切线的条数为3条，故答案为3．
14、答案：
15、答案：
解析：椭圆的左、右顶点分别为，
由
故答案为：．
16、答案：
17、答案：设，由题意得，
,
因为，所以，
又，
所以，
所以
18、答案：解：（1）由点斜式得，化成一般式得
（2）由题意得，化成一般式得．
（3）由截距式得，化成一般式得．
（4）由两点式得，化成一般式得．
解析：
19、答案：（1）圆的标准方程为．
（2）直线方程为或．
解析：（1）设圆的方程为，
，解得，
即，故圆的标准方程为．
（2）圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，方程为：，
当直线斜率存在时，设直线方程为：，
，
直线方程为或．
20．答案：（1）线段常长为4．
（2）顶点的轨迹方程为．
解析：（1）将椭圆方程化为标准形式为，
可得，故
（2），
由正弦定理，得
即动点到两定点的距离之差为定值，
动点的轨迹是双曲线的右支，且，
故顶点的轨迹方程为．
21、答案：（1）证明过程见解析．
（2）平面与平面所成二面角的正弦值为．
解析：（1）是棱的中点，
，又，
平面平面，
又平面，
又平面平面平面．
（2）由题知平面中，，
则两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
不妨设，
又，易得，
，
设平面与平面的法向量分别为和，
则，即，
令，可得；
则，即，
令，可得，
，
设平面与平面所成二面角为，则，
平面与平面所成二面角的正弦值为
22、答案：（1）由题意，椭圆的长轴长，得，
因为点在椭圆上，所以得，
所以椭圆的方程为．
（2）由直线与圆相切，得，即，
设，由消去，整理得．
由题意可知圆在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以．
．
所以
因为，所以．
又因为，所以，得的值为．