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安徽省宣城市2021-2022学年高三下学期第二次调研考试文科数学试题 Word版含解析
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这是一份安徽省宣城市2021-2022学年高三下学期第二次调研考试文科数学试题 Word版含解析，共20页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对复数化简，再求其共轭复数，从而可求得答案
【详解】因为，
所以其共轭复数为，则其虚部为，
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
3. 在长方体中，，，则异面直线与所成角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】即为异面直线与所成的角，利用解直角三角形可求其大小.
【详解】
由长方体的性质可得，故即为异面直线与所成的角，
在直角三角形中，，，故，
而为锐角，故.
故选：A.
4. 我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ）
A. 32盏B. 64盏C. 128盏D. 196盏
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列前项和公式，计算首项.
【详解】设最底层的灯数为，公比，
，解得：
故选：C
5. 已知直线与圆相交于A，两点，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由知OA⊥OB，△OAB为等腰直角三角形，底边上的高即为圆心到直线的距离，再利用点到直线距离的距离公式可求出m的值，根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】方法1：由知，圆心到直线的距离为，即，即，则“”是“”的必要不充分条件.
方法2：设，联立，化为，
，解得，，
∵，∴，，
，，解得，符合，则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可
【详解】由图象可知，函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数，
对于A，，所以是偶函数，当时，令，则，得，则当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以A不合题意，
对于B，因为，所以是奇函数，所以不合题意，
对于C，因为，所以是偶函数，当时，令，则，得，所以当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以符合题意，
对于D，因为，所以奇函数，所以不合题意，
故选：C
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的单调性逐个分析判断每一个与中间量的大小即可
【详解】因为在上为减函数，且，
所以，所以，即，
因为在上为减函数，且，
所以，所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，所以，即，
所以，
故选：A
8. 已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数的两个零点，则a3a4＝（ ）
A. -14B. 9C. 14D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】由韦达定理得a1+a6＝9，a1a6＝14，解得a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，分类讨论即可得到答案.
【详解】∵等差数列{an}中，a1，a6为函数的两个零点，
∴a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，
当a1＝2，a6＝7时，，a3＝4，a4＝5，所以a3a4＝20．
当a1＝7，a6＝2时，，a3＝5，a4＝4，所以a3a4＝20．
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到函数的零点问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
9. 若函数的图象过点，相邻两条对称轴间的距离是，则下列四个结论中，正确的个数是（ ）
①函数的最小正周期为；
②函数的图象的一条对称轴是直线；
③函数在区间上是减函数；
④把函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先求出函数，根据性质判断即可.
【详解】因为函数相邻两条对称轴间的距离是，所以周期，所以，
故①正确；又函数图象过点，所以，
即，所以，所以，
因为，所以当时，满足题意，所以函数；
令，即，令，
解得，故②正确；令，
即，
即函数的单调递减区间为：，
当时，函数的单调递减区间为：，当时，
函数的单调递减区间为：，所以，故③错误；
把函数的图象向右平移个单位长度得，为偶函数，图像关于轴对称，故④正确.
故选：B.
10. 设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（ ）
A. 14B. 17C. 20D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆方程和椭圆的定义求出，再通过余弦定理和平面向量数量积的定义即可求得答案.
【详解】设，由题意.
易知，，则，，于是由余弦定理可得，即.
故选：D.
11. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式可求最小值.
【详解】设，则，故，其中，
，
由，
当且仅当，时等号成立，
此时，满足，
故的最小值为，
故选：D.
12. 若对任意的，且，都有成立，则m的最小值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题目考察构造函数的问题，将已知不等式变形后即可判断函数的单调性，根据单调区间求解m的取值范围，进而求出最小值
【详解】由函数定义域得：，假设，因为，
所以，两边同除整理得：，
构造函数，则单调递减，
，令得：，
当时，，所以在单调递减，
所以，所以m的最小值是
故选：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷的相应位置
13. 设向量，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求出m，然后得的坐标，再由向量模的坐标公式可得.
【详解】向量，，则，，则，.
故答案为：.
14. 已知锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先用正弦定理对进行边化角，进而求出A，然后通过余弦定理和三角形面积公式求得答案.
【详解】因为，所以由正弦定理可得，由，则，而三角形ABC为锐角三角形，所以.
