2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二上学期期末模拟考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二上学期期末模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（      ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】任意改存在，改为，否定结论即可.

【详解】全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，

故其否定为：，

故选：D.

【点睛】本题考查全称命题的否定.

2．函数的图象在处的切线的斜率是（    ）

A． B．2 C． D．e

【答案】A

【分析】根据导数几何意义求得切线斜率.

【详解】求导得，

则

故选：A

3．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由双曲线标准方程对应的渐近线方程即可知的渐近线方程

【详解】根据双曲线的渐近线方程：，知：

的渐近线方程为

故选：D

【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，根据双曲线标准方程对应渐近线方程求题设给定双曲线的渐近线方程

4．椭圆的短轴长是（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】将椭圆的方程化为标准方程，由此求得的值，进而求得短轴长.

【详解】椭圆方程变形为，

可得，

∴，短轴长为.

故选：C

5．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义，将抛物线化成标准式，即可求出其准线方程.

【详解】解：

，则该抛物线的准线方程是，即.

故选：

【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，属于基础题.

6．执行下面的程序框图，若输入的，则输出的的值为（    ）

A．7 B．-17 C．31 D．-65

【答案】C

【分析】根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】；；；；.

结束，输出答案

故选

【点睛】本题考查了程序框图，根据程序框图依次计算是一种常用的方法，需要同学们熟练掌握.

7．某校选取20人参加网络安全知识竞赛(总分100分)，对这20人的成绩x和人数y进行统计分析，得下表数据：

若，记为优秀.现从成绩优秀的学生中随机抽取2人，则恰有1人成绩落在内的概率为（    ）A． B．              C．              D．

【答案】B

【分析】结合题意，运用概率知识即可求出结果.

【详解】由题意可知的人数为5人，其中的人数为3人，的人数为2人，则从中随机抽取2人，恰有1人在的概率为，

故选：B

8．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】原命题等价于在上有解，再利用零点存在性定理分析解答得解.

【详解】因为函数

所以.

因为在上不单调.

所以在上有解，

又在上单调递增，

所以，，

解得

故.

故选：C

9．甲，乙两位同学最近5次的数学测试成绩的茎叶图如图所示，分别用x和y表示甲､乙两位同学数学测试成绩的平均分，则（    ）

A． B．

C． D．x和y的大小与a有关

【答案】A

【分析】分别计算出甲、乙的总分，然后进行比较，即可判断其平均分的大小.

【详解】甲的总分：

乙抛去最后一次的分：

所以无论a为多少，都不会大于100，

所以甲的总分大于乙的总分，

又两个的成绩次数一样，都为5次，

所以甲的平均分大于乙的平均分，

从而，

故选：A

10．已知命题：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题：若，则方程表示椭圆．下列命题是真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性判断即可.

【详解】解：对于命题：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，显然为假命题，

当直线与抛物线的对称轴平行时直线与抛物线有且仅有一个公共点，

此时直线与抛物线不相切，即命题为假命题，所以为真命题；

若，则，，且，即，

所以方程表示焦点在轴上的椭圆，即命题为真命题，所以为假命题；

所以为假命题，为真命题，为假命题，为假命题.

故选：B

11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，定点，点是椭圆上的动点，则的最大值是（    ）

A．7 B．10 C．17 D．19

【答案】C

【分析】计算，利用得到答案.

【详解】由题意可得，则..

因为点在椭圆上，所以所以

故.

当共线且在延长线上时取等号.

故选：

【点睛】本题考查了椭圆线段的最值问题，利用是解题的关键，意在考查学生的转化能力和计算能力.

12．若关于x的不等式的解集包含区间，则a的取值范围为（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将问题转化为对恒成立，再利用导数，求解函数的最小值即可.

【详解】设，

则，

当时，；当时，，

则.

由题意可得不等式对恒成立，

即，

则.

故选：A.

【点睛】本题考查利用导数，由不等式恒成立求解参数的范围，属导数应用基础题.

二、填空题

13．某校高一年级有800人，一次数学测试后，随机抽取了100份试卷，其中及格的人数为70，则此次数学测试高一年级及格的人数大约是___________.

【答案】560

【分析】由样本及格率估计总体合格人数即可.

【详解】因为随机抽取了100份试卷，其中及格的人数为70，

故样本及格率为，

所以预测数学测试高一年级及格的人数大约是人，

故答案为：560

14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的左支上，且，则__________．

【答案】

【解析】利用双曲线的定义可求出.

【详解】在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查双曲线定义求焦半径，考查计算能力，属于基础题.

15．在区间上随机取一个数，则的概率为_______．

【答案】

【解析】由得出，利用正弦函数的性质得出不等式的解集，再由几何概型概率公式求解即可.

