2021-2022学年陕西省榆林市横山中学高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市横山中学高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，则复数的虚部为（    ）

A． B．1 C．0 D．

【答案】A

【分析】化简，然后利用虚部的定义进行求解.

【详解】因为，所以的虚部为.

故选：A

2．已知命题：“”，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.

【详解】命题：“”，为特称量词命题，

其否定为全称量词命题，故为：，

故选：C

3．两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数如下表，其中拟合效果最好的模型是（    ）

A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4

【答案】B

【分析】根据相关系数的定义，判断的大小，即可判断选项.

【详解】根据相关系数的定义可知，越大，约接近于1，则拟合效果越好.

由数据可知，模型2的相关系数最大，所以拟合效果最好.

故选：B

4．在区间内随机取一个实数，则的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由几何概型公式即可求得答案.

【详解】区间总长度为，在区间上随机取一个数，且，则，区间长度为，

所以所求概率.

故选：.

5．已知复数（是虚数单位），则共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出，根据共轭复数的概念求出，再根据复数的几何意义可得结果.

【详解】因为，

所以，

所以对应的点在第一象限.

故选：A

6．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】运用公式求导即可.

【详解】，故A错误；

，故B错误；

，故C错误；

，故D正确.

故选：D

7．设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】求出为纯虚数时的值，与比较，判断出结果

【详解】，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件

故选：C

8．已知命题，使，则下列命题中真命题是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判定命题p,q的真假，再根据复合命题的真假关系进行判定.

【详解】因为对任意实数恒成立，故命题为假命题；

当时，故为假命题，

根据复合命题的真假可得为真命题，

故选:D.

9．农村电子商务是通过网络平台嫁接各种服务于农村的资源，拓展农村信息服务业务、服务领域，使之兼而成为遍布县、镇、村的三农信息服务站．作为农村电子商务平台的实体终端直接扎根于农村服务于三农，真正使三农服务落地，使农民成为平台的最大受益者．某镇信息服务站统计了该镇电商2020年1至12月份的月利润，得到如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论中错误的是（    ）

A．月利润最小的月份为10月

B．相对于上个月，月利润增幅最大的月份为11月（起始月份的增幅记为0）

C．月利润的中位数为2月和9月月利润的平均数

D．1至6月份的月利润相对于7至12月份波动性更小

【答案】C

【分析】根据题意结合折线图以此判断各项即可.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：由上图可知利润最小的月份为10月，故A正确；

对于选项B：从10月到11月连线的斜率最大，即月利润增幅最大的是11月，故B正确；

对于选项C：月利润的中位数为3月和9月的月利润的平均值，故C错误；

对于选项D：1-6月的月相对于7-12月比较集中，即波动性更小，D正确；

故选：C

10．已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（    ）

A．2 B．1 C． D．4

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义求出复数对应的点的轨迹，从而可求出的最小值.

【详解】因为，

所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

所以.

故选：A

11．已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以线段为直径的圆与直线 相切，可得原点到直线的距离

, 化简即可得出.

【详解】解:以线段为直径的圆的圆心为坐标原点, 半径为,

圆的方程为，

圆心到直线的距离等于半径，即, 整理可得：,

即, 即 , 从而,

,

故选：A

12．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性，解不等式.

【详解】恒成立，所以函数单调递增，

若，则，即，

解得：.

故选：D

二、填空题

13．甲、乙两人下象棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲输的概率是___________.

【答案】##0.25

【分析】利用概率之和为1即可求解.

【详解】甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，甲输，和棋；

所以甲输的概率.

故答案为：

14．某中学开展“党史学习”闯关活动，各选手在第一轮要进行党史知识抢答的比拼，第二轮进行党史知识背诵的比拼．已知某同学通过第一轮的概率为0.8，在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为0.5，则该同学两轮均通过的概率为______．

【答案】##

【分析】利用条件概率公式，计算可得答案.

【详解】设该同学通过第一轮为事件，通过第二轮为事件，

故，，则两轮都通过的概率为：

根据题意，利用条件概率公式，

该同学在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为：

，

故该同学两轮都通过的概率为：

故答案为：

15．某单位做了一项统计，了解办公楼日用电量（度）与当天平均气温之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，并制作了如下对照表：

由表中数据得到线性回归方程，则当日平均气温为时，预测日用电量为___________度.

【答案】66

【分析】由题知，，代入回归方程得，进而得回归方程为，再求时的值即可得答案.

