2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高二上学期第四次检测数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高二上学期第四次检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，复数的虚部为（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．

【答案】C

【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.

【详解】由，虚部为1，故选项C正确.

故选：C.

2．某班有男生20人，女生25人，用分层抽样的方法从该班抽取9人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先求出女生所占的比例，再求出应抽取的女生人数得解.

【详解】由题得女生所占的比例为，

所以用分层抽样的方法从该班抽取9人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

3．已知命题，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由特称命题的否定可得结果.

【详解】命题：，，

则：，.

故选：C.

4．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆

【答案】C

【分析】根据以及双曲线的定义可得答案.

【详解】因为，所以，

因为，

所以动点的轨迹是以、为焦点的双曲线.

故选：C

5．已知复数（是虚数单位），则共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出，根据共轭复数的概念求出，再根据复数的几何意义可得结果.

【详解】因为，

所以，

所以对应的点在第一象限.

故选：A

6．从一副52张的扑克牌中任抽一张，“抽到或”的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】52张的扑克牌中, 有4张，也有4张，所以“抽到或”的概率为，

故选：D

7．设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】求出为纯虚数时的值，与比较，判断出结果

【详解】，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件

故选：C

8．已知命题，使，则下列命题中真命题是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判定命题p,q的真假，再根据复合命题的真假关系进行判定.

【详解】因为对任意实数恒成立，故命题为假命题；

当时，故为假命题，

根据复合命题的真假可得为真命题，

故选:D.

9．农村电子商务是通过网络平台嫁接各种服务于农村的资源，拓展农村信息服务业务、服务领域，使之兼而成为遍布县、镇、村的三农信息服务站．作为农村电子商务平台的实体终端直接扎根于农村服务于三农，真正使三农服务落地，使农民成为平台的最大受益者．某镇信息服务站统计了该镇电商2020年1至12月份的月利润，得到如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论中错误的是（    ）

A．月利润最小的月份为10月

B．相对于上个月，月利润增幅最大的月份为11月（起始月份的增幅记为0）

C．月利润的中位数为2月和9月月利润的平均数

D．1至6月份的月利润相对于7至12月份波动性更小

【答案】C

【分析】根据题意结合折线图以此判断各项即可.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：由上图可知利润最小的月份为10月，故A正确；

对于选项B：从10月到11月连线的斜率最大，即月利润增幅最大的是11月，故B正确；

对于选项C：月利润的中位数为3月和9月的月利润的平均值，故C错误；

对于选项D：1-6月的月相对于7-12月比较集中，即波动性更小，D正确；

故选：C

10．已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（    ）

A．2 B．1 C． D．4

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义求出复数对应的点的轨迹，从而可求出的最小值.

【详解】因为，

所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

所以.

故选：A

11．双曲线C: ，O是坐标原点，F是双曲线C的右焦点，离心率是e，已知A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，则的值为（    ）

A．0 B．–e C．2 D．

【答案】A

【分析】由题意求出，坐标，直接计算可得．

【详解】据题意渐近线方程是，则点的坐标是，点的坐标是，

则，

故选：A．

12．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点离地面，点到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以为圆心，为半径的圆内，则管柱的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在平面内以为原点，建立直角坐标系：得到的坐标，求出抛物线的方程，设的高度为，得到的坐标，代入抛物线方程可求出结果.

【详解】在平面内以为原点，建立如图所示的直角坐标系：

设抛物线方程为，

则，将的坐标代入抛物线方程，得，得，

所以该抛物线方程为，

设的高度为，则，代入抛物线，得，

所以，即管柱的高度为.

故选：B.

二、填空题

13．双曲线的虚轴长为__________.

【答案】

【分析】根据双曲线方程求出，再根据虚轴长的定义可得结果.

【详解】由得，，

所以双曲线的虚轴长为.

故答案为：.

14．某中学开展“党史学习”闯关活动，各选手在第一轮要进行党史知识抢答的比拼，第二轮进行党史知识背诵的比拼．已知某同学通过第一轮的概率为0.8，在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为0.5，则该同学两轮均通过的概率为______．

【答案】##

【分析】利用条件概率公式，计算可得答案.

【详解】设该同学通过第一轮为事件，通过第二轮为事件，

故，，则两轮都通过的概率为：

根据题意，利用条件概率公式，

该同学在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为：

，

故该同学两轮都通过的概率为：

故答案为：

15．某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度（单位：，将所得数据分为7组：，并绘制了频率分布直方图（如图），根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于的树苗棵数是____________棵

【答案】600

【分析】根据频率分布直方图的性质求出，再求出在这3000棵树苗中高度小于的频率，然后根据频数=样本容量×频率可求出结果.

