2021-2022学年广西蒙山县第一中学高二上学期期末模拟考试（三数学（理）试题）（解析版）

这是一份2021-2022学年广西蒙山县第一中学高二上学期期末模拟考试（三数学（理）试题）（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西蒙山县第一中学高二上学期期末模拟考试（三数学（理）试题） 一、单选题1．若实数满足，则的最小值是（    ）A． B． C． D．0【答案】B【分析】作出可行域，根据目标函数几何意义求得最小值.【详解】由不等式组作出可行域，如图所示：由目标函数的几何意义知，其在点处取得最小值，此时.故选：B2．命题是命题成立的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分且必要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】求得的解集，根据集合的包含关系确定命题的关系.【详解】因为，所以，因为与 互相不包含，所以是的既不充分也不必要条件.故选：D3．已知，，这三个数成等差数列，则此数列的公差为（    ）A．-1 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】结合等差中项性质解关于的方程，即可求出.【详解】由，得，故原数列为2，3，4，公差为1.故选：B4．已知，则的最大值是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式求得最大值.【详解】，当且仅当时等号成立.故选：B5．在中，已知，，，则此三角形（    ）A．无解 B．只有一解C．有两解 D．解的个数不确定【答案】A【分析】根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为，即可判断解的情况.【详解】，，又，∴，故此三角形无解．故选:A.6．抛物线的准线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准形式为，求出的值即可得准线方程.【详解】由可得，所以，可得，所以抛物线的准线方程是，故选：C.7．直线l过椭圆的右焦点并与椭圆交于A、B两点，则△ABF1的周长是（　　）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】据椭圆的定义可得：，并且，进而得到答案．【详解】根据题意结合椭圆的定义可得：，并且，又因为，所以的周长为：．故选：C8．已知，若，则的值为（    ）A． B．2 C．6 D．8【答案】C【分析】根据向量垂直的性质计算得到答案.【详解】，，则，解得.故选：C.9．设双曲线的左、右焦点分别为，，若点P在双曲线上，且，则（    ）A．1或5 B．1 C．4 D．5【答案】D【分析】根据双曲线的定义求解即可.【详解】解：由题易知，，，因为根据双曲线定义有且所以或，因为，所以．故选：D10．设，则“”是“”的（    ）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】D【分析】解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论.【详解】解：不等式的解为或，所以“”是“”的既不充分又不必要条件.故选：D.11．长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，，，所以，.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.12．椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足，只要最大时大于等于即可，从而可得出答案.【详解】解：当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足，只要最大时大于等于即可，即当点位于短轴的端点时，，所以，又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的范围是.故选：D. 二、填空题13．数列的前项和，则该数列的通项公式为__________．【答案】【分析】先由求出，再求，进行验证，即可得出结果.【详解】，，当时，，当时也适合，故.故答案为：.14．椭圆的焦点为、，点在该椭圆上，若，则的大小为______．【答案】##【分析】先利用椭圆的定义求出，再利用余弦定理求解.【详解】解：由椭圆方程，可得，，．根据椭圆定义可得，，可得，解得．在三角形中，由余弦定理得，又因为，所以．故答案为：15．命题：“，”，命题：“，”，若是假命题，则实数的取值范围是_____________．【答案】【分析】分别求得命题、为真命题时，实数的取值范围，进而求得和同时为真命题时，得到，进而求得是假命题时，实数的取值范围．【详解】若是真命题，则对于恒成立，所以，若是真命题，则关于的方程有实数根，所以，即，若和同时为真命题，则，所以，所以当是假命题时，和中至少有一个是假命题时，可得．16．在长方体中，，，，点到平面的距离为_______．【答案】【分析】利用等体积法由即可求解.【详解】如图， 设点到平面的距离为，，．．,，，，．故答案为：． 三、解答题17．公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，且.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式可求的通项公式；（2）利用裂项相消法可求数列的前n项和.【详解】（1）设的公差为，由得，∵，∴整理得，由得，∴，，∴.（2）由（1）知，∴.18．已知恒成立.(1)求a的取值范围；(2)解关于x的不等式.【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据二次项系数是否为零，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据一元二次方程两根的大小分类讨论进行求解即可.【详解】（1）因为恒成立，①当时，恒成立；②当时，要使恒成立.则且，即，解得：.综上，a的取值范围为：；（2）由，得.因为：，①当，即时，则；②当，即时，，不等式无解；③当，即时，则.综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.19．在中，已知内角A､B､C的对边分别是a､b､c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换得到，即，得到答案.（2）根据余弦定理得到，利用均值不等式得到，得到周长最大值.【详解】（1）由已知得，即，，所以，，，，所以，即，，故.（2）由余弦定理得，即，（当且仅当时，等于号成立）.所以，即，于是周长.故周长的最大值是.20．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.21．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，M是PD的中点.(1)证明：平面PAD.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量夹角公式即可求得答案.【详解】（1）因为底面ABCD是矩形，所以.因为平面ABCD，平面ABCD，所以.因为，所以平面PAD.（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，4，0），P（0，0，4），C（2，4，0），M（0，2，2）.因为平面PAD，平面PAD，所以.因为，，所以平面ABM，所以平面ABM的一个法向量为设平面ACM的一个法向量为，则，令，得.设二面角为，易知为锐角，因为，所以二面角的余弦值为.22．已知点M在椭圆C：，，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆C 的方程：(2)若直线与椭圆C交于A，B 两点，求实数 m 的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题可得，即得；（2）由直线方程与椭圆方程联立，判别式大于零即得.【详解】（1）∵点M在椭圆C：，，且椭圆的离心率为，∴，解得，∴椭圆C 的方程为；（2）∵直线与椭圆C交于A，B 两点，由，得，∴，即，∴.∴实数 m 的取值范围为.