【详解】解：由题知，，

因为回归方程，

所以，解得，

所以回归方程为，

所以，当时，

所以，当日平均气温为时，预测日用电量为.

故答案为：

三、双空题

16．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为___________(写出一个正确答案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为___________.

【答案】         

【分析】由双曲线的渐近线方程，可写出双曲线的方程，进而求得离心率.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，

所以双曲线的方程为，故可取，

此时，

所以离心率

故答案为：，

四、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的导函数；

(2)求曲线在点处的切线方程.

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）根据求导法则，可得答案；

（2）求出函数在处的导数值和函数值，根据导数的几何意义，即可求得答案.

【详解】（1）因为,

所以

.

（2）由（1）知，又，

曲线在点处的切线方程为，即.

18．在某市的科技创新大赛活动中，10位评委分别对甲学校的作品“乒兵球简易发球器”和乙学校的作品“感应垃圾桶”进行了评分，得分的茎叶图如图．

(1)根据茎叶图写出甲、乙两所学校的作品得分的中位数；

(2)根据茎叶图计算甲、乙两所学校的作品得分的平均数，并判断哪一件作品更受评委的欢迎？

【答案】(1)甲学校作品得分的中位数为，乙学校作品得分的中位数为；

(2)甲学校作品得分的平均数为，乙学校作品得分的平均数为，甲学校的作品更受评委的欢迎.

【分析】（1）根据茎叶图求得甲乙两所学校作品的得分，并按照从小到大进行排序，再求中位数即可；

（2）根据（1）中所得数据，直接求平均数，再从中位数和平均数的角度，即可判断.

【详解】（1）甲学校作品的得分由小到大排列为：62，65，68，75，77，83，84，91，92，93，

所以甲学校作品得分的中位数为；

乙学校作品的得分由小到大排列为：60，63，75，75，77，79，81，82，87，91，

所以乙学校作品得分的中位数为.

（2）甲学校作品得分的平均数为；

乙学校作品得分的平均数为．

甲学校作品得分的中位数和平均数都大于乙学校作品得分的中位数和平均数，

所以甲学校的作品更受评委的欢迎．

19．某中学共有500名教师，其中男教师300名、女教师200名.为配合“双减政策”，该校在新学年推行“5+2”课后服务.为缓解教师压力，在2021年9月10日教师节大会上该校就是否实行“弹性上下班”进行了调查.

(1)完成下面的列联表；

(2)判断能否有的把握认为是否支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关？

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】(1)列联表见解析；

(2)没有90%的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关.

【分析】（1）根据列联表的数据，以及条件中的数据，即可补充列联表；

（2）根据列联表以及公式计算，并与参考数据比较大小，即可判断.

【详解】（1）完成的列联表如下：

（2）计算，

没有的把握认为是否支持实行“弹性上下班”制与教师的性别有关.

20．为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中的值；

(2)用分层抽样的方法从成绩在，这两组的学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同组的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由概率之和为1即小长方形的面积之和等于1可求得图中的值.

（2）首先利用分层抽样确定在，这两组的学生中各抽到的学生人数，再计算出基本事件的个数及2人来自不同组的可能情况，即可求出相应概率.

【详解】（1）由频率分布直方图得，

解得.

（2）易知用分层抽样方法在小组内抽取3人，记为，在小组内抽取2人，记为、，

从这5人中随机抽取2人，基本事件有，，，，，，，，，，共10个，

这2人来自不同组的基本事件有，，，，，，共6个，

这2人来自不同组的概率.

21．已知抛物线的焦点为.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若过焦点的直线交抛物线于两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出，代入抛物线方程即可得解；

（2）设直线的方程为，将代入中，根据韦达定理得到，，结合抛物线的弦长公式求出，即可得解.

【详解】（1）抛物线的焦点为，

，得，

抛物线的标准方程为.

（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入中，得，，

所以，，

由，得，

即，得，

直线的方程为：.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个不同的零点，求的范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）求导得，再根据分类结论即可；

（2）分离参数得，令，借助的图象单调性分析即得的范围.

【详解】（1）函数的定义域为，，

当时，恒成立，故函数在上单调递减；

当时，令，得，令，得，

故函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）函数在上有两个不同的零点，

等价于方程在上有两个不等实根，

即有两个解，

令，，则，

令，得，令，得，

函数在上单调递增，在上单调递减，

，

时，，当时，，所以函数的图象大致如下：

，

的范围是.