【详解】所有基本事件构成的区间长度为

当时，

由，得，，则

故答案为：

【点睛】本题主要考查了利用几何概型概率公式求概率，属于基础题.

16．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一象限交于点M，与抛物线C的准线交于点N，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为H．若|MF|＝2|NF|，，则抛物线C的标准方程是________．

【答案】

【分析】由得出，，再由得出，从而得出所求方程.

【详解】设，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，则，即抛物线C的标准方程是.

故答案为：

三、解答题

17．某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：小时），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天运动时长均在内），得到频率分布直方图如图所示.

(1)求出图中的值，并估计这名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；

(2)为了分析该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出名居民进一步调查，试问在时间段内应抽出多少人?

【答案】(1)，平均数为小时，中位数为小时

(2)人

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得，再利用平均数与中位数的计算公式直接计算；

（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得：，

平均数：小时；

中位数：由，，得中位数在内，

设中位数为，则，解得：，即中位数为小时

（2）由已知可得在时间段内的频率为，

所以在时间段内应抽出人.

18．已知p：函数f(x)＝（a﹣m）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根都大于1．

（1）当m＝5时，p是真命题，求a的取值范围；

（2）若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围．

【答案】（1）（5，6）；（2）m≥2．

【分析】（1）由m＝5，得到f(x)＝（a﹣5）x，再根据指数函数的单调性求解；

（2）先根据命题为真，化简命题p，q，然后根据p为真命题是q为真命题的充分不必要条件求解.

【详解】（1）因为m＝5，所以f(x)＝（a﹣5）x

因为p是真命题，

所以0＜a﹣5＜1，

解得5＜a＜6．

故a的取值范围是（5，6）

（2）若p是真命题，则0＜a﹣m＜1，解得m＜a＜m+1．

关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根分别为a﹣1和a+1．

若q是真命题，则a﹣1＞1，解得a＞2．

因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，

所以m≥2．

19．已知抛物线C：的焦点为F，且抛物线C与直线的一个交点是．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求n．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入直线方程，求出，从而，将代入抛物线方程，求出；

（2）联立直线与抛物线方程，设出，得到两根之和，两根之积，根据OA⊥OB，得到，求出.

【详解】（1）由题意得：，解得：，

故，将其代入抛物线方程，，解得：，

所以抛物线方程为；

（2）与联立得：，

设，

则，

，

因为OA⊥OB，

所以，解得：或0（舍去），

故.

20．某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查，提供满意与不满意两种回答，调查结果如下表（单位：人）：

（1）求从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率；

（2）从参与调查的高三学生中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求这两人对校食堂饭菜质量都满意的概率.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）高三人数除以全校总人数即是所求概率；

（2）采用分层抽样的6人中结果满意的4人，不满意的2人，分别求出基本事件总数和两人都是满意所包含的基本事件个数，即可得到概率.

【详解】（1）由题意得该校学生总人数为人，

则从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率.

（2）依题意可得，从调查结果为满意的高三学生中应抽取人，设为，，，；从调查结果为不满意的高三学生中应抽取人，设为，.

从这6人中任意选取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.

设表示事件“两人都满意”，则事件包含的基本事件有，，，，，，共6种.

故所求概率.

【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件的个数，其中涉及分层抽样，考查概率与统计知识的综合应用.

21．已知函数.

（1）若曲线存在与y轴垂直的切线，求m的取值范围；

（2）若函数是奇函数，求的极值.

【答案】（1）或；（2）极大值，极小值.

【分析】（1）由曲线存在与y轴垂直的切线，可得方程在上有解，然后利用判别式求解即可；

（2）由函数是奇函数，可得，进而求出m的值和的解析式，然后利用导数求得函数的极值即可.

【详解】（1），

因为曲线存在与y轴垂直的切线，

所以方程在上有解，

所以，解得或，

所以m的取值范围是或；

（2）因为函数是奇函数，所以，

即，

所以，即，

所以，

令，则或，此时单调递增；

令，则，此时单调递减，

所以有极大值，极小值.

【点睛】思路点睛：对于本题第一问，我们可以利用函数与方程思想将曲线存在与y轴垂直的切线转化为方程在上有解，进而利用一元二次方程的判别式去求得m的取值范围.

22．设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】（1）； （2）证明见解析，.

【分析】（1）根据离心率和的面积是得到方程组，计算得到答案.

（2）先排除斜率为0时的情况，设，，联立方程组利用韦达定理得到，，根据化简得到，代入直线方程得到答案.

【详解】（1）由题意可得，解得，，则椭圆的标准方程是.

（2）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0.

设，，直线的方程为

联立，整理得

则，.

因为直线与直线的斜率之和为1，所以，

所以，

将，代入上式，整理得.

所以，即，

则直线的方程为.

故直线恒过定点.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.