2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高二上学期1月学情检测数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高二上学期1月学情检测数学试题

一、单选题

1．过点和点的直线在上的截距为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】求出直线AB的方程，解出直线在上的截距

【详解】过点和点的直线方程为即，

故直线在上的截距为1，

故选：A

2．在等差数列中，若，，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】根据等差数列通项公式列方程组即可求得.

【详解】设等差数列的公差为d,,解得：.

故选：B

3．抛物线的焦点坐标，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】由抛物线的标准方程求焦点坐标，可解得答案.

【详解】，解得：p=2.

故选：D

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．4

【答案】C

【分析】由题意可知，，利用导数的四则运算即可求出，代入数值即可求得结果.

【详解】因为，所以，所以．

故选：C．

5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，则最大一份与最小一份和为（    ）

A．30 B．35 C．40 D．60

【答案】C

【分析】设5人所得面包个数依次为，由等差数列的前项和公式可得．

【详解】设5人所得面包个数依次为，它们成等差数列，由题意

，，

故选：C．

6．函数的增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性，注意原函数的定义域.

【详解】由题意可知：函数的定义域为，

∵，

令，则，解得或，且，

∴函数的增区间是.

故选：D.

7．乒乓球(Table Tennis)，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育比赛项目．假设一个质量合格的乒乓球，从1 m高的高度自由下落，每次下落后反弹的高度都是原来高度的．则至少经过几次着地后，它经过的路程能超过500 cm．（    ）

（参考数据：，）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】第一次着地后，小球每次着地经过的路程成等比数列，求和得总路程，建立不等式，两边取对数得的范围.

【详解】经过次着地后，经过的路程

 ，

.

故选：C

8．已知圆，点在圆C上，点A，直线AP与圆C的另一交点为Q，且Q为AP的中点，则直线AP的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先设出点的坐标，利用中点坐标表示点的坐标，分别将，代入到圆的方程，

可以解出，坐标，再利用两点求斜率即可得出结果.

【详解】设点的坐标为，因为是中点，所以，

又因为，均在圆上，所以代入得，解得或

，即，或，，

则直线AP的斜率或，

故选：D

二、多选题

9．已知数列，其前项和为．则下列结论正确的是 （    ）

A．若数列是等差数列，则是等差数列

B．若数列是等比数列，则是等比数列

C．若数列是等差数列，则是等差数列

D．若数列是等比数列，则是等比数列

【答案】AC

【分析】根据等差数列的定义等差中项的性质判断AC，结合等比数列的定义举例说明判断BD．

【详解】对于A，若数列是等差数列，设公差为，则为常数，因此是等差数列，A正确；

对于C，，，

，

显然有，，…，，

所以，即是等差数列，C正确；

对于B，，则是等比数列，但，不是等比数列，B错误，

对于D，，当，，，，则不是等比数列，D错误．

故选：AC．

10．下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对于A，取进行验证；

对于B，令，利用导数求出的最小值即可判断；

对于C，令，利用导数求出的最大值即可判断；

对于D，令，利用导数得在上单调递增，又，从而得当时，，即可判断.

【详解】解：对于A，当时，，此时，故错误；

对于B，令，则有令，得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以，

即，所以，

所以，故正确；

对于C，令，

则，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，

所以，即，故正确；

对于D，令，

所以，所以在上单调递增，

又，

所以当时，，即，故错误.

故选：BC.

11．已知数列的前项和为，若首项，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A．是等比数列 B．是等比数列

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据等比数列的定义结合条件可判断AC，根据数列的前3项可判断B，根据等比数列的求和公式可判断D.

【详解】因为，且满足，

所以，，

所以，又，

所以是首项为6，公比为2的等比数列，故A正确；

由，，可得，，

所以，，

所以不是等比数列，故B错误；

由，可得，又，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，即，故C正确；

因为，

所以

，故D正确.

故选：ACD.

12．双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ）

A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1

C．取值范围是 D．

【答案】ACD

【分析】利用相关点法可明确G的轨迹，利用G的轨迹可知的长度的范围，利用内角平分线定理与双曲线定义可得取值范围，利用内角平分线定理与焦半径公式可得.

【详解】设，又，，，即，又是双曲线上一点，

∴，即，故A正确；

∵G的轨迹是双曲线的一部分，实半轴长为，∴，故B错误；

根据内角平分线定理可知，，

又，∴，故C正确；

同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，，

∴，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____．

【答案】3

【分析】根据导数的几何意义结合条件即得.