由余弦定理，，所以.
故答案为：.
15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2.
【解析】
【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.
【详解】如图，
由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
16. 在三棱锥中，侧面PAC与底面ABC垂直，，，，．则三棱锥的外接球的表面积为___________．
【答案】25π
【解析】
【分析】根据平面平面，及，作出三棱锥的外接球球心，构造出一个含有外接球半径的直角三角形，求得各边长，从而求得外接球半径，进而得到外接球表面积.
【详解】取的外接圆圆心为F，并过圆心作面的垂线，由题易知，平面，取BC的中点为E，即为的外接圆圆心，过圆心作面的垂线，如图所示，两垂线交点为O，即为三棱锥的外接球球心，
作，则四边形为矩形，，
在中由正弦定理知，则，
则在中，外接球半径，
三棱锥外接球表面积为
故答案为：
【点睛】方法点睛：求一般几何体的外接球半径时，一般需作出外接球球心.对于三棱锥来说，需要找到两个面中三角形的外接圆圆心，分别作对应面的垂线，垂线的交点即为外接球球心，然后在直角三角形中解出半径即可.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，且每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，下表是该单位职工2021年1月至5月获得“健走先锋”称号的统计数据：
（1）请利用所给数据求“健走先锋”职工数y与月份x之间的回归直线方程，并预测该单位10月份的“健走先锋”职工人数；
（2）为进一步了解该单位职工的运动情况，现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：
能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？
参考公式：，．
（其中）
【答案】（1）；约为37人；
（2）没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关.
【解析】
【分析】（1）直接利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测；
（2）利用独立性检验求解.
【小问1详解】
解：由表中的数据可知，，，
所以，故．
所以所求的回归直线方程为；
当时，，所以该单位10月份的“健走先锋”职工人数约为37人．
【小问2详解】
解：由表中数据可得，.
因为,
所以没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关．
18. 数列的前n项和为，且，记为等比数列的前n项和，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用与的关系求出数列的通项，解方程组求出等比数列的通项的基本量即得的通项公式；
（2）利用错位相减法求解即可
【小问1详解】
解：当时，．
当时，也满足上式，故数列的通项公式为．
设的公比为q，当时，由题意可知，，显然不成立．
当时，依题意得，解得，所以．
【小问2详解】
解：由（1）得，则
①，
②
①—②得：
，
所以
19. 如图1，正方形ABCD中，，，将四边形CDMN沿MN折起到四边形PQMN的位置，使得（如图2）
（1）证明：平面平面ABPQ；
（2）若E，F分别为AM，BN的中点，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，得证线面垂直，从而得证面面垂直；
（2）过点Q作于点H，证明即为点到平面的距离，然后由棱锥体积公式计算．
【小问1详解】
在正方形ABCD中，，，故，，，
又，所以，
所以，即，又，、平面ABPQ，
故平面ABPQ，又平面MNPQ，所以平面平面ABPQ；
【小问2详解】
由已知，得，，由，MQ、平面AMO，故平面AMQ，又平面ABNM，所以平面平面AMQ，
因为E，F分别为AM，BN的中点，则，，，．
过点Q作于点H，由面面垂直的性质定理得平面ABNM，即平面BEF，，所以．
20. 已知函数（a为实数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间为（0，1），递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，易知时，，然后由和求解；
（2）由（1）知，时，不符合题意， 时，根据函数在（0，1）内存在唯一极值点，得到在（0，1）内存在唯一变号零点，转化在（0，1）内存在唯一根求解.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，．
当时，，
所以当时，；当时，．
所以的单调递减区间为（0，1），递增区间为．
【小问2详解】
由（1）知，当时，在（0，1）内单调递减，
所以在（0，1）内不存在极值点；
当时，要使函数在（0，1）内存在唯一极值点，
则在（0，1）内存在唯一变号零点，
即方程在（0，1）内存在唯一根，
所以在（0，1）内存在唯一根，
即与的图象在（0，1）内存在唯一交点，
因为，
所以在（0，1）内单调递减．又，
当时，，
所以，即a的取值范围为．
21. 已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（1）求该抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；最小值为64，此时直线l的方程为
【解析】
【分析】（1）先求出椭圆的焦点，从而可求得的值，求出，进而可得抛物线的方程，
（2）由题意可得直线l的斜率存在，则设直线l的方程为，设，，将直线方程代入抛物线方程中消去，利用根与系数的关系，利用导数的几何意义求出切线的方程，联立求出点的坐标，则利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，再利用弦长公式求出，从而可表示出的面积，进而可求出其最小值
【小问1详解】
由椭圆，知．
又抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
所以，则．
所以抛物线的方程为．
【小问2详解】
由抛物线方程知，焦点．
易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．
由消去y并整理，得．．
设，，则，．
对求导，得，
∴直线AP的斜率，
则直线AP的方程为，即．
同理得直线BP的方程为．
设点，联立直线AP与BP的方程，
即．
，点P到直线AB的距离，
所以的面积，
当且仅当时等号成立．
所以面积的最小值为64，此时直线l的方程为．
（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）已知点，曲线与曲线相交于A、B两点，求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角差的余弦公式和极坐标与直角坐标互化公式可求出曲线的直角坐标方程；由参数方程消去参数可得曲线的普通方程；
（2）将的普通方程化为参数方程的标准形式，代入到的普通方程，利用直线参数方程的几何意义可求出结果.