【详解】根据频率分布直方图可知，，得，

所以在这3000棵树苗中高度小于的频率为，

所以在这3000棵树苗中高度小于的树苗棵数是棵.

故答案为：.

16．已知椭圆的左､右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为__________.

【答案】

【分析】根据顶点坐标求出以线段为直径的圆的方程，根据直线与圆相切求出，再根据以及离心率公式可求出结果.

【详解】因为、，

所以以线段为直径的圆的方程为：，

因为直线与圆相切，

所以，化简得，

所以椭圆的离心率.

故答案为：.

三、解答题

17．某单位为绿化环境，移栽了甲､乙两种大树各2株.设甲､乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树成活与否互不影响.

(1)求甲种大树2株都成活的概率；

(2)求乙种大树成活1株的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据相互独立事件的积事件公式可得；（2）分为1活2死和1死2活两种情况，分别求出两种情况的概率相加.

【详解】（1）设事件“甲种大树2株都成活”，

则.

（2）设表示第株乙种大树成活，乙种大树成活1株，

则，

.

18．在某市的科技创新大赛活动中，10位评委分别对甲学校的作品“乒兵球简易发球器”和乙学校的作品“感应垃圾桶”进行了评分，得分的茎叶图如图．

(1)根据茎叶图写出甲、乙两所学校的作品得分的中位数；

(2)根据茎叶图计算甲、乙两所学校的作品得分的平均数，并判断哪一件作品更受评委的欢迎？

【答案】(1)甲学校作品得分的中位数为，乙学校作品得分的中位数为；

(2)甲学校作品得分的平均数为，乙学校作品得分的平均数为，甲学校的作品更受评委的欢迎.

【分析】（1）根据茎叶图求得甲乙两所学校作品的得分，并按照从小到大进行排序，再求中位数即可；

（2）根据（1）中所得数据，直接求平均数，再从中位数和平均数的角度，即可判断.

【详解】（1）甲学校作品的得分由小到大排列为：62，65，68，75，77，83，84，91，92，93，

所以甲学校作品得分的中位数为；

乙学校作品的得分由小到大排列为：60，63，75，75，77，79，81，82，87，91，

所以乙学校作品得分的中位数为.

（2）甲学校作品得分的平均数为；

乙学校作品得分的平均数为．

甲学校作品得分的中位数和平均数都大于乙学校作品得分的中位数和平均数，

所以甲学校的作品更受评委的欢迎．

19．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足．

(1)若，为真命题，求实数的取值范围；

(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由为真命题，可得和都为真命题，求出和范围的交集即可.

(2)由是的必要不充分条件，可得表示的集合是的真子集，即可求出的取值范围.

【详解】（1）若，命题：，解得，命题：，

为真命题，则和都为真命题，即，，

即实数的取值范围为

（2）命题：实数满足，其中，；

又是的必要不充分条件，表示的集合是的真子集，即，得，

则的取值范围是

20．已知抛物线的焦点为.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若过焦点的直线交抛物线于两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出，代入抛物线方程即可得解；

（2）设直线的方程为，将代入中，根据韦达定理得到，，结合抛物线的弦长公式求出，即可得解.

【详解】（1）抛物线的焦点为，

，得，

抛物线的标准方程为.

（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入中，得，，

所以，，

由，得，

即，得，

直线的方程为：.

21．近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为一大支柱产业．据统计，某市一家新能源企业近5个月的产值如下表：

(1)根据上表数据，计算与间的线性相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（结果保留三位小数，若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性不强．）

(2)求出关于的线性回归方程，并预测明年3月份该企业的产值．

参考公式：

参考数据：

【答案】(1)， 与线性相关性很强

(2)，62.4亿元

【分析】（1）根据相关系数公式得到，即可得到答案.

（2）根据最小二乘法得到回归直线方程为，再代入求解即可.

【详解】（1），.

所以，

因为，故与线性相关性很强．

（2）由题意可得，，

所以

所以关于的线性回归方程为，

当时，，

故明年3月份该企业的产值约为62.4亿元．

22．已知椭圆过点，且椭圆的一个焦点在直线上.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点，设直线与椭圆相交于不同的两点，是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（提示：可设线段的中点为，判断成立时所得的取值是否满足题意.）

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据直线与轴的交点可求出半焦距，然后再将代入椭圆方程可求出椭圆的方程；（2）设线段的中点为，运用直线与圆锥曲线的设而不求的思想，计算是否成立，从而做出判断是否存在.

【详解】（1）在中，令，解得，

则①，

椭圆过点②，

联立①②解得，

椭圆的方程为.

（2）假设存在实数，使得，

联立方程消去整理可得：，

则，解得，

且，

设线段的中点为，则，

若，则，故，

又，

，解得，与矛盾，

不存在实数，使得.