【详解】由，可得，

所以，

由题意知，，

所以.

故答案为：3.

14．双曲线的离心率，则实数k的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由已知可得，再由，解不等式可得k的取值范围

【详解】双曲线方程可变形为，则.

又因为，即，解得.

故答案为：

【点睛】此题考查由双曲线的离心率的范围求参数的取值范围，属于基础题

15．设等比数列的前项积为，若，则______．

【答案】27

【分析】根据等比数列的性质可得，进而，即得.

【详解】设的公比为，因为，

所以，.

故答案为：27.

16．设曲线（），直线及（）围成封闭图形的面积为，则______．

【答案】

【分析】利用定积分可得，在对函数求导即可求解.

【详解】因为曲线（），直线及（）围成封闭图形的面积为为

.

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．已知椭圆的焦点为，，且该椭圆过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆上的点满足，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程．

（2）利用向量的数量积，求得点满足的条件，再结合椭圆的方程，解得的值．

【详解】（1）设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，

因为，

，

所以，即，

又因为c=2，所以，

又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，

所以该椭圆的标准方程为.

（2）设，

因为，所以，即，

又，所以，即.

所以

18．已知函数，，且．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在区间上的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用可求出，进而可求出，根据点斜式可得切线方程；

（2）根据导函数研究函数的单调性，根据单调性可得最大值.

【详解】（1）由得，

，解得

，

曲线在点处的切线方程为，

即；

（2）由（1），令得或，令得，

函数在上单调递减，在上单调递增，

又，

函数在区间上的最大值为

19．设是等差数列的前项和，．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)当，，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，写出其前n项和得到，然后根据等差数列的定义即得；

（2）由，，求得，进而得到，然后利用错位相减法即得.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，

所以，

则 ，

所以 ， ，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；

（2）由，，

得，

解得，

所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

所以，，

所以，

，

所以

所以.

20．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：()与直线：()相交于A，B两点．

(1)若以AB为直径的圆过原点，证明：；

(2)若线段AB中点的横坐标为4，且抛物线C的焦点到直线的距离为，求的值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）设，直线方程与抛物线方程联立消去，由韦达定理得，代入可证得结论；

（2）由得的一个方程，再由点到直线距离公式得的一个方程，联立解之可得．

【详解】（1）设，

由得，则，，

以AB为直径的圆过原点，则，斜率显然存在，因此，

所以，即，

所以，

又，所以；

（2）由（1），

抛物线的焦点坐标为，因此，即，

由，又，解得．

21．如图所示，一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成，屋顶的形状是四棱锥，四边形是正方形，点为正方形的中心，平面；下部的形状是长方体．已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与高度成正比，比例系数为．现欲建造一个上、下总高度为12 m，m的仓库．

(1)①若屋顶的高，请将总造价表示为x的函数；

②若屋顶侧面与底面所成二面角角为，请将总造价表示为的函数；

(2)选择（1）中的一个方案，求出总造价的最小值．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）①求出得出上部屋顶造价，由得出下部主体造价，进而得出总造价；②由二面角的定义结合直角三角形的边角关系得出总造价；

（2）选择①：令，利用导数得出总造价的最小值；选择②：令，由导数得出总造价的最小值.

【详解】（1）①由题意可知，，则.

所以，

故上部屋顶造价为.

因为，所以下部主体造价为.

故总造价为.

②如图，设的中点为，连接，则.

由于平面，则有；

在中，由二面角的定义可知则，则有，，

所以上部屋顶面积为，下部主体的高度为，

所以仓库的总造价为.

（2）选择①：总造价为，

令，.

当时，；当时，.

即函数在上单调递减，在上单调递增.

故总造价取最小值为.

选择②：设，所以.令，得，令，，则

则当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以当时，有最小值，此时总造价取最小值为

22．已知函数（）．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：．

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可.

（2）根据不单调，令，令，，求出的单调性，得到，从而证出结论.

【详解】（1）函数的定义域为：

当时，，的单调递增区间为

当时，当时，，的单调递增区间为；

           当时，，的单调递减区间为；

综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）因为方程存在两个不同的实数解，

因此不为单调函数，所以，

令，则的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值，

，令，，

，

在上单调递增，且，

当时，，

，，

，

的单调递增区间为，、

，.