【小问1详解】
因为，
所以，即，
，，所以，
所以的直角坐标方程为，
由得，即，
所以的普通方程为．
【小问2详解】
点在曲线上，
曲线的参数方程为（t为参数），
将曲线的参数方程代入的普通方程，整理得，
令，，由韦达定理，
则有．
，
．
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）讨论、和三种情况，解出不等式即可；
（2）讨论与两种情况，当时进行分参，将问题转化为求最值问题，进而通过三角不等式求得答案.
【小问1详解】
当时，等价于，解得，
所以此时不等式无解；
当时，等价于，解得，
所以；
当时，等价于，解得，
所以.
综上所述，不等式解集为．
【小问2详解】
由，得，
当时，恒成立，所以；
当时，恒成立，
因为，
当且仅当时取等号，所以.月份
1
2
3
4
5
“健走先锋”职工数
120
105
100
95
80
健走先锋
健走之星
男员工
24
16
女员工
16
14
0.15
0.10
005
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对复数化简，再求其共轭复数，从而可求得答案
【详解】因为，
所以其共轭复数为，则其虚部为，
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
3. 在长方体中，，，则异面直线与所成角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】即为异面直线与所成的角，利用解直角三角形可求其大小.
【详解】
由长方体的性质可得，故即为异面直线与所成的角，
在直角三角形中，，，故，
而为锐角，故.
故选：A.
4. 我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ）
A. 32盏B. 64盏C. 128盏D. 196盏
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列前项和公式，计算首项.
【详解】设最底层的灯数为，公比，
，解得：
故选：C
5. 已知直线与圆相交于A，两点，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由知OA⊥OB，△OAB为等腰直角三角形，底边上的高即为圆心到直线的距离，再利用点到直线距离的距离公式可求出m的值，根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】方法1：由知，圆心到直线的距离为，即，即，则“”是“”的必要不充分条件.
方法2：设，联立，化为，
，解得，，
∵，∴，，
，，解得，符合，则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可
【详解】由图象可知，函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数，
对于A，，所以是偶函数，当时，令，则，得，则当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以A不合题意，
对于B，因为，所以是奇函数，所以不合题意，
对于C，因为，所以是偶函数，当时，令，则，得，所以当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以符合题意，
对于D，因为，所以奇函数，所以不合题意，
故选：C
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的单调性逐个分析判断每一个与中间量的大小即可
【详解】因为在上为减函数，且，
所以，所以，即，
因为在上为减函数，且，
所以，所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，所以，即，
所以，
故选：A
8. 已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数的两个零点，则a3a4＝（ ）
A. -14B. 9C. 14D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】由韦达定理得a1+a6＝9，a1a6＝14，解得a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，分类讨论即可得到答案.
