2019届天津市部分区高三下学期质量调查（一）数学（理）试题 PDF版

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）

数学（理）试题参考答案与评分标准

一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9．    10．20    11．     12．   13．    14．

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）

15．解：（Ⅰ）在△中，根据余弦定理，， …………1分

于是， ……………………………………………………………3分

解得（舍去）， 故. …………………………………………5分

（Ⅱ）在△中，，于是 .  ……………6分

根据正弦定理，得，所以. …………………………8分

又为钝角，所以为锐角，即.        ……………9分

从而，， ……11分

所以.  ……………13分

16．解：（Ⅰ）设“甲、乙、丙三名同学都选高校”为事件，则

.     ………………………………………………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）由已知得：甲同学选中D高校的概率为：  …………………4分

乙、丙同学选中高校的概率为：    ……………………………5分

所以甲同学选中高校且乙、丙都未选中高校的概率:

.   …………………………………………7分

（ⅱ）易知，所有可能的取值为0,1,2,3, ………………………………………………8分

所以，有；

；

；

；  …………………………………………………11分

所以，的分布列为

                                            ……………………………………12分

因此.  ……………………………13分

17．（Ⅰ）证明：因为平面平面，

平面平面，

平面，，

所以直线平面. ………………1分

由题意，以点为原点，分别以的方向

为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标

系，则可得：

.   ………………………………………………2分

依题意，易证：是平面的一个法向量，

又，所以，

又因为直线平面，所以. ………………………4分

（Ⅱ）解：因为.

设为平面的法向量，

则，即. 

不妨设，可得.    ………………………………………………6分

设为平面的法向量，

又因为，

则，即.

不妨设，可得，  ………………………………………………8分

所以，

又二面角为钝二面角，

故二面角的大小为.     ……………………………………………9分

（Ⅲ）解：设（），则又，

又，即，  …………………11分

所以，解得或（舍去）.

故所求线段的长为.    ……………………………………………………13分

18．解：（Ⅰ）由已知得：，

∴数列是以2为公差的等差数列. ………………………………………………2分

∵，∴，∴，……………………………………3分

∴. …………………………………………………………………………4分

设等比数列的公比为，

∵,∴，∴，………………………………5分

所以.   …………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由题意，得，  …………8分

∴，

∴…9分

上述两式相减，得

    ………………10分

       ……………………11分

    ……………………………………………………12分

∴.   ……………………………………………………13分

19．解：（Ⅰ）由在椭圆上，所以. ①   ……………………1分

由已知得,所以 ………………………………………2分

又 所以. ②   …………………………………………………4分

②代入①解得.

故椭圆的方程为. ……………………………………………………5分

（Ⅱ）假设存在常数,使得向量共线，

所以  即 .   ……………………………7分

由题意可设的斜率为,

则直线的方程为，  ③

代入椭圆方程并整理,得,

设,则有

. ④  ………………………………………9分

在方程③中令得,的坐标为.

从而.  ………………10分

所以

  ⑤   ……………………………………11分

④代入⑤得,

又,所以.  ………………………………………13分

故存在常数符合题意.     …………………………………………………14分

20．解：（Ⅰ）因为，

所以.     ……………………………………………………1分

当时，在恒成立，

∴在是单减函数.     …………………………………………………2分

当时，令，解之得.

从而，当变化时，随的变化情况如下表：

由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数.  …………3分

综上，当时， 的单减区间为；

当时，的单减区间为，单增区间为.  …4分

（Ⅱ）当时，由(Ⅰ)可知，在是单减函数，在是单增函数；

又.   ………………………7分

所以；

故在有两个零点.  …………………………………………………8分

（Ⅲ）当为整数，且当时，恒成立

令，只需； ……………9分

又，

由(Ⅱ)知，在有且仅有一个实数根，

在上单减，在上单增；

所以    ……………………………10分

又，

所以，所以且，

即代入式，得

.  …………12分

而在为增函数，所以，

即.

而，所以，

故所求的最大值为.   …………………………………………………………14分