2018-2019学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等七校联考高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等七校联考高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，，0，2，，则　　

A．，1， B．， C．， D．，0，1，2，

2．（5分）设，直线，直线，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是　　

A． B．1 C．2 D．7

4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的值为　　

A．7 B．14 C．30 D．41

5．（5分）已知，，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知函数，图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列是函数的单调递增区间的为　　

A． B．， C． D．

7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为　　

A． B．2 C． D．

8．（5分）定义域为的函数满足，当，时，．若，时，恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C． D．，

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．（5分）已知复数是虚数单位），则复数的虚部为　　．

10．（5分）若二项式的展开式中的常数项为，则　　．

11．（5分）已知正方体中，四面体的表面积为，则该正方体的体积是　　．

12．（5分）已知抛物线的参数方程为为参数，，其焦点为，顶点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点在轴的上方），过作于点，若的面积为，则　　．

13．（5分）设，，若，则的最小值为　　．

14．（5分）在梯形中，，，，，，分别为线段和上的动点，且，，则的最大值为　　．

三、解答题：（本大题共6小题，共80分）

15．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，．，，．

（Ⅰ）求边的值；

（Ⅱ）求的值．

16．（13分）某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢会的服务工作．从这些人中随机抽取4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场服务工作．

（Ⅰ）设为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者但不包含男志愿者”，求事件发生的概率．

（Ⅱ）设表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量的分布列与数学期望．

17．（13分）如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值；

（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

18．（13分）设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，．

（ⅰ）求；

（ⅱ）证明．

19．（14分）设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，且点在第二象限．与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值．

20．（14分）已知函数，其中，，为自然对数的底数．设是的导函数．

（Ⅰ）若时，函数在处的切线经过点，求的值；

（Ⅱ）求函数在区间，上的单调区间；

（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围．

2018-2019学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等七校联考高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

【解答】解：，或；

；

，．

故选：．

【解答】解：当时，两直线方程为，，此时两直线不平行，

当时，若，则，

由得，得或，

当时，成立，

当时，不成立，舍去，故，

则“”是“”的充要条件，

故选：．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数为，

由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为1．

故选：．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

，

不满足条件，执行循环体，，满足条件能被2整除，

不满足条件，执行循环体，，不满足条件能被2整除，

不满足条件，执行循环体，，满足条件能被2整除，

不满足条件，执行循环体，，不满足条件能被2整除，

此时，满足条件，退出循环，输出的值为30．

故选：．

【解答】解：函数是奇函数，当时，，为增函数，

，，，

则，

则，

故选：．

【解答】解：函数，图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，

所以：函数最小正周期为4．

则：，

解得：，

所以．

将的图象向右平移个单位长度，

得到函数．

令：，

解得：．

当时，函数的单调递增区间为．

故选：．

【解答】解：设切点为，连接，作作，垂足为，

由，且为△的中位线，可得

，，

即有，

在直角三角形中，可得，

即有，

由双曲线的定义可得，

可得，

，

．

故选：．

【解答】解：当时，，则

当，时，，，则；

则当时，，；

当，时，，；

当时，，；

当，时，，；

所以，时，，，

所以，，

“若，时，恒成立“等价于且，

解得

故选：．

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

【解答】解：，

复数的虚部为2．

故答案为：2．

【解答】解：二项式的展开式的通项．

由，得．

．

则．

故答案为：124．

【解答】解：如图，

设正方体的棱长为，则四面体的棱长为，

其表面积，得．

该正方体的体积是．

故答案为：8．

【解答】解：抛物线的参数方程为为参数，，

消去参数，化为；

其焦点为，，准线方程为；

过焦点且斜率为的直线方程为，

由，

消去，整理得，

解得或（不合题意，舍去）；

时，，

点，；

，，

的面积为

，

解得．

故答案为：．

【解答】解：，满足，

，，，

则，

当且仅当且即，时取得最小值，

故答案为：．

【解答】解：梯形中，，，，，

，，

则

，

，解得；

设，则在，上单调递增；

时取得最大值，

故答案为：．

三、解答题：（本大题共6小题，共80分）

【解答】解：（Ⅰ）由，得，（1分）

，由，得，

，（3分）

由余弦定理，得，解得，或，（舍

．  （6分）

（Ⅱ）由，得，（7分）

，，（10分）

．（13分）

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，事件的基本事件总数为，

事件包含基本事件的个数为，

则；（4分）

（Ⅱ）由题意知可取的值为：0，1，2，3，4；（5分）

则，

，

，

，

；（10分）

因此的分布列为：

（11分）

所以的数学期望是

．（13分）

【解答】（Ⅰ）证明：四边形为矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面．

取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

如图，则，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，

设平面的法向量，

，，

由，取，得，

又，，则，

又平面，平面；

（Ⅱ）解：设平面的法向量，

，，

由，取，可得，

，

，

即平面与平面所成二面角的正弦值为；

（Ⅲ）解：点在线段上，设，，，

，0，，2，，，，

又平面的法向量，设直线与平面所成角为，

，

，即，

，，．

，，，则，

的长为．

【解答】解：（Ⅰ）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，

已知，，

，

，

，

，

．

由，．

解得：．，

．

（Ⅱ）设，

则：

（ⅰ），

，

．

（ⅱ）证明：由于：，

，

，

故．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得，，

又，解得，，

所以，椭圆的方程为．    （3分）

设点，，，，．则，．

的面积是面积的3倍，，即，

从而，，

易知直线的方程为：．

由消去，可得（7分）

由方程组消去，可得．（9分）

由，可得，（10分）

整理得，解得或．  （12分）

当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．

所以，的值为．           （14分）

【解答】解：时，，，．

切线斜率，切点坐标，切线方程．

切线经过点，，．

，

．

在，内单调递增，．

①，即时，，所以单调递增区间为，．

②当时，即时，，所以单调递减增区间为，．

③当时，令，得，．

函数单调递减区间为，，单调递增区间为，．

综上①②③可得：①时，单调递增区间为，．

②时，单调递减增区间为，．

③当时，函数单调递减区间为，，单调递增区间为，．

（Ⅲ）由得：，．

由已知，设为在区间内的一个零点，

则由可知，在区间上至少有三个单调区间．

在区间内存在零点，在区间，内也存在零点．

在区间内至少有两个零点．

由可知，当时，在，上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意．

当时，在，内单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意．

当时，函数单调递减区间为，，单调递增区间为，．

，

．

．

令，，，．

令，．

，令，解得；令，解得．

在内单调递增，在单调递减．

在恒成立．

即在时恒成立．

由 得，．

．

的取值范围是．

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日期：2019/12/17 21:16:05；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267