【详解】∵等差数列{an}中，a1，a6为函数的两个零点，
∴a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，
当a1＝2，a6＝7时，，a3＝4，a4＝5，所以a3a4＝20．
当a1＝7，a6＝2时，，a3＝5，a4＝4，所以a3a4＝20．
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到函数的零点问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
9. 若函数的图象过点，相邻两条对称轴间的距离是，则下列四个结论中，正确的个数是（ ）
①函数的最小正周期为；
②函数的图象的一条对称轴是直线；
③函数在区间上是减函数；
④把函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先求出函数，根据性质判断即可.
【详解】因为函数相邻两条对称轴间的距离是，所以周期，所以，
故①正确；又函数图象过点，所以，
即，所以，所以，
因为，所以当时，满足题意，所以函数；
令，即，令，
解得，故②正确；令，
即，
即函数的单调递减区间为：，
当时，函数的单调递减区间为：，当时，
函数的单调递减区间为：，所以，故③错误；
把函数的图象向右平移个单位长度得，为偶函数，图像关于轴对称，故④正确.
故选：B.
10. 设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（ ）
A. 14B. 17C. 20D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆方程和椭圆的定义求出，再通过余弦定理和平面向量数量积的定义即可求得答案.
【详解】设，由题意.
易知，，则，，于是由余弦定理可得，即.
故选：D.
11. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式可求最小值.
【详解】设，则，故，其中，
，
由，
当且仅当，时等号成立，
此时，满足，
故的最小值为，
故选：D.
12. 若对任意的，且，都有成立，则m的最小值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题目考察构造函数的问题，将已知不等式变形后即可判断函数的单调性，根据单调区间求解m的取值范围，进而求出最小值
【详解】由函数定义域得：，假设，因为，
所以，两边同除整理得：，
构造函数，则单调递减，
，令得：，
当时，，所以在单调递减，
所以，所以m的最小值是
故选：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷的相应位置
13. 设向量，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求出m，然后得的坐标，再由向量模的坐标公式可得.
【详解】向量，，则，，则，.
故答案为：.
14. 已知锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先用正弦定理对进行边化角，进而求出A，然后通过余弦定理和三角形面积公式求得答案.
【详解】因为，所以由正弦定理可得，由，则，而三角形ABC为锐角三角形，所以.
由余弦定理，，所以.
故答案为：.
15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2.
【解析】
【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.
【详解】如图，
由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
16. 在三棱锥中，侧面PAC与底面ABC垂直，，，，．则三棱锥的外接球的表面积为___________．
【答案】25π
【解析】
【分析】根据平面平面，及，作出三棱锥的外接球球心，构造出一个含有外接球半径的直角三角形，求得各边长，从而求得外接球半径，进而得到外接球表面积.
【详解】取的外接圆圆心为F，并过圆心作面的垂线，由题易知，平面，取BC的中点为E，即为的外接圆圆心，过圆心作面的垂线，如图所示，两垂线交点为O，即为三棱锥的外接球球心，
作，则四边形为矩形，，
在中由正弦定理知，则，
则在中，外接球半径，
三棱锥外接球表面积为
故答案为：
【点睛】方法点睛：求一般几何体的外接球半径时，一般需作出外接球球心.对于三棱锥来说，需要找到两个面中三角形的外接圆圆心，分别作对应面的垂线，垂线的交点即为外接球球心，然后在直角三角形中解出半径即可.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，且每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，下表是该单位职工2021年1月至5月获得“健走先锋”称号的统计数据：
（1）请利用所给数据求“健走先锋”职工数y与月份x之间的回归直线方程，并预测该单位10月份的“健走先锋”职工人数；
（2）为进一步了解该单位职工的运动情况，现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：
能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？
参考公式：，．
（其中）
【答案】（1）；约为37人；
（2）没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关.
【解析】
【分析】（1）直接利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测；
（2）利用独立性检验求解.
【小问1详解】
解：由表中的数据可知，，，
所以，故．
所以所求的回归直线方程为；
当时，，所以该单位10月份的“健走先锋”职工人数约为37人．
【小问2详解】
解：由表中数据可得，.
