2022-2023学年天津市部分区高三下学期质量调查（一）（一模）数学试题（PDF版）

天津市部分区2023年高三质量调查试卷（一）

数学参考答案

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．

二、填空题：本大题共6小题, 每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10．   11．240               12． 

13．     14． ,  15．

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分14分）

(Ⅰ)由及正弦定理得,     ∴，……………2分

由余弦定理得.        …………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知              ………………5分

由正弦定理，得.       ………………7分

(Ⅲ)                   ………………9分

         ,                    ………………11分

∵,∴                ………………12分

∴. ………………14分

（17）（本小题满分15分）

证明：

（1）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

则，…………1分

                     ………………2分

                ………………3分

所以     

所以                              ………………4分

（2），         ………………5分

设平面的法向量，则

，即，令，则,

.                          ………………7分

设直线与平面所成的角为,则

.           

所以与平面所成角的正弦值为.     ………………9分

（3）.

设平面的法向量,则,即,

令，则..              ………………11分

又平面的法向量.             

设平面与平面夹角为，则为锐角，

,         ………………14分

所以平面与平面夹角为.           ………………15分

（18）（本小题满分15分）

（Ｉ）设的公差为，的公比为，由题意

，即，            ………………1分

∵，解得，                      ………………2分

∴，∴.                     ………………3分

∵，

∴，∴                  ………………5分

∴.                                 ………………6分

（Ⅱ）                         ………………7分

           ∴    ①

           ∴  ②

①-②得

∴.                    ………………10分

(Ⅲ)

   …12分

当为偶数时，

                                  ………………13分

当为奇数时，

                                  ………………14分

∴             ………………15分

（19）（本小题满分15分）

（Ⅰ）设，     

当时，                     ……………………1分

所以，即             ……………………2分

得到

解得          ……………………………………………3分

所以，椭圆的离心率为…………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

故椭圆方程为    ……………………………………5分

由题意，则直线的方程为，   ………………6分

联立消去并化简，得到，

解得.           ……………………………………8分

代入到的方程，解得      …………………………9分

.                         …………………………10分

又.

所以.     ……………………………11分

解得.                  ……………………………………12分

可得.      ……………………………………………14分

所以，椭圆的方程为.   …… …………………………15分

（20）（本小题满分16分）

（Ⅰ）解： （1）当时，，

，……………………………………………………1分

所以， ，  …………………………………2分

所以曲线在点处的切线方程为.  ………3分

（Ⅱ），.

①当时，，在上单调增，…………4分

所以无极值；     …………………………………………5分

②当时，令，得，列表如下：

…………………………………………………………………………6分

所以的极小值为，无极大值；…………7分

（Ⅲ）易知在上单调递减；在上单调递增，……8分

所以在上的最小值为.

 所以.     …………………………………………9分

因为. ………………10分

由题意，对于任意的实数，，不等式 恒成立，只需恒成立，所以，

解得，又，所以.   ………………11分

①当时，因为，所以，

由（Ⅱ）知，在上单调增，所以.

所以， …………………………………………………12分

所以在上单调增，则，解得

，此时，          ………………………13分

 ②当时，由（Ⅱ）知，在上单调递增，且，又，所以存在，且

，使得，即，得.            …………………………………14分

所以的解为和a，列表如下：

所以，即，又，所以恒成立，此时，   ………………………………15分

综上所述，实数a的取值范围为 .………………………………16分