因为,
所以没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关．
18. 数列的前n项和为，且，记为等比数列的前n项和，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用与的关系求出数列的通项，解方程组求出等比数列的通项的基本量即得的通项公式；
（2）利用错位相减法求解即可
【小问1详解】
解：当时，．
当时，也满足上式，故数列的通项公式为．
设的公比为q，当时，由题意可知，，显然不成立．
当时，依题意得，解得，所以．
【小问2详解】
解：由（1）得，则
①，
②
①—②得：
，
所以
19. 如图1，正方形ABCD中，，，将四边形CDMN沿MN折起到四边形PQMN的位置，使得（如图2）
（1）证明：平面平面ABPQ；
（2）若E，F分别为AM，BN的中点，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，得证线面垂直，从而得证面面垂直；
（2）过点Q作于点H，证明即为点到平面的距离，然后由棱锥体积公式计算．
【小问1详解】
在正方形ABCD中，，，故，，，
又，所以，
所以，即，又，、平面ABPQ，
故平面ABPQ，又平面MNPQ，所以平面平面ABPQ；
【小问2详解】
由已知，得，，由，MQ、平面AMO，故平面AMQ，又平面ABNM，所以平面平面AMQ，
因为E，F分别为AM，BN的中点，则，，，．
过点Q作于点H，由面面垂直的性质定理得平面ABNM，即平面BEF，，所以．
20. 已知函数（a为实数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间为（0，1），递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，易知时，，然后由和求解；
（2）由（1）知，时，不符合题意， 时，根据函数在（0，1）内存在唯一极值点，得到在（0，1）内存在唯一变号零点，转化在（0，1）内存在唯一根求解.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，．
当时，，
所以当时，；当时，．
所以的单调递减区间为（0，1），递增区间为．
【小问2详解】
由（1）知，当时，在（0，1）内单调递减，
所以在（0，1）内不存在极值点；
当时，要使函数在（0，1）内存在唯一极值点，
则在（0，1）内存在唯一变号零点，
即方程在（0，1）内存在唯一根，
所以在（0，1）内存在唯一根，
即与的图象在（0，1）内存在唯一交点，
因为，
所以在（0，1）内单调递减．又，
当时，，
所以，即a的取值范围为．
21. 已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（1）求该抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；最小值为64，此时直线l的方程为
【解析】
【分析】（1）先求出椭圆的焦点，从而可求得的值，求出，进而可得抛物线的方程，
（2）由题意可得直线l的斜率存在，则设直线l的方程为，设，，将直线方程代入抛物线方程中消去，利用根与系数的关系，利用导数的几何意义求出切线的方程，联立求出点的坐标，则利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，再利用弦长公式求出，从而可表示出的面积，进而可求出其最小值
【小问1详解】
由椭圆，知．
又抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
所以，则．
所以抛物线的方程为．
【小问2详解】
由抛物线方程知，焦点．
易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．
由消去y并整理，得．．
设，，则，．
对求导，得，
∴直线AP的斜率，
则直线AP的方程为，即．
同理得直线BP的方程为．
设点，联立直线AP与BP的方程，
即．
，点P到直线AB的距离，
所以的面积，
当且仅当时等号成立．
所以面积的最小值为64，此时直线l的方程为．
（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）已知点，曲线与曲线相交于A、B两点，求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角差的余弦公式和极坐标与直角坐标互化公式可求出曲线的直角坐标方程；由参数方程消去参数可得曲线的普通方程；
（2）将的普通方程化为参数方程的标准形式，代入到的普通方程，利用直线参数方程的几何意义可求出结果.
【小问1详解】
因为，
所以，即，
，，所以，
所以的直角坐标方程为，
由得，即，
所以的普通方程为．
【小问2详解】
点在曲线上，
曲线的参数方程为（t为参数），
将曲线的参数方程代入的普通方程，整理得，
令，，由韦达定理，
则有．
，
．
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）讨论、和三种情况，解出不等式即可；
（2）讨论与两种情况，当时进行分参，将问题转化为求最值问题，进而通过三角不等式求得答案.
【小问1详解】
当时，等价于，解得，
所以此时不等式无解；
当时，等价于，解得，
所以；
当时，等价于，解得，
所以.
综上所述，不等式解集为．
【小问2详解】
由，得，
当时，恒成立，所以；
当时，恒成立，
因为，
当且仅当时取等号，所以.月份
1
2
3
4
5
“健走先锋”职工数
120
105
100
95
80
健走先锋
健走之星
男员工
24
16
女员工
16
14
0.15
0.10
005
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
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